Räta linjers egenskaper: Räta linjens ekvation och vinkelräta linjer

En rät linje

L

går igenom punkten

(6, 1)

och är parallell med linjen

y = - 2 x + 3 .

Skriv ekvationen för linjen

L

på

k

-form.

Parallella linjer har samma lutning och därför samma k-värde, så linjen L ska alltså ha k-värdet - 2 för att vara parallell med y = - 2x + 3. Då kan L beskrivas av ekvationen y = - 2x + m. För att bestämma konstanttermen m sätter vi in den kända punktens koordinater i ekvationen och löser ut m.

Linjens ekvation är y = - 2x + 13. Vi ritar linjen i ett koordinatsystem.

En linje

L_{1}

är parallell med linjen

L_{2}

vars ekvation är

y = 4 x - 5 .

Du vet även att

L_{1}

går genom punkten

(4, 17)

. Ange linjen

L_{1}

:s ekvation.

Eftersom linjerna L_1 och L_2 är parallella med varandra måste även linjen L_1 ha samma lutning som L_2, dvs. lutningen k = 4. Så här långt kan vi beskriva linjen L_1 med ekvationen y = 4x + m, där k-värdet är känt men m-värdet fortfarande är okänt. Vi tar reda på det okända m-värdet genom att använda den givna punkten (4, 17). Denna punkts koordinater sätter vi in i ekvationen y = 4x + m och sedan löser vi ut m.

Linjen L_1 har alltså ekvationen y = 4x + 1.

Är informationen i figuren tillräcklig för att avgöra om linjerna är parallella?

Parallella linjer har samma lutning. Vid första anblick ser det ut som att linjerna har samma lutning men detta kan vi inte med säkerhet säga utan att beräkna k-värdet för båda linjer. Den ena linjen skulle kunna ha lutningen k=2 och den andra k=1.9999, och då kommer de att skära varandra någonstans. Vi behöver alltså känna till k-värdena för de två linjerna, eller ha möjlighet att räkna ut dem, för att kunna avgöra om de är parallella.

Den linjära funktionen

f (x)

går igenom punkterna

(8, 3)

och

(1, - 4) .

Funktionen

g (x)

är parallell med

f (x)

och går igenom punkten

(12, 20) .

Bestäm ekvationen till

g (x) .

g(x) är parallell med f(x). Det betyder att de har samma lutning, så vi börjar med att bestämma lutningen till f(x).

Lutningen för f(x) är 1. Det betyder att lutningen till g(x) också är 1. Vi känner även till en punkt på g(x), så vi kan använda enpunktsformen för att bestämma funktionsuttrycket.

Linjen beskrivs av g(x)=x+8.

Linjen

y = \frac{7}{9} x - 5

är vinkelrät mot en annan linje som går igenom punkterna

(a, 5)

och

(2, 9) .

Bestäm den okända koordinaten

a

. Svara exakt.

Eftersom linjerna är vinkelräta är produkten av deras lutningar -1. Lutningen för y= 79x-5 är 79, och vi använder det för att bestämma den andra linjens lutning.

Den andra linjen har alltså lutningen k=- 97. Vi sätter in punkterna i k-formeln, likställer med detta k-värde, och löser ut a.

Den okända koordinaten är alltså 469.

Kan man dra en linje genom två av punkterna

A = (3, 1),

B = (2, 3),

C = (3, 6)

och

D = (5, 7)

och en till linje genom de andra två punkterna så att linjerna blir parallella? Motivera ditt svar.

Vi börjar med att sätta in de fyra punkterna i ett koordinatsystem.

Om två linjer ska passera alla dessa punkter måste varje linje gå igenom två av punkterna. Testar vi att rita in linjer på detta sätt ser vi att den blå och den röda kombinationen ger linjer som uppenbart inte är parallella, eftersom de skär varandra.

Det sista sättet att rita ut linjerna ser mer lovande ut.

För visa att linjerna är parallella undersöker vi deras k-värden. Vi kallar k-värdet för linjen genom B och C för k_(BC) och den andra lutningen för k_(AD). Båda linjerna stiger med 3 steg i y-led för varje steg åt höger i x-led, vilket innebär att de har k-värdet 3: k_(BC)=k_(AD)=3.

Samma k-värde innebär att de är parallella.

Räta linjers egenskaper

Parallella linjer

Exempel

Är linjerna parallella?

Vinkelräta linjer

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Allmän form - rät linje

Exempel

Omvandla från allmän form till $k$ -form

Exempel

Omvandla från $k$ -form till allmän form

Enpunktsform