6. Räta linjers egenskaper
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
6.
Räta linjers egenskaper
Lektionen fokuserar på egenskaperna hos vinkelräta linjer inom matematik. Den förklarar hur vinkelräta linjer relaterar till varandra och hur de skiljer sig från parallella linjer. Det finns detaljerade förklaringar om hur man kan använda olika matematiska formler för att avgöra om linjer är vinkelräta eller parallella. Lektionen innehåller också exempel och övningar som hjälper till att förstå dessa koncept. Den är användbar för studenter som studerar matematik på olika nivåer och vill förstå hur vinkelräta linjer används inom geometri och algebra.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 13 sidor teori |
| | 29 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räta linjers egenskaper
Sida av 13
En rät linjes riktningskoefficient kan användas till mer än att beskriva lutningen. Det finns exempelvis särskilda samband mellan räta linjers k-värden som kan utnyttjas för att avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Parallella linjer
- Vinkelräta linjer
- Allmän form rät linje
- Enpunktsform
Förkunskaper
Koncept
Räta linjens ekvation
En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad k-form.
y=kx+m
k- och m-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. k anger lutningen och m är det y-värde där linjen skär y-axeln. I koordinatsystemet har linjen k-värdet 2 och m-värdet 1.
Regel
k-form
Alla räta linjer som inte är vertikala kan skrivas på så kallad k-form.
y=kx+m
y=kx
Extra
Skriva om i k-formEn linjes ekvation uttryckt i en annan form kan omvandlas till k-form genom att lösa ut y.
Här motsvarar −ba k-värdet, och bc motsvarar m-värdet.
ax+by=c
▼
Lös ut y
y=−bax+bc
y=−bax↓k+bc↓m
Regel
Parallella linjer
Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på k-form innebär det att deras k-värden, k1 och k2, är samma.
k1=k2
I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.
Exempel
Är linjerna parallella?
Är den räta linjen som går igenom punkterna (1,2) och (3,8) parallell med linjen y=3x+5?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
Ledtråd
Bestäm k-värdet för den första linjen med hjälp av de givna punkterna. Identifiera k-värdet för den andra linjen från dess ekvation. Parallella linjer har samma k-värde.
Lösning
För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma k-värde. Den räta linjen y=3x+5 har k-värdet 3. Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i k-formeln.
Linjerna har alltså samma k-värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika m-värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in k=3 samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex. (1,2), i räta linjens ekvation.
Ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna är alltså
k=x2−x1y2−y1
SubstitutePoints
Sätt in (3,8) & (1,2)
k=3−18−2
SubTerms
Subtrahera termer
k=26
CalcQuot
Beräkna kvot
k=3
y=3x+m
SubstituteII
x=1 och y=2
2=3⋅1+m
Multiply
Multiplicera faktorer
2=3+m
SubEqn
VL−3=HL−3
−1=m
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
m=−1
y=3x−1.
Denna linje och y=3x+5 har samma k-värde men olika m-värden och är därmed parallella.
Regel
Vinkelräta linjer
Två räta linjer som bildar vinkeln 90∘ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.
k1⋅k2=−1
Exempel
Är linjerna vinkelräta?
Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
Hitta k-värdena för båda linjerna. Om deras produkt är −1, är linjerna vinkelräta.
Lösning
Två linjer är vinkelräta om produkten av deras k-värden är −1. Vi kan läsa av att lutningarna är −2 och 0,4, så det är bara att multiplicera dem:
−2⋅0,4=−0,8.
Produkten blev inte −1, så linjerna är inte vinkelräta.
Övning
Classifying Lines
Use the properties of parallel and perpendicular lines to determine whether each pair of lines is parallel, perpendicular, or neither.
Koncept
Allmän form - rät linje
Alla linjer går inte att skriva på k-form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala. Denna form är känd som den allmänna formen.
ax+by+c=0
Flera kombinationer av konstanterna a, b och c kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Det förekommer även att ekvationen för en rät linje skrivs med variablerna i vänster led och konstanten i höger led.
| Allmän form | 2x+3y−5=0 | 2x+3y=5 |
|---|---|---|
| Horisontell linje | y−4=0 | y=4 |
| Vertikal linje | x−7=0 | x=7 |
Exempel
Omvandla från allmän form till k-form
Skriv den räta linjen 2y+8−4x=0 på k-form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["y=2x-4"]}}
Ledtråd
Lös ut y för att skriva om ekvationen i k-form.
Exempel
Omvandla från k-form till allmän form
Skriv linjen y=0,4x−7 på allmän form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5y-2x+35=0"]}}
Ledtråd
Omarrangera ekvationen för att eliminera bråk och flytta alla termer till en sida.
Lösning
När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med 10 eftersom produkten av 10⋅0,4 är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.
Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med 2. På allmän form skrivs linjen alltså
5y−2x+35=0.
Koncept
Enpunktsform
För att beskriva en rät linje används oftast k-form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt (x1,y1) som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.
y−y1=k(x−x1)
Exempel
Skriva en ekvation i enpunktsform
A line passes through the points (2,5) and (6,−1). Write the equation of the line in point-slope form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["y-5=\\dfrac{3}{2}(x-2)","y+1=\\dfrac{3}{2}(x-6)"]}}
Lösning
Begin by calculating the slope of the line using the k-formula with the known points.
Now substitute the slope and one of the points into the point-slope form to find the equation of the line. In this case, the point (2,5) will be used.
k=x2−x1y2−y1
SubstitutePoints
Sätt in (2,5) & (6,−1)
k=2−65−(−1)
SubNeg
a−(−b)=a+b
k=2−65+1
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
k=−46
MoveNegNumToFrac
Skriv minustecken framför bråk
k=−46
ReduceFrac
Förkorta med 2
k=23
y−y1=k(x−x1) ⇒ y−5=23(x−2)
If the point (6,−1) is used, the resulting equation is as follows.
y−(−1)=23(x−6) ⇒ y+1=23(x−6)
Räta linjers egenskaper
Övningar
En rät linje L går igenom punkten (6,1) och är parallell med linjen y=−2x+3. Skriv ekvationen för linjen L på k-form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2x+13"]}}
security
report
code
security
report
code
Parallella linjer har samma lutning och därför samma k-värde, så linjen L ska alltså ha k-värdet - 2 för att vara parallell med y = - 2x + 3. Då kan L beskrivas av ekvationen y = - 2x + m. För att bestämma konstanttermen m sätter vi in den kända punktens koordinater i ekvationen och löser ut m.
Linjens ekvation är y = - 2x + 13. Vi ritar linjen i ett koordinatsystem.
security
report
code
En linje L1 är parallell med linjen L2 vars ekvation är
y=4x−5.
Du vet även att L1 går genom punkten (4,17). Ange linjen L1:s ekvation.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x+1"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom linjerna L_1 och L_2 är parallella med varandra måste även linjen L_1 ha samma lutning som L_2, dvs. lutningen k = 4. Så här långt kan vi beskriva linjen L_1 med ekvationen y = 4x + m, där k-värdet är känt men m-värdet fortfarande är okänt. Vi tar reda på det okända m-värdet genom att använda den givna punkten (4, 17). Denna punkts koordinater sätter vi in i ekvationen y = 4x + m och sedan löser vi ut m.
Linjen L_1 har alltså ekvationen y = 4x + 1.
security
report
code
Är informationen i figuren tillräcklig för att avgöra om linjerna är parallella?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Parallella linjer har samma lutning. Vid första anblick ser det ut som att linjerna har samma lutning men detta kan vi inte med säkerhet säga utan att beräkna k-värdet för båda linjer. Den ena linjen skulle kunna ha lutningen k=-2 och den andra k=-1,9999, och då kommer de att skära varandra någonstans. Vi behöver alltså känna till k-värdena för de två linjerna, eller ha möjlighet att räkna ut dem, för att kunna avgöra om de är parallella.
security
report
code
Den linjära funktionen f(x) går igenom punkterna (8,3) och (1,−4). Funktionen g(x) är parallell med f(x) och går igenom punkten (12,20). Bestäm ekvationen till g(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">g<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x+8"]}}
security
report
code
security
report
code
g(x) är parallell med f(x). Det betyder att de har samma lutning, så vi börjar med att bestämma lutningen till f(x).
Lutningen för f(x) är 1. Det betyder att lutningen till g(x) också är 1. Vi känner även till en punkt på g(x), så vi kan använda enpunktsformen för att bestämma funktionsuttrycket.
Linjen beskrivs av g(x)=x+8.
security
report
code
Linjen y=97x−5 är vinkelrät mot en annan linje som går igenom punkterna (a,5) och (2,9). Bestäm den okända koordinaten a. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{46}{9}"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom linjerna är vinkelräta är produkten av deras lutningar -1. Lutningen för y= 79x-5 är 79, och vi använder det för att bestämma den andra linjens lutning.
Den andra linjen har alltså lutningen k=- 97. Vi sätter in punkterna i k-formeln, likställer med detta k-värde, och löser ut a.
Den okända koordinaten är alltså 469.
security
report
code
Kan man dra en linje genom två av punkterna A=(3,1), B=(2,3), C=(3,6) och D=(5,7) och en till linje genom de andra två punkterna så att linjerna blir parallella? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att sätta in de fyra punkterna i ett koordinatsystem.
Om två linjer ska passera alla dessa punkter måste varje linje gå igenom två av punkterna. Testar vi att rita in linjer på detta sätt ser vi att den blå och den röda kombinationen ger linjer som uppenbart inte är parallella, eftersom de skär varandra.
Det sista sättet att rita ut linjerna ser mer lovande ut.
För visa att linjerna är parallella undersöker vi deras k-värden. Vi kallar k-värdet för linjen genom B och C för k_(BC) och den andra lutningen för k_(AD). Båda linjerna stiger med 3 steg i y-led för varje steg åt höger i x-led, vilket innebär att de har k-värdet 3: k_(BC)=k_(AD)=3. Samma k-värde innebär att de är parallella.
security
report
code
Räta linjers egenskaper
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll