Pythagoras sats

Vi vill skriva en ekvation för avståndet d mellan punkterna (x_1;y_1) och (x_2;y_2).

Låt oss använda Pythagoras sats för att skriva denna ekvation. För att göra det kommer vi att rita två ytterligare segment som kommer att bilda en rätvinklig triangel med det ritade segmentet som hypotenusa. Det första segmentet kommer att vara horisontellt och kommer att börja vid punkten (x_1,y_1). Det andra segmentet kommer att vara vertikalt och kommer att börja vid punkten (x_2,y_2).

Dessa segment är vinkelräta eftersom ett av dem är horisontellt och det andra är vertikalt. Därefter kan vi se att längden på det horisontella segmentet är skillnaden mellan x_2 och x_1.

Å andra sidan är längden på det vertikala segmentet skillnaden mellan y_2 och y_1.

Låt oss nu använda Pythagoras sats. Den säger oss att summan av kvadraterna av längderna på benen i en rätvinklig triangel är lika med den kvadrerade hypotenusan. d^2=( x_2-x_1)^2+( y_2-y_1)^2 Slutligen kan vi ta en positiv kvadratrot av båda sidor för att isolera d.

Vi hittade ekvationen genom att rita en rätvinklig triangel och använda Pythagoras sats.

Vi blir ombedda att beskriva hur vi kan lösa en rätvinklig triangel. Observera att lösa en rätvinklig triangel innebär att hitta en av dess saknade längder. För att besvara frågan, låt oss ta en titt på en rätvinklig triangel med sidlängderna a, b, och c.

Låt oss nu komma ihåg Pythagoras sats. Denna sats berättar om förhållandet mellan dess kateter a och b och hypotenusan c.

Pythagoras sats |- I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna av kateternas längder lika med kvadraten av hypotenusans längd.

Vi kan också skriva denna sats med symboler.

Vi ser att värdena på a, b, och c är bundna av denna ekvation. Om en av längderna saknas, sätter vi in längderna på de andra två sidorna i ekvationen för att lösa den saknade. Det är så vi löser en rätvinklig triangel.

Exempel

Här är en rätvinklig triangel. I grafen kan vi se längderna på dess två kateter.

Vi vill hitta den saknade längden på hypotenusan c. För det kommer vi att använda Pythagoras sats. Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi skriva följande ekvation. 6^2+8^2=c^2 Låt oss nu lösa ekvationen för c.

Det finns två lösningar till ekvationen, c=- 10 och c=10. Eftersom en längd inte kan vara negativ är c=10 vår lösning. Hypotenusans längd är 10 enheter.

Vi har följande rätvinkliga triangel med sidlängderna a, b och c. Vi blir ombedda att beskriva hur vi kan lösa triangeln när sidlängderna a eller b saknas.

Observera att oavsett vilken sida som saknas kan vi alltid använda Pythagoras sats. Denna sats berättar om förhållandet mellan triangelns kateter a och b och hypotenusan c.

Pythagoras sats |- I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna av kateternas längder lika med kvadraten av hypotenusans längd.

Eftersom vår triangel är rätvinklig kan vi också skriva denna sats med symboler.

Låt oss nu betrakta vart och ett av de två fallen.

Längderna b och c är kända

Föreställ dig detta: vi får längderna b och c. Vi vill hitta a. För att göra det kan vi använda ekvationen vi skrev tidigare. a^2+b^2=c^2 Först sätter vi in de kända värdena för b och c i ekvationen. Sedan löser vi för den saknade längden a. För att bättre se hur detta fungerar, låt b=12 och c=13. Vi kommer att hitta a.

Det finns två lösningar till ekvationen, a=- 5 och c=5. Eftersom en längd inte kan vara negativ är a=5 vår lösning.

Längderna b och c är kända

Den här gången får vi längderna a och b. Vi vill hitta c. För att göra det bör vi återigen använda Pythagoras sats. a^2+b^2=c^2 Vi sätter in de kända värdena, i det här fallet a och b, i ekvationen. Sedan löser vi för den saknade längden c. Låt oss ta en titt på ett exempel. Vi kommer att använda a=6 och b=8 för att hitta c.

Eftersom en längd inte kan vara negativ är längden på hypotenusan c 10 enheter.

Vi får veta att Xavier har kommit fram till att den saknade längden i den givna triangeln är ungefär 18,5 enheter.

Vi blir ombedda att förklara hur vi vet att Xavier har fel utan att beräkna den saknade längden. Lägg märke till att den givna triangeln är en rätvinklig triangel och att den saknade längden är längden på hypotenusan. Vi vet att i en rätvinklig triangel är hypotenusan alltid den längsta sidan.

Xavier sa emellertid att längden på hypotenusan är 18,5 enheter, vilket är mindre än längderna på båda kateterna, som är 21 och 28. Detta innebär att han måste ha löst felaktigt.

Låt oss hitta den korrekta saknade längden! Vi kan använda Pythagoras sats, som säger att summan av kvadraterna av längderna på kateterna i en rätvinklig triangel är lika med kvadraten av längden på hypotenusan.

Låt x representera den saknade längden i den givna triangeln.

Längderna på kateterna är 21 och 28 och längden på hypotenusan är x. Låt oss använda Pythagoras sats för att skriva en ekvation som relaterar dessa längder. 21^2 + 28^2 = x^2 Låt oss lösa denna ekvation!

Den saknade längden är 35 enheter.

Vi blir ombedda att förklara hur användningen av Pythagoras sats i ett rätblock liknar användningen av den i en rektangel. Låt oss betrakta ett exempelproblem som involverar ett rätblock där vi kan använda Pythagoras sats.

Här vill vi hitta längden d. Låt oss lösa problemet! Lägg först märke till att en rätvinklig triangel bildas av segmentet d, en av prismans sidokanter och en diagonal av basen.

Vi kan använda Pythagoras sats för att hitta längden d, men först måste vi känna till längderna på båda triangelns kateter. För närvarande känner vi bara till en, längden på prismans sidokant. Lägg märke till att den andra kateten är en diagonal av basen. Låt oss fokusera på basen av vårt prisma och kalla längden på denna diagonal för x.

Som vi kan se är segmentet x hypotenusan i en rätvinklig triangel med katetlängder på 6 och 8 meter. Detta innebär att vi kan använda Pythagoras sats för att hitta x. Låt oss skriva och lösa en ekvation.

Diagonalens längd är 10 meter. Låt oss nu gå tillbaka till vårt prisma.

Nu känner vi till längderna på båda kateterna i den rätvinkliga triangeln där längden på hypotenusan är den längd vi söker! Vi kan skriva och lösa en ekvation med hjälp av Pythagoras sats för att hitta längden på d. Låt oss göra det!

Vi har löst vårt problem. Att använda Pythagoras sats här liknade att använda Pythagoras sats i en rektangel eftersom vi letade efter rätvinkliga trianglar där vi kunde tillämpa Pythagoras sats.

Eftersom målningen kommer att vara rektangulär, kommer även dukramen att vara rektangulär med samma dimensioner som målningen.

Observera att varje diagonal i en rektangel delar den i två rätvinkliga trianglar.

Genom att tillämpa Pythagoras sats kan vi hitta längden på hypotenusan. När vi tar kvadratroten kommer vi bara att beakta det positiva fallet eftersom c är en sidlängd.

För att vara säker på att ramens hörn är 90^(∘), måste vi därför verifiera att längden på diagonalerna är ungefär 12,8 centimeter.

Om måttet på diagonalerna är ungefär 12,8 centimeter, så skulle vi ha följande ekvation. 12,8^2 = 8^2 + 10^2 Då kan vi, med hjälp av omvändningen av Pythagoras sats, dra slutsatsen att en triangel med dessa dimensioner är en rätvinklig triangel, vilket innebär att hörnen är 90^(∘).

För att hitta arean behöver vi höjden h av den likbenta triangeln.

Eftersom höjden som dras ovan är från vinkelspetsen, delar den basen i två kongruenta segment med längden 8 m.

Därefter betraktar vi en av de rätvinkliga trianglarna som bildas av höjden, vars ben är 8 m och h och vars hypotenusa är 17 m. Vi tillämpar nu Pythagoras sats och löser den för h.

Triangelns höjd är h=15 m. Slutligen hittar vi arean genom att sätta in b=16 och h=15 i formeln A=1/2bh.

Triangelns area är 120 m^2.