| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Minispelare aktiv
Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation. Exempelvis kan produkten 7⋅7⋅7 skrivas som potensen 73, där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.
73 utläses "sju upphöjt till tre" och exponenten 3 betyder att basen 7 multipliceras tre gånger. I tabellen syns ytterligare några exempel.
12⋅12⋅12=123 | 12 upphöjt till 3 |
2⋅2⋅2⋅2=24 | 2 upphöjt till 4 |
6⋅6⋅6⋅6⋅6=65 | 6 upphöjt till 5 |
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla "taket" som ser ut så här: ∧. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just "upphöjt till två". Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.
Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.
Dela upp i faktorer
Ta bort parentes
Skriv som potens
När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 36 och 34 lika med 36−4=32. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
Skriv som potens
Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. (52)3 lika med 52⋅3=56. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Regeln gäller för alla reella tal a, b och c.När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. (2⋅5)3 samma sak som 23⋅53. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
a3=a⋅a⋅a
Ta bort parentes
Omarrangera faktorer
a⋅a⋅a=a3
När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. (56)4 samma sak som 5464. Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.
Dela upp i faktorer
Multiplicera bråk
Skriv som potens
När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. 5-3, och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med 531. Denna motiveras genom att skriva -3 som t.ex. 4−7 och använda en av potenslagarna.
Skriv -3 som 4−7
ab−c=acab
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
a⋅a⋅a=a3
Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.
Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 40? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 2−2.
Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 00. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått 0202, vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.
Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.
acab=ab−c
Beräkna 9−5
ab⋅ac=ab+c
Addera och subtrahera termer
a0=1
Uttryckets värde är 1.