body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

1b

Kurs 1b Visa detaljer

7. Olikheter

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 3

7.

Olikheter

Innehållet handlar om olikheter i matematik, en grundläggande del av algebra. Det förklarar olika olikhetstecken, inklusive större än, mindre än eller lika med, samt hur man löser olikheter. Det diskuterar också reglerna för att arbeta med olikheter, inklusive hur olikhetstecknet kan ändras när man multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal. Dessutom ger det exempel på hur man tillämpar dessa koncept i praktiken, vilket ökar förståelsen hur man löser olikheter effektivt.

Inställningar & verktyg för lektion

	9 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Olikheter

Sida av 9

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Olikhet
Lösa olikheter

Förkunskaper

Variabel
Algebraiskt uttryck
Balansmetoden

Teori

Olikhet

Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.

Tecken	Betyder	Exempel
$<$	Är mindre än	$3 < 4$
$\leq$	Är mindre än eller lika med	$x \leq 2$
$>$	Är större än	$4 > 3$
$\geq$	Är större än eller lika med	$x \geq 0$

Den sista olikheten,

x \geq 0,

säger att

x

är noll eller positivt. Markeras denna olikhet på en tallinje ingår intervallets gräns, dvs.

0,

och markeras med en ifylld punkt. Om gränsen inte ingår (strikt olikhet), som för

x > - 3,

är punkten inte ifylld. Då kan

x

vara hur nära

- 3

som helst, t.ex.

- 2, 999,

men inte

- 3 .

Intervallet

- 8 < x \leq 6

anger att

x

ligger mellan

- 8

och

6 .

Det är en kombination av

- 8 < x

och

x \leq 6 .

Den första olikheten säger att

- 8

är mindre än

x,

dvs. att

x

är större än

- 8 .

Den andra säger att

x

är mindre än eller lika med

6 .

Teori

Intervall

Ett intervall anger en mängd värden som ligger mellan två tal, eller en mängd värden större än eller mindre än ett visst tal. De beskrivs ofta med olikheter. Ett intervall på en reell tallinje innehåller en oändlig mängd tal. I intervallet $1 \leq x \leq 4$ $(x -$ värden mellan $1$ och $4)$ ingår alla tal på denna del av tallinjen, t.ex. $1;$ $2, 7;$ $3, 91$ och $4 .$ Intervall brukar ofta illustreras med markerade områden mellan två punkter på en tallinje.

Intervall från 1 till 4

Ett intervall behöver inte vara begränsat åt båda håll. Exempelvis är

x \geq 0

ett intervall som innehåller

0

och alla positiva reella tal.

Exempel

Vilka tal löser olikheten?

Ange vilka av följande tal som löser olikheten

x < - 1 .

Ledtråd

Rita olikheten på en tallinje.

Lösning

För att förstå olikheten $x < - 1$ bättre kan vi rita in intervallet på en tallinje.

Tal som är strikt mindre än

- 1,

även de som inte syns här, löser olikheten. Då ingår alltså inte

x = - 1

utan endast:

- 2 och - 500 .

Övning

Skriva en olikhet från dess graf

Undersök den givna grafen och bestäm dess olikhet.

Graf av en olikhet och fyra möjliga olikheter.

Teori

Lös olikheter

Lösningen på en olikhet, t.ex.

x + 1 < 7,

är de värden på variabeln som gör att olikheten är sann. Lösningen

x < 6

innebär att alla tal mindre än

6

löser olikheten, det finns alltså inte bara ett korrekt

x -

värde. Lösningsmetoden är samma som för ekvationer: man gör samma sak i båda led. Det finns dock en viktig skillnad. Om man dividerar eller multiplicerar olikheten med ett negativt tal vänds olikhetstecknet.

Man kan motivera att tecknet vänds med talen

2

och

5 .

Man vet att

2 < 5 .

Multipliceras båda led med

- 1

blir vänsterledet

- 2

och högerledet

- 5 .

Men

- 2

är större än

- 5

och därför måste olikhetstecknet vändas om olikheten ska stämma. Man får alltså

- 2 > - 5 .

Exempel

Lös en olikhet

Lös olikheten

2 x - 6 \leq 10 .

Ledtråd

Tillämpa samma uppsättning operationer på båda sidor av olikheten för att isolera variabeln. Kom ihåg att när du multiplicerar eller dividerar båda sidor med ett negativt tal byts olikhetstecknet.

Lösning

För att lösa olikheten vill vi få

2 x

ensamt i vänsterledet och på samma sätt som i ekvationer adderar vi

6

i båda led för att kunna stryka

- 6

i vänsterledet.

2 x - 6 \leq 10

$VL + 6 \leq HL + 6$

2 x - 6 + 6 \leq 10 + 6

Förenkla termer

2 x \leq 16

Till sist dividerar vi bort

2 : an .

Eftersom den är positiv behöver vi inte tänka på att vända olikhetstecknet.

2 x \leq 16

$VL / 2 \leq HL / 2$

\frac{2 x}{2} \leq \frac{1 6}{2}

Beräkna kvot

x \leq 8

Alla

x

mindre än eller lika med

8

löser olikheten.

Exempel

När vänds olikhetstecknet?

Lös olikheten

5 - 3 x \leq 17 .

Ledtråd

Tillämpa samma uppsättning operationer på båda sidor av olikheten för att isolera variabeln. Kom ihåg att när du multiplicerar eller dividerar båda sidor med ett negativt tal byts olikhetstecknet.

Lösning

För att lösa den här olikheten börjar vi med att få

- 3 x

ensamt. För att olikheten ska gälla när vi sedan dividerar bort koefficienten

- 3

framför

x

måste vi komma ihåg att vända på olikhetstecknet. Det måste man alltid göra när man dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal.

5 - 3 x \leq 17

$VL - 5 = HL - 5$

- 3 x \leq 12

Dividera med $(- 3)$ & vänd olikhet

x \geq - 4

x

måste alltså vara större än eller lika med

- 4,

och vi är klara. Men om man vill man undvika att dividera med ett negativt tal kan man istället lösa olikheten genom att flytta

- 3 x

till högerledet och

12

till vänsterledet för att sedan dividera med

3 .

5 - 3 x \leq 17

$VL - 5 = HL - 5$

- 3 x \leq 12

$VL + 3 x = HL + 3 x$

0 \leq 12 + 3 x

$VL - 12 = HL - 12$

- 12 \leq 3 x

$VL / 3 = HL / 3$

- 4 \leq x

Omarrangera olikhet

x \geq - 4

Vi ser att vi får samma svar oavsett vilken metod vi använder.

Övning

Att lösa olikheter

I appleten finns olika olikheter. Välj den korrekta lösningsmängden för den givna olikheten.

Ett program som genererar slumpmässiga olikheter och visar fyra alternativ som möjliga lösningar, där endast ett är korrekt.

Olikheter

Övningar

Vilken av följande differenser är störst,

9 - 5 eller 11 - 7

Motivera ditt svar utan räknare.

Vi vet inte vilket olikhetstecken vi ska sätta mellan differenserna. Vi sätter därför båda. Sedan skriver vi om uttrycket så att vi kan avgöra vilken olikhet som stämmer. Om vi enbart utför operationer där olikhetstecknet inte vänds kommer det tecken vi får på slutet gälla genom hela beräkningen. Vi börjar med att skriva om olikheten så att vi slipper minustecken, och därefter kvadrerar vi i hopp om att bli av med några rottecken.

Nu har vi två led som är långa och krångliga. Vi förenklar dem ett i taget.

Vänsterledet kan alltså skrivas 16+2sqrt(63). Nu skriver vi om högerledet på samma sätt.

Nu kan vi sätta in dessa uttrycken i olikheten.

Eftersom 63 är större än 55 är vänsterledet större än högerledet. Därför är sqrt(9)-sqrt(5)>sqrt(11)-sqrt(7).

Olikheter

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll