body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Mathleaks

Minispelare aktiv

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Olikhet
Lösa olikheter

Förkunskaper

Variabel
Algebraiskt uttryck
Balansmetoden

Teori

Olikhet

Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.

Tecken	Betyder	Exempel
$<$	Är mindre än	$3 < 4$
$\leq$	Är mindre än eller lika med	$x \leq 2$
$>$	Är större än	$4 > 3$
$\geq$	Är större än eller lika med	$x \geq 0$

Den sista olikheten,

x \geq 0,

säger att

x

är noll eller positivt. Markeras denna olikhet på en tallinje ingår intervallets gräns, dvs.

0,

och markeras med en ifylld punkt. Om gränsen inte ingår (strikt olikhet), som för

x > - 3,

är punkten inte ifylld. Då kan

x

vara hur nära

- 3

som helst, t.ex.

- 2, 999,

men inte

- 3 .

Intervallet $- 8 < x \leq 6$ anger att $x$ ligger mellan $- 8$ och $6 .$ Det är en kombination av $- 8 < x$ och $x \leq 6 .$ Den första olikheten säger att $- 8$ är mindre än $x,$ dvs. att $x$ är större än $- 8 .$ Den andra säger att $x$ är mindre än eller lika med $6 .$

Teori

Intervall

Ett intervall anger en mängd värden som ligger mellan två tal, eller en mängd värden större än eller mindre än ett visst tal. De beskrivs ofta med olikheter. Ett intervall på en reell tallinje innehåller en oändlig mängd tal. I intervallet $1 \leq x \leq 4$ $(x -$ värden mellan $1$ och $4)$ ingår alla tal på denna del av tallinjen, t.ex. $1,$ $2, 7,$ $3, 91$ och $4 .$ Intervall brukar ofta illustreras med markerade områden mellan två punkter på en tallinje.

Intervall från 1 till 4

Ett intervall behöver inte vara begränsat åt båda håll. Exempelvis är

x \geq 0

ett intervall som innehåller

0

och alla positiva reella tal.

Exempel

Vilka tal löser olikheten?

Ange vilka av följande tal som löser olikheten

x < - 1 :

3, - 1, - 2, - 500, 0, 2 .

Ledtråd

Rita olikheten på en tallinje.

Lösning

För att förstå olikheten $x < - 1$ bättre kan vi rita in intervallet på en tallinje.

Tal som är strikt mindre än

- 1,

även de som inte syns här, löser olikheten. Då ingår alltså inte

x = - 1

utan endast:

- 2 och - 500 .

Övning

Skriva en olikhet från dess graf

Undersök den givna grafen och bestäm dess olikhet.

Graf av en olikhet och fyra möjliga olikheter.

Teori

Lösa olikheter

Lösningen på en olikhet, t.ex.

x + 1 < 7,

är de värden på variabeln som gör att olikheten är sann. Lösningen

x < 6

innebär att alla tal mindre än

6

löser olikheten, det finns alltså inte bara ett korrekt

x -

värde. Lösningsmetoden är samma som för ekvationer: man gör samma sak i båda led. Det finns dock en viktig skillnad. Om man dividerar eller multiplicerar olikheten med ett negativt tal vänds olikhetstecknet.

Man kan motivera att tecknet vänds med talen

2

och

5 .

Man vet att

2 < 5 .

Multipliceras båda led med

- 1

blir vänsterledet

- 2

och högerledet

- 5 .

Men

- 2

är större än

- 5

och därför måste olikhetstecknet vändas om olikheten ska stämma. Man får alltså

- 2 > - 5 .

Exempel

Lös en olikhet

Lös olikheten

2 x - 6 \leq 10 .

Ledtråd

Tillämpa samma uppsättning operationer på båda sidor av olikheten för att isolera variabeln. Kom ihåg att när du multiplicerar eller dividerar båda sidor med ett negativt tal byts olikhetstecknet.

Lösning

För att lösa olikheten vill vi få

2 x

ensamt i vänsterledet och på samma sätt som i ekvationer adderar vi

6

i båda led för att kunna stryka

- 6

i vänsterledet.

2 x - 6 \leq 10

$VL + 6 \leq HL + 6$

2 x - 6 + 6 \leq 10 + 6

Förenkla termer

2 x \leq 16

Till sist dividerar vi bort

2 : an .

Eftersom den är positiv behöver vi inte tänka på att vända olikhetstecknet.

2 x \leq 16

$VL / 2 \leq HL / 2$

\frac{2 x}{2} \leq \frac{1 6}{2}

Beräkna kvot

x \leq 8

Alla

x

mindre än eller lika med

8

löser olikheten.

Exempel

När vänds olikhetstecknet?

Lös olikheten

5 - 3 x \leq 17 .

Ledtråd

Tillämpa samma uppsättning operationer på båda sidor av olikheten för att isolera variabeln. Kom ihåg att när du multiplicerar eller dividerar båda sidor med ett negativt tal byts olikhetstecknet.

Lösning

För att lösa den här olikheten börjar vi med att få

- 3 x

ensamt. För att olikheten ska gälla när vi sedan dividerar bort koefficienten

- 3

framför

x

måste vi komma ihåg att vända på olikhetstecknet. Det måste man alltid göra när man dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal.

5 - 3 x \leq 17

$VL - 5 = HL - 5$

- 3 x \leq 12

Dividera med $(- 3)$ & vänd olikhet

x \geq - 4

x

måste alltså vara större än eller lika med

- 4,

och vi är klara. Men om man vill man undvika att dividera med ett negativt tal kan man istället lösa olikheten genom att flytta

- 3 x

till högerledet och

12

till vänsterledet för att sedan dividera med

3 .

5 - 3 x \leq 17

$VL - 5 = HL - 5$

- 3 x \leq 12

$VL + 3 x = HL + 3 x$

0 \leq 12 + 3 x

$VL - 12 = HL - 12$

- 12 \leq 3 x

$VL / 3 = HL / 3$

- 4 \leq x

Omarrangera olikhet

x \geq - 4

Vi ser att vi får samma svar oavsett vilken metod vi använder.

Övning

Lösa olikheter

I applet finns olika olikheter givna. Välj den korrekta lösningsmängden för den givna olikheten.

Ett program som genererar slumpmässiga olikheter och visar fyra alternativ som möjliga lösningar, där endast ett är korrekt.

Avslut

Viktiga punkter om olikheter

Denna lektion behandlade olikheter och deras lösningar. Att lösa olikheter följer samma steg som att lösa ekvationer, men istället för att hitta specifika tal är resultatet ett intervall av värden. Den avgörande skillnaden är att när man multiplicerar båda sidor av en olikhet med ett negativt tal, måste olikhetstecknet vändas.

Att multiplicera eller dividera en olikhet med ett negativt tal vänder olikhetstecknet.

Olikheter hjälper till att modellera verkliga situationer för att förstå dem, till exempel godkända poäng på prov. Till exempel, om ett körkortsprov kräver en poäng på

80

eller högre för att bli godkänt, kan detta skrivas som

x \geq 80,

där

x

representerar provresultatet.

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll