Olikheter

För att lösa uppgiften börjar vi med att skriva uttryck för den totala avgiften hos Företag A respektive Företag B. Vi betecknar antalet körda kilometer med x. Hos Företag A betalar du 250kr i startavgift och 2kr per km. Den totala avgiften blir därför 250 + 2x. Hos Företag B betalar du 100kr i startavgift och 5kr per km, vilket ger den totala avgiften 100 + 5x. Nu ska vi undersöka när 100+5x är större än 250+2x. Det ger en olikhet som vi löser.

Olikheten gäller alltså om x är större än 50. Det tolkar vi som att vi måste köra längre än 50km för att avgiften ska bli högre hos Företag B än hos Företag A.

Det går bra att sätta in de tre x-värdena och se om olikheten stämmer. Vi börjar med att sätta in x = - 2 och förenkla.

Ja, x = - 2 är en lösning. Vi sätter sedan in x=0 och ser om det uppfyller olikheten.

Även x=0 är en lösning till olikheten. Sist testar vi x=1.

Det är inte en lösning till olikheten. Vi har alltså hittat de två lösningarna: x = -2 och x = 0.

Vi börjar med att lösa olikheten.

x ska alltså var mindre än cirka - 1,1. Ritar vi in detta på en tallinje ser vi att vi missar heltalet - 1, så intervallets största heltal är -2.

Det största heltalet som uppfyller x ≲ -1.1 är alltså x=-2.

Vi löser olikheterna var för sig.

Alla x större än -3 löser den första olikheten. Vi går vidare och löser även den andra olikheten.

Lösningen till den andra olikheten är alla x mindre än eller lika med 1. De x som löser båda olikheter måste alltså vara större än -3 och mindre än eller lika med 1: -3 < x ≤ 1. Vilka heltalsvärden ryms i intervallet? Eftersom x ska vara större än -3 ingår inte x = -3. Den övre gränsen är x=1 och den ingår. Våra heltalsvärden blir alltså: x = -2, x = -1, x = 0 och x = 1.

Vi ställer upp uttryck för vad kostnaden blir för båda företagen.

Företag 1

Vi kallar antalet timmar som elektrikern jobbar för x. Eftersom timpriset är 250 kronor ska detta multipliceras med antalet timmar: 250x. Sedan lägger vi till grundavgiften 100kr. Det ger oss uttrycket 250x+100.

Företag 2

Antalet timmar är x även här, men nu är timpriset 150 kr, vilket ger kostnaden 150x. Sedan lägger vi på grundavgiften 500kr: 150x+500.

Skapa och lös olikhet

Vi ska undersöka när det är billigare att anlita Företag 1 dvs. när kostnaden är mindre än för Företag 2. Det betyder att vi ska lösa olikheten 250x+100<150x+500. Vi löser olikheten genom att få x ensamt på ena sidan av olikheten.

Företag 1 är alltså billigare om arbetet tar mindre än 4 timmar.

Antag att vi vill erhålla en barnvaktslicens. För att göra det måste vi träna i minst 6 timmar och 45 minuter. Låt oss konvertera minuterna till timmar genom att använda det faktum att 1 timme är lika med 60 minuter.

Detta innebär att vi måste träna i minst 6,75 timmar. Om vi tränar någon tid som är mindre än 6,75 kommer vi inte att erhålla en licens. Låt oss skriva detta krav som en olikhet genom att leta efter följande fraser för att bestämma var olikhetssymbolen ska placeras.

Frasen mindre än indikerar att vi kan skriva den givna informationen med olikhetssymbolen <. Låt variabeln x representera våra träningstimmar. x < 6,75 Genom att observera den givna olikheten kan vi se att alla värden på x är mindre än 6,75. Detta innebär att alla lösningar till ovanstående olikhet ligger till vänster om 6,75 på en tallinje. Dessutom indikerar olikhetssymbolen att x=6,75 inte är en lösning, vilket vi kommer att markera med en öppen cirkel på tallinjen vid 6,75.

Varje tidsmängd som ligger till vänster om 6,75 är antalet timmar som vi kan träna och fortfarande inte erhålla en licens.

Tänk på att varje besök på ett vattenland kostar 199,50 kronor och ett årskort till parken kostar 899,50 kronor. Kostnaden för besöken utan årskortet kommer att vara lika med produkten av 199,50 multiplicerat med antalet besök. Kostnad för besök=199,50 x Här representerar variabeln x antalet besök i vattenparken. För att avgöra om kortet är ett bättre erbjudande måste kostnaden för antalet besök vara större än 899,50. Frasen större än indikerar att vi kan representera denna situation med olikhetssymbolen >. 199,50 x > 899,50 Denna olikhet representerar antalet gånger vi behöver besöka parken för att kortet ska vara ett bättre erbjudande.

Vi vill köpa ett halsband och en annan artikel från den givna listan.

Den totala kostnaden för artiklarna kommer att vara summan av kostnaden för halsbandet och kostnaden för den andra artikeln. Eftersom vi inte känner till priset på den andra artikeln kan vi använda variabeln x för att representera den. Total kostnad=160+x Eftersom vi har 330 dollar måste den totala kostnaden för artiklarna vara högst 330 dollar. Frasen högst indikerar att kostnaden för artiklarna måste vara mindre än eller lika med 330, vilket kan representeras med olikhetssymbolen ≤. 160+x≤ 330

Kom ihåg olikheten som erhölls i del A. 160+x≤ 330 Vi vill avgöra om den andra artikeln kan vara en t-shirt. För att göra det kan vi sätta in priset på t-shirten i variabeln x för att se om den uppfyller olikheten.

Priset på t-shirten uppfyller olikheten. Därför kan den andra artikeln vara en t-shirt.

Vi vill avgöra om den andra artikeln kan vara en bok. För att göra det, kom ihåg olikheten som erhölls i del A. 160+x≤ 330 Nu kommer vi att sätta in priset på boken i variabeln x för att se om den uppfyller olikheten.

Priset på boken uppfyller inte olikheten. Därför kan den andra artikeln inte vara en bok.

Vi vill avgöra om det givna påståendet alltid, ibland eller aldrig är sant.

Ett tal som är en lösning till olikheten x > 5 är också en lösning till olikheten x ≥ 5.

Den första olikheten indikerar att x är större än 5. Den andra olikheten representerar att x är större än eller lika med 5. Ett tal som är större än 5 är alltid större än eller lika med 5. Detta betyder att lösningsmängden alltid är sann.

Tänk på att en tunnelbaneresa kostar 14,99 kronor. Ett 30-dagars tunnelbanekort kostar 360 kronor. Den totala kostnaden för resorna utan tunnelbanekortet kommer att vara lika med produkten av 14,99 multiplicerat med antalet resor. Totala kostnaden för resor=14,99x Här representerar variabeln x antalet resor. För att avgöra om kortet är ett bättre erbjudande måste den totala kostnaden för våra resor vara större än 360 kronor. Frasen större än indikerar att vi kan representera denna situation med olikhetssymbolen > . 14,99x > 360 Denna olikhet representerar antalet resor vi behöver göra för att kortet ska vara ett bättre erbjudande.