7. Olikheter
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
7.
Olikheter
Innehållet handlar om olikheter i matematik, en grundläggande del av algebra. Det förklarar olika olikhetstecken, inklusive större än, mindre än eller lika med, samt hur man löser olikheter. Det diskuterar också reglerna för att arbeta med olikheter, inklusive hur olikhetstecknet kan ändras när man multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal. Dessutom ger det exempel på hur man tillämpar dessa koncept i praktiken, vilket ökar förståelsen hur man löser olikheter effektivt.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Olikheter
Sida av 9
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Olikhet
- Lösa olikheter
Förkunskaper
Teori
Olikhet
Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.
| Tecken | Betyder | Exempel |
|---|---|---|
| < | Är mindre än | 3<4 |
| ≤ | Är mindre än eller lika med | x≤2 |
| > | Är större än | 4>3 |
| ≥ | Är större än eller lika med | x≥0 |
Teori
Intervall
Ett intervall anger en mängd värden som ligger mellan två tal, eller en mängd värden större än eller mindre än ett visst tal. De beskrivs ofta med olikheter. Ett intervall på en reell tallinje innehåller en oändlig mängd tal. I intervallet 1≤x≤4 (x-värden mellan 1 och 4) ingår alla tal på denna del av tallinjen, t.ex. 1; 2,7; 3,91 och 4. Intervall brukar ofta illustreras med markerade områden mellan två punkter på en tallinje.
Exempel
Vilka tal löser olikheten?
Ange vilka av följande tal som löser olikheten x<−1. 
Tal som är strikt mindre än −1, även de som inte syns här, löser olikheten. Då ingår alltså inte x=−1 utan endast:
{"type":"multichoice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">2<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">5<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">2<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[2,3]}
Ledtråd
Rita olikheten på en tallinje.
Lösning
För att förstå olikheten x<−1 bättre kan vi rita in intervallet på en tallinje.
−2 och −500.
Övning
Skriva en olikhet från dess graf
Undersök den givna grafen och bestäm dess olikhet.
Teori
Lös olikheter
Lösningen på en olikhet, t.ex. x+1<7, är de värden på variabeln som gör att olikheten är sann. Lösningen x<6 innebär att alla tal mindre än 6 löser olikheten, det finns alltså inte bara ett korrekt x-värde. Lösningsmetoden är samma som för ekvationer: man gör samma sak i båda led. Det finns dock en viktig skillnad. Om man dividerar eller multiplicerar olikheten med ett negativt tal vänds olikhetstecknet. 
Man kan motivera att tecknet vänds med talen 2 och 5. Man vet att 2<5. Multipliceras båda led med −1 blir vänsterledet −2 och högerledet −5. Men −2 är större än −5 och därför måste olikhetstecknet vändas om olikheten ska stämma. Man får alltså −2>−5.
Exempel
Lös en olikhet
Lös olikheten 2x−6≤10.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x\\leq 8"]}}
Ledtråd
Tillämpa samma uppsättning operationer på båda sidor av olikheten för att isolera variabeln. Kom ihåg att när du multiplicerar eller dividerar båda sidor med ett negativt tal byts olikhetstecknet.
Lösning
För att lösa olikheten vill vi få 2x ensamt i vänsterledet och på samma sätt som i ekvationer adderar vi 6 i båda led för att kunna stryka −6 i vänsterledet.
Till sist dividerar vi bort 2:an. Eftersom den är positiv behöver vi inte tänka på att vända olikhetstecknet.
Alla x mindre än eller lika med 8 löser olikheten.
Exempel
När vänds olikhetstecknet?
Lös olikheten 5−3x≤17.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x \\geq -4"]}}
Ledtråd
Tillämpa samma uppsättning operationer på båda sidor av olikheten för att isolera variabeln. Kom ihåg att när du multiplicerar eller dividerar båda sidor med ett negativt tal byts olikhetstecknet.
Lösning
För att lösa den här olikheten börjar vi med att få −3x ensamt. För att olikheten ska gälla när vi sedan dividerar bort koefficienten −3 framför x måste vi komma ihåg att vända på olikhetstecknet. Det måste man alltid göra när man dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal.
x måste alltså vara större än eller lika med −4, och vi är klara. Men om man vill man undvika att dividera med ett negativt tal kan man istället lösa olikheten genom att flytta −3x till högerledet och 12 till vänsterledet för att sedan dividera med 3.
Vi ser att vi får samma svar oavsett vilken metod vi använder.
5−3x≤17
SubEqn
VL−5=HL−5
−3x≤12
AddEqn
VL+3x=HL+3x
0≤12+3x
SubEqn
VL−12=HL−12
−12≤3x
DivEqn
VL/3=HL/3
−4≤x
RearrangeIneq
Omarrangera olikhet
x≥−4
Övning
Att lösa olikheter
I appleten finns olika olikheter. Välj den korrekta lösningsmängden för den givna olikheten.
Olikheter
Lös olikheterna och svara exakt.
5x+3<7−2x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x < \\dfrac{4}{7}","\\dfrac{4}{7}>x"]}}
2(x−6)+2≥4(2x+5)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x \\leq-5","-5 \\geq x"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi noterar att vi har variabeltermer i olikhetens båda led. Därför ser vi till att skriva om olikheten så att vi enbart har variabeln i det ena ledet.
Om x är mindre än 47 gäller alltså olikheten.
Den här olikheten löser vi genom att först förenkla de båda leden. I vänstra ledet multiplicerar vi därför in 2 i parentesen och i högra ledet multiplicerar vi in 4.
x≤ -5, dvs. x är mindre än eller lika med -5.
security
report
code
I en stad finns det två företag som hyr ut bilar. Hyr du en bil av Företag A betalar du 250 kr i startavgift och 2 kr per kilometer du kör med bilen. Företag B erbjuder en lägre startavgift, 100 kr, men har en högre kilometeravgift, 5kr/km. Hur många kilometer måste du köra för att den totala avgiften ska bli högre hos Företag B än hos Företag A? Lös uppgiften med hjälp av en olikhet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"mer \u00e4n","formTextAfter":"km","answer":{"text":["50"]}}
security
report
code
security
report
code
För att lösa uppgiften börjar vi med att skriva uttryck för den totala avgiften hos Företag A respektive Företag B. Vi betecknar antalet körda kilometer med x. Hos Företag A betalar du 250kr i startavgift och 2kr per km. Den totala avgiften blir därför 250 + 2x. Hos Företag B betalar du 100kr i startavgift och 5kr per km, vilket ger den totala avgiften 100 + 5x. Nu ska vi undersöka när 100+5x är större än 250+2x. Det ger en olikhet som vi löser.
Olikheten gäller alltså om x är större än 50. Det tolkar vi som att vi måste köra längre än 50km för att avgiften ska bli högre hos Företag B än hos Företag A.
security
report
code
Bestäm det största heltalet x som löser olikheten.
7x+4<−9−5x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att lösa olikheten.
x ska alltså var mindre än cirka - 1,1. Ritar vi in detta på en tallinje ser vi att vi missar
heltalet - 1, så intervallets största heltal är -2.
Det största heltalet som uppfyller x ≲ -1.1 är alltså x=-2.
security
report
code
Vilka heltalsvärden x löser båda olikheterna?
4x+1>−5+2x och 3+2x≤5
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","-1","0","1"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser olikheterna var för sig.
Alla x större än -3 löser den första olikheten. Vi går vidare och löser även den andra olikheten.
Lösningen till den andra olikheten är alla x mindre än eller lika med 1. De x som löser båda olikheter måste alltså vara större än -3 och mindre än eller lika med 1: -3 < x ≤ 1. Vilka heltalsvärden ryms i intervallet? Eftersom x ska vara större än -3 ingår inte x = -3. Den övre gränsen är x=1 och den ingår. Våra heltalsvärden blir alltså: x = -2, x = -1, x = 0 och x = 1.
security
report
code
Att hyra en elektriker från ett visst företag kostar 250 kr i timmen. Dessutom betalar man en grundavgift på 100 kr. På ett annat företag kostar det 500 kr i grundavgift och 150kr/timme. Vid hur många timmar x, är det billigare att anlita det första bolaget?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"h","answer":{"text":["x < 4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ställer upp uttryck för vad kostnaden blir för båda företagen.
Företag 1
Vi kallar antalet timmar som elektrikern jobbar för x. Eftersom timpriset är 250 kronor ska detta multipliceras med antalet timmar: 250x. Sedan lägger vi till grundavgiften 100kr. Det ger oss uttrycket 250x+100.
Företag 2
Antalet timmar är x även här, men nu är timpriset 150 kr, vilket ger kostnaden 150x. Sedan lägger vi på grundavgiften 500kr: 150x+500.
Skapa och lös olikhet
Vi ska undersöka när det är billigare att anlita Företag 1 dvs. när kostnaden är mindre än för Företag 2. Det betyder att vi ska lösa olikheten 250x+100<150x+500. Vi löser olikheten genom att få x ensamt på ena sidan av olikheten.
Företag 1 är alltså billigare om arbetet tar mindre än 4 timmar.
security
report
code
Olikheter
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll