Lär dig om Olikheter: Förstå Olikhetstecken och Lös Olikheter i Matte

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Olikhet

Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.

Tecken	Betyder	Exempel
$<$	Är mindre än	$3 < 4$
$\leq$	Är mindre än eller lika med	$x \leq 2$
$>$	Är större än	$4 > 3$
$\geq$	Är större än eller lika med	$x \geq 0$

Den sista olikheten, $x \geq 0,$ säger att $x$ är noll eller positivt. Markeras denna olikhet på en tallinje ingår intervallets gräns, dvs. $0,$ och markeras med en ifylld punkt. Om gränsen inte ingår (strikt olikhet), som för $x > - 3,$ är punkten inte ifylld. Då kan $x$ vara hur nära $- 3$ som helst, t.ex. $- 2.999,$ men inte $- 3 .$

x \geq 0

x \leq 2

x > - 3

- 8 < x \leq 6

x < - 6 och x \geq 0

Intervallet $- 8 < x \leq 6$ anger att $x$ ligger mellan $- 8$ och 6. Det är en kombination av $- 8 < x$ och $x \leq 6 .$ Den första olikheten säger att $- 8$ är mindre än $x$ , dvs. att $x$ är större än $- 8 .$ Den andra säger att $x$ är mindre än eller lika med $6 .$

Vilka tal löser olikheten?

fullscreen

Ange vilka av följande tal som löser olikheten

x < - 1

3, - 1, - 2, - 500, 0, 2 .

Visa Lösning

För att förstå olikheten $x < - 1$ bättre kan vi rita in intervallet på en tallinje.

Tal som är strikt mindre än

- 1,

även de som inte syns här, löser olikheten. Då ingår alltså inte

x = - 1

utan endast:

- 2 och - 500 .

Metod

Lösa olikheter

Lösningen på en olikhet, t.ex. $x + 1 < 7,$ är de värden på variabeln som gör att olikheten är sann. Lösningen $x < 6$ innebär att alla tal mindre än $6$ löser olikheten, det finns alltså inte bara ett korrekt $x$ -värde. Lösningsmetoden är samma som för ekvationer: man gör samma sak i båda led. Det finns dock en viktig skillnad. Om man dividerar eller multiplicerar olikheten med ett negativt tal vänds olikhetstecknet.

Man kan motivera att tecknet vänds med talen

2

och

5 .

Man vet att

2 < 5 .

Multipliceras båda led med

- 1

blir vänsterledet

- 2

och högerledet

- 5 .

Men

- 2

är större än

- 5

och därför måste olikhetstecknet vändas om olikheten ska stämma. Man får alltså

- 2 > - 5 .

Lös en olikhet

fullscreen

Lös olikheten $2 x - 6 \leq 10 .$

Visa Lösning

För att lösa olikheten vill vi få $2 x$ ensamt i vänsterledet och på samma sätt som i ekvationer adderar vi $6$ i båda led för att kunna stryka $- 6$ i vänsterledet.

2 x - 6 \leq 10

AddIneq

$VL + 6 \leq HL + 6$

2 x - 6 + 6 \leq 10 + 6

SimpTerms

Förenkla termer

2 x \leq 16

Till sist dividerar vi bort $2$ :an. Eftersom den är positiv behöver vi inte tänka på att vända olikhetstecknet.

2 x \leq 16

DivIneq

$VL / 2 \leq HL / 2$

\frac{2 x}{2} \leq \frac{1 6}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x \leq 8

Alla $x$ mindre än eller lika med $8$ löser olikheten.

När vänds olikhetstecknet?

fullscreen

Lös olikheten $5 - 3 x \leq 17 .$

Visa Lösning

För att lösa den här olikheten börjar vi med att få $- 3 x$ ensamt. För att olikheten ska gälla när vi sedan dividerar bort koefficienten $- 3$ framför $x$ måste vi komma ihåg att vända på olikhetstecknet. Det måste man alltid göra när man dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal.

5 - 3 x \leq 17

SubEqn

$VL - 5 = HL - 5$

- 3 x \leq 12

DivNegIneq

Dividera med $- 3$ & vänd olikhet

x \geq - 4

$x$ måste alltså vara större än eller lika med $- 4,$ och vi är klara. Men om man vill man undvika att dividera med ett negativt tal kan man istället lösa olikheten genom att flytta $- 3 x$ till högerledet och 12 till vänsterledet för att sedan dividera med 3.

5 - 3 x \leq 17

SubEqn

$VL - 5 = HL - 5$

- 3 x \leq 12

AddEqn

$VL + 3 x = HL + 3 x$

0 \leq 12 + 3 x

SubEqn

$VL - 12 = HL - 12$

- 12 \leq 3 x

DivEqn

$VL / 3 = HL / 3$

- 4 \leq x

RearrangeIneq

Omarrangera olikhet

x \geq - 4

Vi ser att vi får samma svar oavsett vilken metod vi använder.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Vilka tal löser olikheten?

Exempel

Lös en olikhet

Exempel

När vänds olikhetstecknet?