7. Olikheter
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
7.
Olikheter
Innehållet handlar om olikheter i matematik, en grundläggande del av algebra. Det förklarar olika olikhetstecken, inklusive större än, mindre än eller lika med, samt hur man löser olikheter. Det diskuterar också reglerna för att arbeta med olikheter, inklusive hur olikhetstecknet kan ändras när man multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal. Dessutom ger det exempel på hur man tillämpar dessa koncept i praktiken, vilket ökar förståelsen hur man löser olikheter effektivt.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Olikheter
Sida av 9
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Olikhet
- Lösa olikheter
Förkunskaper
Teori
Olikhet
Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.
| Tecken | Betyder | Exempel |
|---|---|---|
| < | Är mindre än | 3<4 |
| ≤ | Är mindre än eller lika med | x≤2 |
| > | Är större än | 4>3 |
| ≥ | Är större än eller lika med | x≥0 |
Teori
Intervall
Ett intervall anger en mängd värden som ligger mellan två tal, eller en mängd värden större än eller mindre än ett visst tal. De beskrivs ofta med olikheter. Ett intervall på en reell tallinje innehåller en oändlig mängd tal. I intervallet 1≤x≤4 (x-värden mellan 1 och 4) ingår alla tal på denna del av tallinjen, t.ex. 1; 2,7; 3,91 och 4. Intervall brukar ofta illustreras med markerade områden mellan två punkter på en tallinje.
Exempel
Vilka tal löser olikheten?
Ange vilka av följande tal som löser olikheten x<−1. 
Tal som är strikt mindre än −1, även de som inte syns här, löser olikheten. Då ingår alltså inte x=−1 utan endast:
{"type":"multichoice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">2<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">5<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">2<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[2,3]}
Ledtråd
Rita olikheten på en tallinje.
Lösning
För att förstå olikheten x<−1 bättre kan vi rita in intervallet på en tallinje.
−2 och −500.
Övning
Skriva en olikhet från dess graf
Undersök den givna grafen och bestäm dess olikhet.
Teori
Lös olikheter
Lösningen på en olikhet, t.ex. x+1<7, är de värden på variabeln som gör att olikheten är sann. Lösningen x<6 innebär att alla tal mindre än 6 löser olikheten, det finns alltså inte bara ett korrekt x-värde. Lösningsmetoden är samma som för ekvationer: man gör samma sak i båda led. Det finns dock en viktig skillnad. Om man dividerar eller multiplicerar olikheten med ett negativt tal vänds olikhetstecknet. 
Man kan motivera att tecknet vänds med talen 2 och 5. Man vet att 2<5. Multipliceras båda led med −1 blir vänsterledet −2 och högerledet −5. Men −2 är större än −5 och därför måste olikhetstecknet vändas om olikheten ska stämma. Man får alltså −2>−5.
Exempel
Lös en olikhet
Lös olikheten 2x−6≤10.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x\\leq 8"]}}
Ledtråd
Tillämpa samma uppsättning operationer på båda sidor av olikheten för att isolera variabeln. Kom ihåg att när du multiplicerar eller dividerar båda sidor med ett negativt tal byts olikhetstecknet.
Lösning
För att lösa olikheten vill vi få 2x ensamt i vänsterledet och på samma sätt som i ekvationer adderar vi 6 i båda led för att kunna stryka −6 i vänsterledet.
Till sist dividerar vi bort 2:an. Eftersom den är positiv behöver vi inte tänka på att vända olikhetstecknet.
Alla x mindre än eller lika med 8 löser olikheten.
Exempel
När vänds olikhetstecknet?
Lös olikheten 5−3x≤17.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x \\geq -4"]}}
Ledtråd
Tillämpa samma uppsättning operationer på båda sidor av olikheten för att isolera variabeln. Kom ihåg att när du multiplicerar eller dividerar båda sidor med ett negativt tal byts olikhetstecknet.
Lösning
För att lösa den här olikheten börjar vi med att få −3x ensamt. För att olikheten ska gälla när vi sedan dividerar bort koefficienten −3 framför x måste vi komma ihåg att vända på olikhetstecknet. Det måste man alltid göra när man dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal.
x måste alltså vara större än eller lika med −4, och vi är klara. Men om man vill man undvika att dividera med ett negativt tal kan man istället lösa olikheten genom att flytta −3x till högerledet och 12 till vänsterledet för att sedan dividera med 3.
Vi ser att vi får samma svar oavsett vilken metod vi använder.
5−3x≤17
SubEqn
VL−5=HL−5
−3x≤12
AddEqn
VL+3x=HL+3x
0≤12+3x
SubEqn
VL−12=HL−12
−12≤3x
DivEqn
VL/3=HL/3
−4≤x
RearrangeIneq
Omarrangera olikhet
x≥−4
Övning
Att lösa olikheter
I appleten finns olika olikheter. Välj den korrekta lösningsmängden för den givna olikheten.
Olikheter
Övningar
Sortera cirkeln, kvadraten och triangeln efter vikt med den lättaste först. Samma form innebär att de väger lika mycket.
{"type":"sort","form":{"alts":[{"id":0,"text":"Triangel"},{"id":1,"text":"Cirkel"},{"id":2,"text":"Kvadrat"}]},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,1,2]}
security
report
code
security
report
code
Vi kallar vikterna för c, t och k som nedan.
Titta på den vänstra delen. Cirkeln väger mer än triangeln vilket betyder att c> t. På den högra delen ser vi att kvadraten väger mer än triangeln, så k> t. Både cirkeln och kvadraten väger mer än triangeln, så triangeln är den lättaste. Vilken är då tyngst av de andra? Triangeln och kvadraten tillsammans väger mer än triangeln och cirkeln tillsammans. Det ger oss t+k> t+c. Vi förenklar olikheten.
k är alltså större än c. Det betyder att t< c< k, eller
triangel
security
report
code
Följande information är given: −2≤a≤3 och 1≤b≤8.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-1\\leq a+b\\leq 11","11\\geq a+b\\geq -1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2\\leq \\dfrac{a}{b} \\leq 3","3\\geq \\dfrac{a}{b} \\geq -2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1\\leq a^2+b^2 \\leq 73","73\\geq a^2+b^2 \\geq 1"]}}
security
report
code
security
report
code
För att a+b ska bli så stort som möjligt ska a och b anta sina största värden. Det är 3 och 8, vilket ger 3+8=11. För att a+b ska bli så litet som möjligt vill vi att a och b ska bli så små som möjligt. Det minsta värdet som a kan anta är -2 och det minsta som b kan anta är 1. Det ger det minsta värdet -2+1=-1. Slutsatsen blir att a+b varierar mellan -1 och 11, vilket vi kan skriva som -1≤ a+b≤ 11.
Största värdet
Ett bråk blir så stort som möjligt om täljaren är så stor som möjligt och nämnaren är så liten som möjligt. Det betyder att det största värdet ab kan anta är 31=3.
Minsta värdet
När blir ett bråk så litet som möjligt? För positiva bråk gäller det omvända mot ovan, dvs. när täljaren så liten som möjligt och nämnaren är så stor som möjligt. Men eftersom vi kan göra bråket negativt måste vi tänka tvärtom. Vi kan tänka att vi skapar ett så stort negativt bråk
som möjligt. Exempelvis är
-100/2 mindre än -3/2.
Det är bara täljaren a som kan göra bråket negativt. För att a ska vara så stort och negativt
som möjligt sätter vi a=-2. Därefter sätter vi in det minsta värdet på b, som är 1, och får då
-2/1=-2.
Sammanfattningsvis får vi intervallet -2≤a/b≤3.
Största värdet
För att a^2+b^2 ska bli så stort som möjligt måste a^2 och b^2 vara så stora som möjligt. Det blir de om man sätter in de största värdena på a och b.
Minsta värdet
För att a^2+b^2 ska bli så litet så möjligt ska a^2 och b^2 vara så små som möjligt. För b, som endast kan vara positivt, väljer vi det minsta värdet b kan anta dvs. 1. Alltså blir termen b^2 lika med 1^2=1. Gäller samma sak för a? Nej, det minsta värdet på a är -2 och det kommer att bli 4 om vi tar det i kvadrat. Ett tal i kvadrat aldrig kan bli negativt, och därför är 0 vårt bästa val då a^2=0. Det betyder att a^2+b^2≥0^2+1^2=1. Uttrycket varierar alltså mellan 1 och 73, vilket vi skriver som 1≤ a^2+b^2≤73.
security
report
code
Markera området y≥1 i ett koordinatsystem.
security
report
code
security
report
code
y≥1 betyder alla y som är större än eller lika med 1. Vi börjar med att titta på när y är lika med 1. Det motsvaras av en vågrät linje.
Alla punkter där y är större än 1 befinner sig ovanför denna linje.
Linjen och det markerade området representerar y≥1.
security
report
code
Olikheter
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll