Lär dig om Olikheter: Förstå Olikhetstecken och Lös Olikheter i Matte

Tecken	Betyder	Exempel
$<$	Är mindre än	$3 < 4$
$\leq$	Är mindre än eller lika med	$x \leq 2$
$>$	Är större än	$4 > 3$
$\geq$	Är större än eller lika med	$x \geq 0$

Sortera cirkeln, kvadraten och triangeln efter vikt med den lättaste först. Samma form innebär att de väger lika mycket.

en balansvåg som visar en cirkel, triangel och en kvadrat

Vi kallar vikterna för c, t och k som nedan.

Titta på den vänstra delen. Cirkeln väger mer än triangeln vilket betyder att c> t. På den högra delen ser vi att kvadraten väger mer än triangeln, så k> t. Både cirkeln och kvadraten väger mer än triangeln, så triangeln är den lättaste. Vilken är då tyngst av de andra? Triangeln och kvadraten tillsammans väger mer än triangeln och cirkeln tillsammans. Det ger oss t+k> t+c. Vi förenklar olikheten.

k är alltså större än c. Det betyder att t< c< k, eller triangel

Följande information är given: $- 2 \leq a \leq 3$ och $1 \leq b \leq 8 .$

Vilket är det största och minsta värdet

a + b

kan anta? Svara med olikheter.

Vilket är det största och minsta värdet

\frac{a}{b}

kan anta? Svara med olikheter.

Vilket är det största och minsta värdet

a^{2} + b^{2}

kan anta? Svara med olikheter.

För att a+b ska bli så stort som möjligt ska a och b anta sina största värden. Det är 3 och 8, vilket ger 3+8=11. För att a+b ska bli så litet som möjligt vill vi att a och b ska bli så små som möjligt. Det minsta värdet som a kan anta är -2 och det minsta som b kan anta är 1. Det ger det minsta värdet -2+1=-1. Slutsatsen blir att a+b varierar mellan -1 och 11, vilket vi kan skriva som -1≤ a+b≤ 11.

Största värdet

Ett bråk blir så stort som möjligt om täljaren är så stor som möjligt och nämnaren är så liten som möjligt. Det betyder att det största värdet ab kan anta är 31=3.

Minsta värdet

När blir ett bråk så litet som möjligt? För positiva bråk gäller det omvända mot ovan, dvs. när täljaren så liten som möjligt och nämnaren är så stor som möjligt. Men eftersom vi kan göra bråket negativt måste vi tänka tvärtom. Vi kan tänka att vi skapar ett så stort negativt bråk som möjligt. Exempelvis är -100/2 mindre än -3/2. Det är bara täljaren a som kan göra bråket negativt. För att a ska vara så stort och negativt som möjligt sätter vi a=-2. Därefter sätter vi in det minsta värdet på b, som är 1, och får då -2/1=-2. Sammanfattningsvis får vi intervallet -2≤a/b≤3.

Största värdet

För att a^2+b^2 ska bli så stort som möjligt måste a^2 och b^2 vara så stora som möjligt. Det blir de om man sätter in de största värdena på a och b.

Minsta värdet

För att a^2+b^2 ska bli så litet så möjligt ska a^2 och b^2 vara så små som möjligt. För b, som endast kan vara positivt, väljer vi det minsta värdet b kan anta dvs. 1. Alltså blir termen b^2 lika med 1^2=1. Gäller samma sak för a? Nej, det minsta värdet på a är -2 och det kommer att bli 4 om vi tar det i kvadrat. Ett tal i kvadrat aldrig kan bli negativt, och därför är 0 vårt bästa val då a^2=0. Det betyder att a^2+b^2≥0^2+1^2=1. Uttrycket varierar alltså mellan 1 och 73, vilket vi skriver som 1≤ a^2+b^2≤73.

Vilket diagram representerar arean $y \geq 1$ i ett koordinatsystem?

y≥1 betyder alla y som är större än eller lika med 1. Vi börjar med att titta på när y är lika med 1. Det motsvaras av en vågrät linje.

Alla punkter där y är större än 1 befinner sig ovanför denna linje.

Linjen och det markerade området representerar y≥ 1. Därför är det korrekta svaret alternativet B.

Överväg ojämlikheten $b > - 2 .$

Beskriv värdena av $b$ som är lösningar till ojämlikheten.

Beskriv värdena av $b$ som inte är lösningar till ojämlikheten. Skriv en ojämlikhet som representerar dessa värden.

Vad representerar alla värden i Del A och B? Gäller detta för vilket liknande par av ojämlikheter som helst? Förklara din resonemang.

Vi blir ombedda att betrakta olikheten b > - 2 och beskriva värdena på b som är lösningar på olikheten. b > - 2 I denna olikhet är b något tal. Olikhetstecknet > läses som större än. Slutligen är talet på höger sida av olikheten - 2. Då är värdena på b som är lösningar på olikheten värden på b som är större än - 2. b > - 2 Värden påb större än - 2 Värdena på b som är lösningar på olikheten kan beskrivas som större än - 2.

Nu blir vi ombedda att beskriva värdena på b som inte är lösningar på den givna olikheten. b > - 2 I Del A fann vi att värdena på b som är lösningar på olikheten är större än - 2. Då är värdena på b som inte är lösningar på olikheten inte större än - 2. Med andra ord är värdena på b som inte är lösningar på olikheten högst - 2. Värden påbsom är högst- 2 Låt oss skriva detta som en olikhet. Observera att beskrivningen använder nyckelfrasen högst. Detta säger oss att använda olikhetssymbolen ≤. Värden påb som är högst - 2 b ≤ - 2

Vi blir ombedda att förklara vad alla värden i Del A och Del B representerar, och om detta gäller för alla liknande par av olikheter. I Del A och B betraktade vi olikheten b > - 2. b > - 2 Lösningarna till denna olikhet är värdena på b som är större än - 2. Värdena på b som inte är lösningar på olikheten är värdena på b som är högst - 2. Tillsammans är alla värden som är större än - 2 och högst - 2 alla reella tal.

Detta gäller för alla liknande par av olikheter, eftersom för en olikhet är varje reellt tal antingen en lösning på olikheten eller inte en lösning.

Vilken ojämlikhet hör inte ihop med de andra tre? Förklara din resonemang.

Vi får fyra olikheter och måste välja den olikhet som inte hör ihop med de andra tre.

Låt oss lösa varje olikhet. Vi börjar med w+ 74< 34. Här adderas 74 till variabeln. Vi kan använda subtraktion för att ångra additionen. Subtraktionsegenskapen för olikhet låter oss subtrahera 74 från båda sidor av olikheten. Låt oss göra det!

Lösningen till olikheten w+ 74< 34 är w< - 1. Låt oss nu lösa olikheten w- 34> - 74. Den här gången subtraheras 34 från variabeln. Vi kan använda addition för att ångra subtraktionen. Additionsegenskapen för olikhet låter oss addera 34 till båda sidor av olikheten.

Lösningen till olikheten w- 34> - 74 är w > - 1. Därefter kommer vi att lösa olikheten w + 74 > 34. Den här gången adderas 74 till variabeln. Vi kan använda subtraktion för att ångra additionen, så vi kommer att använda subtraktionsegenskapen för olikhet och subtrahera 74 från båda sidor av olikheten.

Lösningen till olikheten w + 74 > 34 är också w > - 1. Slutligen, låt oss lösa olikheten - 74 < w - 34. Här subtraheras 34 från variabeln. Vi kan använda addition för att ångra subtraktionen.

Låt oss notera lösningen för var och en av de givna olikheterna.

Vi kan se att olikheten w+ 74 < 34 har en annan lösning än de återstående olikheterna. Då är olikheten som inte hör ihop med de andra tre w + 74 < 34.

Om $a > b$ och $b > c,$ vad är sant om förhållandet mellan $a$ och $c ?$ Förklara din resonemang.

Det är givet att a är större än b och b är större än c. a> b b> c Vi vill beskriva förhållandet mellan talen a och c. Låt oss titta närmare på förhållandet mellan a och b. Vi får veta att a är större än b. Ett större tal ligger till höger om ett mindre tal på en tallinje. Använd denna information för att visa förhållandet mellan a och b på en tallinje.

Hitta sedan platsen för c på tallinjen. Vi vet att b är större än c. Detta betyder att b ligger till höger om c på tallinjen.

Vi placerade alla givna tal a, b, och c på tallinjen. Vi kan jämföra värdena på a och c genom att betrakta denna tallinje.

Vi kan dra slutsatsen att a är större än c eftersom a ligger till höger om c. a > c

Olikheter

Förkunskaper

Olikhet

Intervall

Vilka tal löser olikheten?

Ledtråd

Lösning

Skriva en olikhet från dess graf

Lös olikheter

Lös en olikhet

Ledtråd

Lösning

När vänds olikhetstecknet?

Ledtråd

Lösning

Att lösa olikheter

Största värdet

Minsta värdet

Största värdet

Minsta värdet

Olikheter

Rekommenderade uppgifter

	9 sidor teori
	29 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.