Olikheter

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Olikhet

Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.

Tecken Betyder Exempel
<\lt Är mindre än 3<43 \lt 4
\leq Är mindre än eller lika med x2x \leq 2
>\gt Är större än 4>34 \gt 3
\geq Är större än eller lika med x0x \geq 0

Den sista olikheten, x0,x \geq 0, säger att xx är noll eller positivt. Markeras denna olikhet på en tallinje ingår intervallets gräns, dvs. 0,0, och markeras med en ifylld punkt. Om gränsen inte ingår (strikt olikhet), som för x>-3,x \gt \text{-} 3, är punkten inte ifylld. Då kan xx vara hur nära -3\text{-} 3 som helst, t.ex. -2.999,\text{-} 2.999, men inte -3.\text{-} 3.

x0x \ge 0

x2x \leq 2

x>-3x > \text{-} 3

-8<x6\text{-} 8 < x \leq 6

x<-6 och x0x<\text{-} 6 \text{ och } x \ge 0

Intervallet -8<x6\text{-} 8 \lt x \leq 6 anger att xx ligger mellan -8\text{-} 8 och 6. Det är en kombination av -8<x\text{-} 8 \lt x och x6.x \leq 6. Den första olikheten säger att -8\text{-} 8 är mindre än xx, dvs. att xx är större än -8.\text{-} 8. Den andra säger att xx är mindre än eller lika med 6.6.

Uppgift

Ange vilka av följande tal som löser olikheten x<-1x \lt \text{-}1: 3, -1, -2, -500, 0, 2. 3, \ \text{-}1, \ \text{-}2, \ \text{-}500, \ 0, \ 2.

Lösning

För att förstå olikheten x<-1x \lt \text{-}1 bättre kan vi rita in intervallet på en tallinje.

Tal som är strikt mindre än -1,\text{-}1, även de som inte syns här, löser olikheten. Då ingår alltså inte x=-1x=\text{-}1 utan endast: -2 och -500. \text{-}2 \text{ och } \text{-}500.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Lösa olikheter

Lösningen på en olikhet, t.ex. x+1<7,x+1<7, är de värden på variabeln som gör att olikheten är sann. Lösningen x<6x<6 innebär att alla tal mindre än 66 löser olikheten, det finns alltså inte bara ett korrekt xx-värde. Lösningsmetoden är samma som för ekvationer: man gör samma sak i båda led. Det finns dock en viktig skillnad. Om man dividerar eller multiplicerar olikheten med ett negativt tal vänds olikhetstecknet.

Man kan motivera att tecknet vänds med talen 22 och 5.5. Man vet att 2<5.2<5. Multipliceras båda led med -1\text{-}1 blir vänsterledet -2\text{-}2 och högerledet -5.\text{-}5. Men -2\text{-}2 är större än -5\text{-}5 och därför måste olikhetstecknet vändas om olikheten ska stämma. Man får alltså -2>-5.\text{-}2>\text{-}5.
Uppgift

Lös olikheten 2x610.2x-6\leq10.

Lösning

För att lösa olikheten vill vi få 2x2x ensamt i vänsterledet och på samma sätt som i ekvationer adderar vi 66 i båda led för att kunna stryka -6\text{-}6 i vänsterledet.

2x6102x-6\leq 10
VL+6HL+6\text{VL}+6\leq\text{HL}+6
2x6+610+62x-6+6\leq 10+6
2x162x \leq 16

Till sist dividerar vi bort 22:an. Eftersom den är positiv behöver vi inte tänka på att vända olikhetstecknet.

2x162x \leq 16
VLundefined2HLundefined2\left.\text{VL}\middle/2\right.\leq\left.\text{HL}\middle/2\right.
2x2162\dfrac{2x}{2} \leq \dfrac{16}{2}
x8x\leq8

Alla xx mindre än eller lika med 88 löser olikheten.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Lös olikheten 53x17.5 - 3x \leq 17.

Lösning

För att lösa den här olikheten börjar vi med att få -3x\text{-} 3x ensamt. För att olikheten ska gälla när vi sedan dividerar bort koefficienten -3\text{-} 3 framför xx måste vi komma ihåg att vända på olikhetstecknet. Det måste man alltid göra när man dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal.

53x175 - 3x \leq 17
-3x12\text{-} 3x \leq 12
Dividera med -3\text{-} 3 & vänd olikhet
x-4x \geq \text{-} 4

xx måste alltså vara större än eller lika med -4,\text{-} 4, och vi är klara. Men om man vill man undvika att dividera med ett negativt tal kan man istället lösa olikheten genom att flytta -3x\text{-} 3x till högerledet och 12 till vänsterledet för att sedan dividera med 3.

53x175 - 3x \leq 17
-3x12\text{-} 3x \leq 12
012+3x0 \leq 12 + 3x
-123x\text{-} 12 \leq 3x
-4x\text{-} 4 \leq x
Omarrangera olikhet
x-4x \geq \text{-} 4

Vi ser att vi får samma svar oavsett vilken metod vi använder.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör vilka av talen -3,\text{-}3, -1,\text{-}1, 0,0, 11 och 33 som ingår i intervallen nedan.


a

x>-1x \gt \text{-}1

b

x1x \leq 1

c

-3<x3\text{-}3 \lt x \leq 3

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv som olikheter.

a

Alla x större än 5.

b

Alla y större än -2\text{-}2 och mindre än eller lika med 8.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös olikheterna.


a

5+x>35 + x \gt 3

b

2x4<102x - 4 \lt 10

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös olikheterna.


a

122+5x12 \leq 2 + 5x

b

-4x57\text{-}4x - 5 \ge 7

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi har följande olikhet: 3+4x<83x. 3 + 4x \lt 8 - 3x. Vilka av följande xx-värden ingår i olikhetens lösning? x=-2,x=0,x=1. x = \text{-}2, \quad x = 0, \quad x = 1.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rektangel har sidlängderna x och (x+4).(x + 4).

Olikhet exercise 177.svg


a

Skriv en olikhet som säger att omkretsen är större än 5252 längdenheter.

b

Lös olikheten och tolka sedan lösningen.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du löser olikheten 13x<17x+813x\lt 17x+8 med följande beräkningssteg.

olikhet som lösts fel

När du testar din lösning verkar den dock inte stämma.

a

Vad var det som blev fel i beräkningen?

b

Lös olikheten korrekt.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös olikheterna.


a

7x>-217x\gt\text{-}21

b

5x8x+35x\leq 8x+3

c

-z<-10\text{-} z\lt\text{-} 10

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös olikheterna och svara exakt.


a

3x2x13-x\leq 2x-1

b

8y+6>6y+28y+6\gt 6y+2

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös olikheterna.


a

y-55\dfrac{y}{\text{-}5} \geq 5

b

-3x20x7\text{-}3x \leq \dfrac{20-x}{7}

c

-7x+8>3x+16\text{-}7x+8 \gt 3x+16

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket värde på xx uppfyller inte villkoret 2x+1>5?2x + 1 > 5? Ringa in ditt svar. 75432 7 \qquad 5 \qquad 4 \qquad 3 \qquad 2

Nationella provet HT16 1b/1c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös olikheterna och svara exakt.


a

5x+3<72x5x + 3 \lt 7 - 2x

b

2(x6)+24(2x+5)2(x - 6) + 2 \ge 4(2x + 5)

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en stad finns det två företag som hyr ut bilar. Hyr du en bil av Företag A betalar du 250250 kr i startavgift och 22 kr per kilometer du kör med bilen. Företag B erbjuder en lägre startavgift, 100100 kr, men har en högre kilometeravgift, 55 kr/km. Hur många kilometer måste du köra för att den totala avgiften ska bli högre hos Företag B än hos Företag A? Lös uppgiften med hjälp av en olikhet.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm det största heltalet xx som löser olikheten 7x+4<-95x. 7x + 4 \lt \text{-}9 - 5x.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka heltalsvärden x löser båda olikheterna? 4x+1>-5+2x och 3+2x5 4x + 1 \gt \text{-}5 + 2x \quad \text{ och } \quad 3 + 2x \leq 5

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Att hyra en elektriker från ett visst företag kostar 250 kr i timmen. Dessutom betalar man en grundavgift på 100 kr. På ett annat företag kostar det 500 kr i grundavgift och 150 kr/timme. När är det billigare att anlita det första bolaget? Lös uppgiften med hjälp av en olikhet.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd olikhetstecken för att beskriva figurernas vikt i förhållande till varandra. Samma form innebär att de väger lika mycket.

Exercise 516 1.svg
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande information är given: -2a3\text{-}2\leq a\leq 3 och 1b81\leq b \leq 8.


a

Vilket är det största och minsta värdet a+ba+b kan anta? Svara med olikheter.

b

Vilket är det största och minsta värdet ab\frac{a}{b} kan anta? Svara med olikheter.

c

Vilket är det största och minsta värdet a2+b2a^2+b^2 kan anta? Svara med olikheter.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Markera området y1y\geq1 i ett koordinatsystem.

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken av följande differenser är störst, 95eller117? \sqrt{9}-\sqrt{5} \quad \text{eller} \quad \sqrt{11}-\sqrt{7}? Motivera ditt svar utan räknare.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}