Olikheter

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Olikhet

Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.

Tecken Betyder Exempel
<\lt Är mindre än 3<43 \lt 4
\leq Är mindre än eller lika med x2x \leq 2
>\gt Är större än 4>34 \gt 3
\geq Är större än eller lika med x0x \geq 0

Den sista olikheten, x0,x \geq 0, säger att xx är noll eller positivt. Markeras denna olikhet på en tallinje ingår intervallets gräns, dvs. 0,0, och markeras med en ifylld punkt. Om gränsen inte ingår (strikt olikhet), som för x>-3,x \gt \text{-} 3, är punkten inte ifylld. Då kan xx vara hur nära -3\text{-} 3 som helst, t.ex. -2.999,\text{-} 2.999, men inte -3.\text{-} 3.

x0x \ge 0

x2x \leq 2

x>-3x > \text{-} 3

-8<x6\text{-} 8 < x \leq 6

x<-6 och x0x<\text{-} 6 \text{ och } x \ge 0

Intervallet -8<x6\text{-} 8 \lt x \leq 6 anger att xx ligger mellan -8\text{-} 8 och 6. Det är en kombination av -8<x\text{-} 8 \lt x och x6.x \leq 6. Den första olikheten säger att -8\text{-} 8 är mindre än xx, dvs. att xx är större än -8.\text{-} 8. Den andra säger att xx är mindre än eller lika med 6.6.

Uppgift

Ange vilka av följande tal som löser olikheten x<-1x \lt \text{-}1: 3, -1, -2, -500, 0, 2. 3, \ \text{-}1, \ \text{-}2, \ \text{-}500, \ 0, \ 2.

Lösning

För att förstå olikheten x<-1x \lt \text{-}1 bättre kan vi rita in intervallet på en tallinje.

Tal som är strikt mindre än -1,\text{-}1, även de som inte syns här, löser olikheten. Då ingår alltså inte x=-1x=\text{-}1 utan endast: -2 och -500. \text{-}2 \text{ och } \text{-}500.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Lösa olikheter

Lösningen på en olikhet, t.ex. x+1<7,x+1<7, är de värden på variabeln som gör att olikheten är sann. Lösningen x<6x<6 innebär att alla tal mindre än 66 löser olikheten, det finns alltså inte bara ett korrekt xx-värde. Lösningsmetoden är samma som för ekvationer: man gör samma sak i båda led. Det finns dock en viktig skillnad. Om man dividerar eller multiplicerar olikheten med ett negativt tal vänds olikhetstecknet.

Man kan motivera att tecknet vänds med talen 22 och 5.5. Man vet att 2<5.2<5. Multipliceras båda led med -1\text{-}1 blir vänsterledet -2\text{-}2 och högerledet -5.\text{-}5. Men -2\text{-}2 är större än -5\text{-}5 och därför måste olikhetstecknet vändas om olikheten ska stämma. Man får alltså -2>-5.\text{-}2>\text{-}5.
Uppgift

Lös olikheten 2x610.2x-6\leq10.

Lösning

För att lösa olikheten vill vi få 2x2x ensamt i vänsterledet och på samma sätt som i ekvationer adderar vi 66 i båda led för att kunna stryka -6\text{-}6 i vänsterledet.

2x6102x-6\leq 10
VL+6HL+6\text{VL}+6\leq\text{HL}+6
2x6+610+62x-6+6\leq 10+6
2x162x \leq 16

Till sist dividerar vi bort 22:an. Eftersom den är positiv behöver vi inte tänka på att vända olikhetstecknet.

2x162x \leq 16
VLundefined2HLundefined2\left.\text{VL}\middle/2\right.\leq\left.\text{HL}\middle/2\right.
2x2162\dfrac{2x}{2} \leq \dfrac{16}{2}
x8x\leq8

Alla xx mindre än eller lika med 88 löser olikheten.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Lös olikheten 53x17.5 - 3x \leq 17.

Lösning

För att lösa den här olikheten börjar vi med att få -3x\text{-} 3x ensamt. För att olikheten ska gälla när vi sedan dividerar bort koefficienten -3\text{-} 3 framför xx måste vi komma ihåg att vända på olikhetstecknet. Det måste man alltid göra när man dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal.

53x175 - 3x \leq 17
-3x12\text{-} 3x \leq 12
Dividera med -3\text{-} 3 & vänd olikhet
x-4x \geq \text{-} 4

xx måste alltså vara större än eller lika med -4,\text{-} 4, och vi är klara. Men om man vill man undvika att dividera med ett negativt tal kan man istället lösa olikheten genom att flytta -3x\text{-} 3x till högerledet och 12 till vänsterledet för att sedan dividera med 3.

53x175 - 3x \leq 17
-3x12\text{-} 3x \leq 12
012+3x0 \leq 12 + 3x
-123x\text{-} 12 \leq 3x
-4x\text{-} 4 \leq x
Omarrangera olikhet
x-4x \geq \text{-} 4

Vi ser att vi får samma svar oavsett vilken metod vi använder.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}