Logaritmer och ekvationer

Vi sätter båda led som exponenter på basen 10. Då kan vi förenkla vänsterledet till x.

Först löser vi ut logaritmen och sätter båda led som exponent till basen tio. I det här fallet måste vi lösa ut x efter att vi har gjort oss av med logaritmen.

Vi börjar med att skriva om vänsterledet som en tiopotens med en av potenslagarna.

Vi löser exponentialekvationen med inspektionsmetoden, dvs. vi skriver om högerledet så att den har samma bas som vänsterledet. Här har vi dock inte 10 som bas utan 2, men metoden fungerar på samma sätt. 8 kan skrivas som 2^3 eftersom 8=2 * 2 * 2. Därefter kan vi likställa exponenterna.

Vi tänker på samma sätt här, och skriver om 81=9 * 9 = 3 * 3 * 3 * 3=3^4.

Vi kommer använda inspektionsmetoden även här, men först skriver vi om vänsterledet med potenslagarna så att det bara blir en tvåpotens kvar.

Lösningen på ekvationen är alltså x=3.

En logaritm av ett tal, x, är den exponent man måste upphöja en viss bas till för att få tillbaka talet. Vi har här fått basen 5 och exponenten 2.

Vi behöver alltså bara utföra uträkningen 5^2=25. Alltså är ekvationens lösning x=25. Om man inte kan se svaret kan man lösa ekvationen algebraiskt genom att sätta båda led som exponenter på basen 5. Då tar de ut varandra och bara x blir kvar.

Nu är högerledet negativt, men det spelar ingen roll. Vi kan använda samma metod.

Här skriver vi om ekvationen så att logaritmen står ensamt i vänsterledet. Därefter sätter vi, eftersom logaritmens bas är 2, båda led som exponenter på basen 2. Då får vi endast x kvar i vänsterledet.

Även här skriver vi om ekvationen så att logaritmen hamnar ensamt i vänsterledet. På slutet får vi även dividera med 2 eftersom vi först får ut 2x.

Grafen visar funktionen y=10^x. Vi bestämmer 10^(0,3) genom att läsa av y-värdet på grafen när x=0,3. Vi utgår alltså från x=0,3 på x-axeln och går upp mot grafen. När vi träffar kurvan läser vi av det motsvarande y-värdet på y-axeln.

Vi ser att y ≈ 2 när x=0,3. Alltså är 10^(0,3)≈ 2.

Vi ska nu bestämma vilket tal man ska upphöja 10 med för att få 4. Då kan vi utgå från y=4 på y-axeln och gå vågrät ut mot grafen. När vi träffar grafen läser vi av det motsvarande x-värdet på x-axeln.

Nu ser vi att 10^(0,6)≈ 4, alltså x ≈ 0,6.

Grafen till y=lg(x) visar tiologaritmens värde för olika x. För att bestämma värdet av lg(1) läser vi alltså av y-värdet där x-värdet är lika med 1.

Eftersom punkten är placerad på x-axeln är y-värdet 0.

När vi ska lösa ekvationen lg(x)=1 vet vi tiologaritmens värde, och söker istället det x-värde som ger y-värdet 1. Vi startar på y-värdet 1, går ut till grafen och ner till x-axeln, där vi läser av x-värdet 10.

Här skriver vi först om ekvationen enligt tiologaritmens definition, b=lg(a) ⇔ a=10^b. Vi får 10^y=5,5 ⇔ y=lg(5,5). Nu kan vi som i första deluppgiften bestämma värdet av lg(5,5). Det gör vi genom att läsa av vad y-värdet är då x-värdet är lika med 5,5.

Vi ser då att y är ungefär lika med 0,75.

Vi sätter in L=60 och I_0=10^(-12) i formeln och löser ut I.

Intensiteten är 10^(-6)W/m^2.

Om ljudintensiteten fördubblas blir den 2*10^(-6). Vi sätter in det och beräknar L.

Den nya ljudnivån blir alltså cirka 63dB.

När vi löser denna logaritmekvation använder vi att tiologaritmer och tiopotenser tar ut varandra. Vi börjar med att sätta vänsterled och högerled som exponenter till basen 10.

Vi använder nu att 10 upphöjt till lg(4x+2) är detsamma som 4x+2.

Ekvationen har lösningen x≈ 49,4.

Även här börjar vi med att sätta vänster- och högerled som exponenter på basen 10.

Vi använder samma lösningsmetod som i föregående deluppgifter. Vi börjar därför med att sätta båda leden som exponenter på basen 10 och använder sedan att tiologaritmen och tiopotensen tar ut varandra.

Ekvationen har lösningen x≈ 3,83.

Vi sätter båda led som exponenter på basen 10.

Vi använder nu att 10 upphöjt till lg(8x+99) är lika med 8x+99.

Ekvationen har lösningen x≈-11,2.

Vi använder samma metod som i föregående deluppgift, dvs. vi sätter båda led som exponenter på basen 10 och utnyttjar sedan att tiopotensen och tiologaritmen tar ut varandra.

Vi sätter återigen vänsterled och högerled som exponenter till basen 10 och utnyttjar att tiopotensen och tiologaritmen tar ut varandra.

Ekvationen har lösningen x≈0,884.

För att beräkna 10^(- x) börjar vi med att bestämma x. Detta kan vi göra genom att lösa logaritmekvationen lg(x)=0. Vi använder då att 10^(lg(a))=a för att lösa ut x.

Nu vet vi att x=1 och kan beräkna värdet av 10^(- x).

Värdet av 10^(- 1) är 0,1 om lg(x)=0.

För att beräkna M behöver vi känna till värdena a och r. I tabellen kan vi läsa av dessa värden för Sirius A till a=- 1,46 och r=8,14* 10^6. Vi sätter in dessa värden i formeln och beräknar M.

Magnituden M för Sirius A är alltså cirka 1,37.

För att beräkna r för Proxima Centauri läser vi av värdena för M och a i tabellen och sätter in i ekvationen. Då blir r kvar som ensam variabel och kan lösas ut.

Nu ser vi att r ≈ 3,95 * 10^(16) så avståndet till Proxima Centauri är cirka 3,95* 10^(16) meter.