9. Logaritmer och ekvationer
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
9.
Logaritmer och ekvationer
Den här lektionenen förklarar konceptet av logaritmer, dess regler och hur de används i ekvationer. Den belyser även betydelsen av 'lg' i matematiken och ger förståelse för hur ekvationer med logaritmer kan lösas. Med hjälp av denna kunskap, kan du effektivt tillämpa logaritmer i olika matematiska sammanhang, såsom exponentialekvationer. Förståelsen av logaritmer kan också underlätta lösningsprocessen för komplicerade matematiska problem.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 6 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Logaritmer och ekvationer
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Logaritmekvation
- Lösa logaritmekvationer
- Lösa exponentialekvationer med inspektionsmetoden
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Logaritmekvation
En ekvation där variabeln sitter inuti en logaritm, t.ex. lg(x) = 17, kallas för en logaritmekvation. För att lösa logaritmekvationer algebraiskt sätts båda led som exponenter på logaritmens bas.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Lösa logaritmekvationer
För att lösa logaritmekvationer använder man att tiologaritmer och tiopotenser tar ut varandra. Exempelvis kan ekvationer som har formen 5 * lg (x) + 2 = 12 lösas med metoden.
1
Lös ut logaritmen
expand_more Lös ut logaritmen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.
2
Sätt båda led som exponenter på basen 10
expand_more Eftersom vänster- och högerled i en ekvation ska vara lika stora måste 10 upphöjt till det som står i vänsterledet vara lika med 10 upphöjt till det som står i högerledet. Detta används för att bli av med logaritmen, så båda led sätts som exponenter på basen 10:
lg x &= 2 &⇓ 10^(lg (x)) &= 10^2.
3
Lös ut variabeln
expand_more Tiopotensen tar ut logaritmen så endast det som står innanför logaritmen blir kvar, dvs. x.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös logaritmekvationen
Lös ekvationen lg(4x) + 9 = 13.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2500"]}}
Ledtråd
Börja med att isolera logaritmtermen på vänster sida. Sätt sedan båda sidor som exponenter med logaritmens bas.
Lösning
Vi börjar med att lösa ut logaritmen.
Nu när logaritmtermen står ensam i vänsterledet sätter vi båda leden som exponenter på basen 10. Tiopotensen och logaritmen tar ut varandra, så det går att lösa ut termen 4x.
Nu behöver vi bara lösa ut x.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Lösa exponentialekvationer med inspektionsmetoden
Med hjälp av inspektionsmetoden kan man lösa vissa exponentialekvationer med basen 10. Till exempel kan ekvationen 10^(4x)= 100 000 lösas på detta sätt.
1
Skriv om som tiopotens
expand_more 2
Likställ exponenterna och lös ekvationen
expand_more Om likheten ska gälla måste exponenterna vara lika, eftersom basen 10 är samma.
Det ger ekvationen 4x=5 som kan lösas med balansmetoden.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös exponentialekvationen med inspektionsmetoden
Lös ekvationen 10^(2x)=0,01.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-1"]}}
Ledtråd
Skriv om 0,01 som 10^(-2).
Lösning
Vi börjar med att skriva om högerledet som en tiopotens så att vi kan jämföra exponenterna. 0,01 är detsamma som en hundradel, så det kan vi skriva om som 1/100= 1/10^(- 2) = 10^(-2).
Därefter kan vi direkt läsa av vad 2x ska vara.
10^(2x)=0,01
WritePow
Skriv som potens
10^(2x)=10^(-2)
EquateExponents
Likställ exponenter
2x=-2
DivEqn
.VL /2.=.HL /2.
x=-1
Dela
Rapportera fel
Översätt
Logaritmer och ekvationer
Uppgift 3.1
Lös ekvationen 3^x=19 genom att använda definitionen a=10^(lg(a)). Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{\\log(19)}{\\log(3)}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver 3 och 19 som 10^(lg (3)) och 10^(lg (19)). Då kan vi använda potenslagarna för att flytta ner x.
För att komma vidare här likställer vi exponenterna, eftersom potenserna har samma bas.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös ekvationen 5 * (lg(x) )^2 = 125.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["100000","0,00001"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att lösa ut lg(x). När man drar roten ur ( lg(x) )^2 är det viktigt att komma ihåg att det blir både en positiv och en negativ lösning i det andra ledet.
Vi delar upp detta i två fall till två olika logaritmekvationer, nämligen lg(x) = 5 och lg(x) = - 5. Vi löser dessa en i taget.
Vi löser den andra på motsvarande sätt.
Lösningarna till ekvationen är alltså x = 100 000 och x = 0,00001.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös ekvationen. Notera att x måste vara större än 0. log_x(25)=2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
security
report
code
security
report
code
Ekvationen log_x(25)=2 har basen x, så vi sätter vänsterled och högerled som exponenter på basen x.
Eftersom en potens och logaritm med samma bas tar ut varandra kan vi skriva om vänsterledet som enbart 25.
Enligt beräkningen ovan finns det två möjliga värden på basen x, nämligen 5 och -5. Inom ramen för denna kurs behärskar vi dock endast positiva baser, så vi anger endast x=5 som lösning.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Den uppenbara magnituden av en stjärna är ett mått på stjärnans ljusstyrka som den framstår för observatörer på jorden. Den uppenbara magnituden M av den svagaste stjärnan som kan ses med ett teleskop är M=5 log D+2, där D är diametern (i millimeter) av teleskopets objektivlins. Vad är diametern av objektivlinsen på ett teleskop som kan avslöja stjärnor med en magnitud av 12?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"millimeter","answer":{"text":["100"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi har fått ekvationen för att mäta den skenbara magnituden M för den svagaste stjärnan som kan ses med ett teleskop. Genom att likställa M med 12 kan vi lösa ut objektivets diameter, D.
För att lösa denna ekvation måste vi sätta uttrycket på vänster sida och höger sida som exponenter på logaritmens bas. Eftersom vi har att göra med en vanlig logaritm bör vi använda 10 som vår bas.
Objektivets diameter är 100 millimeter.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Logaritmer och ekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll