Logaritmekvationer och regler: Förstå hur man löser logaritmer

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Logaritmekvation

En ekvation där variabeln sitter inuti en logaritm, t.ex.

l g (x) = 17

, kallas för en logaritmekvation. För att lösa logaritmekvationer algebraiskt sätts båda led som exponenter på logaritmens bas.

Metod

Lösa logaritmekvationer

För att lösa logaritmekvationer använder man att tiologaritmer och tiopotenser tar ut varandra. Exempelvis kan ekvationer som har formen

5 \cdot l g (x) + 2 = 12

lösas med metoden.

Lös ut logaritmen

Lös ut logaritmen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.

5 \cdot l g (x) + 2 = 12

SubEqn

$VL - 2 = HL - 2$

5 \cdot l g (x) = 10

DivEqn

$VL / 5 = HL / 5$

l g (x) = 2

Sätt båda led som exponenter på basen

10

Eftersom vänster- och högerled i en ekvation ska vara lika stora måste

10

upphöjt till det som står i vänsterledet vara lika med

10

upphöjt till det som står i högerledet. Detta används för att bli av med logaritmen, så båda led sätts som exponenter på basen

10

1 0^{l g (x)} = 1 0^{2} .

Lös ut variabeln

Tiopotensen "tar ut" logaritmen så endast det som står innanför logaritmen blir kvar, dvs.

x .

1 0^{l g (x)} = 1 0^{2}

LgIdII

$1 0^{l g (a)} = a$

x = 1 0^{2}

CalcPow

Beräkna potens

x = 100

Lös logaritmekvationen

fullscreen

Lös ekvationen

l g (4 x) + 9 = 13 .

Visa Lösning

Vi börjar med att lösa ut logaritmen.

l g (4 x) + 9 = 13

SubEqn

$VL - 9 = HL - 9$

l g (4 x) = 4

Nu när logaritmtermen står ensam i vänsterledet sätter vi båda leden som exponenter på basen

10

. Tiopotensen och logaritmen tar ut varandra, så det går att lösa ut termen

4 x .

l g (4 x) = 4

BaseEqn

$1 0^{VL} = 1 0^{HL}$

1 0^{l g (4 x)} = 1 0^{4}

LgIdII

$1 0^{l g (a)} = a$

4 x = 1 0^{4}

Nu behöver vi bara lösa ut

x .

4 x = 1 0^{4}

CalcPow

Beräkna potens

4 x = 10000

DivEqn

$VL / 4 = HL / 4$

x = 2500

Metod

Lösa exponentialekvationer med inspektionsmetoden

Med hjälp av inspektionsmetoden kan man lösa vissa exponentialekvationer med basen

10 .

Till exempel kan ekvationen

1 0^{4 x} = 100000

lösas på detta sätt.

Skriv om som tiopotens

Skriv om det led som inte innehåller

x

så att det också blir en tiopotens.

1 0^{4 x} = 100000

WritePow

Skriv som potens

1 0^{4 x} = 1 0^{5}

Likställ exponenterna och lös ekvationen

Om likheten ska gälla måste exponenterna vara lika, eftersom basen $10$ är samma.

Det ger ekvationen

4 x = 5

som kan lösas med balansmetoden.

4 x = 5

DivEqn

$VL / 4 = HL / 4$

x = \frac{5}{4}

WriteDec

Skriv i decimalform

x = 1.25

Lös exponentialekvationen med inspektionsmetoden

fullscreen

Lös ekvationen

1 0^{2 x} = 0.01 .

Visa Lösning

Vi börjar med att skriva om högerledet som en tiopotens så att vi kan jämföra exponenterna.

0.01

är detsamma som en hundradel, så det kan vi skriva om som

\frac{1}{1 0 0} = \frac{1}{1 0 ^{- 2}} = 1 0^{- 2} .

Därefter kan vi direkt läsa av vad

2 x

ska vara.

1 0^{2 x} = 0.01

WritePow

Skriv som potens

1 0^{2 x} = 1 0^{- 2}

EquateExponents

Likställ exponenter

2 x = - 2

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

x = - 1

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Lös logaritmekvationen

Exempel

Lös exponentialekvationen med inspektionsmetoden