Logaritmer och ekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Logaritmekvation

En ekvation där variabeln sitter inuti en logaritm, t.ex. lg(x)=17\lg(x) = 17, kallas för en logaritmekvation. För att lösa logaritmekvationer algebraiskt sätts båda led som exponenter på logaritmens bas.
Metod

Lösa logaritmekvationer

För att lösa logaritmekvationer använder man att tiologaritmer och tiopotenser tar ut varandra. Exempelvis kan ekvationer som har formen 5lg(x)+2=12 5 \cdot \lg (x) + 2 = 12 lösas med metoden.

1

Lös ut logaritmen
Lös ut logaritmen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.
5lg(x)+2=125 \cdot \lg (x) + 2 = 12
5lg(x)=105 \cdot \lg (x) = 10
lg(x)=2\lg (x) = 2

2

Sätt båda led som exponenter på basen 1010

Eftersom vänster- och högerled i en ekvation ska vara lika stora måste 1010 upphöjt till det som står i vänsterledet vara lika med 1010 upphöjt till det som står i högerledet. Detta används för att bli av med logaritmen, så båda led sätts som exponenter på basen 1010: 10lg(x)=102. 10^{\lg (x)} = 10^2.

3

Lös ut variabeln
Tiopotensen "tar ut" logaritmen så endast det som står innanför logaritmen blir kvar, dvs. x.x.
10lg(x)=10210^{\lg (x)} = 10^2
10lg(a)=a10^{\lg(a)}=a
x=102x = 10^2
x=100x = 100
Uppgift

Lös ekvationen lg(4x)+9=13. \lg(4x) + 9 = 13.

Lösning
Vi börjar med att lösa ut logaritmen.
lg(4x)+9=13\lg(4x) + 9 = 13
lg(4x)=4\lg(4x) = 4
Nu när logaritmtermen står ensam i vänsterledet sätter vi båda leden som exponenter på basen 1010. Tiopotensen och logaritmen tar ut varandra, så det går att lösa ut termen 4x.4x.
lg(4x)=4\lg(4x) = 4
10lg(4x)=10410^{\lg(4x)} = 10^4
10lg(a)=a10^{\lg(a)}=a
4x=1044x = 10^4
Nu behöver vi bara lösa ut x.x.
4x=1044x = 10^4
4x=100004x = 10\,000
x=2500x = 2500
Visa lösning Visa lösning
Metod

Lösa exponentialekvationer med inspektionsmetoden

Med hjälp av inspektionsmetoden kan man lösa vissa exponentialekvationer med basen 10.10. Till exempel kan ekvationen 104x=100000 10^{4x}= 100 \, 000 lösas på detta sätt.

1

Skriv om som tiopotens
Skriv om det led som inte innehåller xx så att det också blir en tiopotens.
104x=10000010^{4x}=100 \, 000
104x=10510^{4x}=10^5

2

Likställ exponenterna och lös ekvationen

Om likheten ska gälla måste exponenterna vara lika, eftersom basen 1010 är samma.

Method expekv m inpektionsmetoden.svg
Det ger ekvationen 4x=54x=5 som kan lösas med balansmetoden.
4x=54x = 5
x=54x=\dfrac{5}{4}
x=1.2x=1.2
Uppgift

Lös ekvationen 102x=0.01. 10^{2x}=0.01.

Lösning

Vi börjar med att skriva om högerledet som en tiopotens så att vi kan jämföra exponenterna. 0.010.01 är detsamma som en hundradel, så det kan vi skriva om som 1100=110-2=10-2. \dfrac{1}{100}= \dfrac{1}{10^{\text{-} 2}} = 10^{\text{-}2}. Därefter kan vi direkt läsa av vad 2x2x ska vara.

102x=0.0110^{2x}=0.01
102x=10-210^{2x}=10^{\text{-}2}
2x=-22x=\text{-}2
x=-1x=\text{-}1
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer och svara exakt.

a

10x=10610^x = 10^6

b

10x=100000010^x = 1\,000\,000

c

10x=10-910^x = 10^{\text{-} 9}

d

10x=0.110^x = 0.1

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer och svara exakt.

a

10x=0.0000000110^x = 0.00000001

b

210x=200002 \cdot 10^x = 20\,000

c

10x250=75010^x - 250 = 750

d

10x5=0.0002\dfrac{10^x}{5} = 0.0002

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer och svara exakt.

a

10x=1000010^{x} = 10\,000

b

102x=0.110^{2x} = 0.1

c

10x+2=10010^{x+2} = 100

d

2103x=0.0022 \cdot 10^{3x} = 0.002

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös logaritmekvationerna utan räknare.

a

lg(x)=5\lg(x)=5

b

lg(x)=-4\lg(x)=\text{-}4

c

lg(x)=2\lg(x)=2

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös logaritmekvationerna utan räknare.

a

4lg(x)=-124 \cdot \lg(x)=\text{-}12

b

lg(4x)=3\lg(4x)=3

c

5lg(2x)1=95\lg(2x)-1=9

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer. Avrunda till närmaste heltal.

a

lg(2x)=0.6\lg(2x) = 0.6

b

2.7=lg(x6)2.7=\lg(x-6)

c

5lg(x+2.15)=2.55\lg(x+2.15)=2.5

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Homer har löst en logaritmekvation, men han tycker att något känns fel.

Uppg1058 1.svg


a

Vad har Homer gjort för fel?

b

Lös ekvationen korrekt.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

x(x+7)=0x(x+7)=0

b

lg(x)=3\lg(x)=3

c

232x=22x2^3\cdot 2^x=2^{2x}

Nationella provet VT12 2b/2c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna utan att använda räknare.


a

lg(x)=4\lg(x)=4

b

lg(4x)2=1\dfrac{\lg(4x)}{2}=1

c

2x5x=0.012^x\cdot 5^x=0.01

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös exponentialekvationerna med inspektionsmetoden.


a

25x=82^{5x}=8

b

32x=813^{2x}=81

c

232x=22x2^3 \cdot 2^x=2^{2x}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna utan att använda räknare.


a

log5(x)=2\log_5(x)=2

b

log4(x)=-1\log_4(x)=\text{-}1

c

5log2(x)+80=1005\log_2(x)+80=100

d

log7(2x)2=1\dfrac{\log_7(2x)}{2}=1

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar grafen till funktionen y=10x.y=10^x.

Använd grafen för att uppskatta följande:


a

värdet av uttrycket 100.3.10^{0.3}.

b

xx i ekvationen 10x=4.10^x=4.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren visas grafen till y=lg(x).y=\lg(x).

Använd grafen för att lösa följande uppgifter.

a

Bestäm värdet av lg(1).\lg(1).

b

Lös ekvationen lg(x)=1.\lg(x)=1.

c

Lös ekvationen 10y=5.5.10^y=5.5.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Decibel är ett sätt att mäta ljudnivå som beror logaritmiskt på ljudintensiteten. Den beräknas av L=10lg(II0), L = 10\lg\left(\dfrac{I}{I_0}\right), där II är ljudintesiteten i W/m2^2 och I0I_0 är 10-1210^{\text{-}12} W/m2.^2.


a

Vad är ljudintensiteten om ljudnivån mäts till 6060 dB?

b

Ljudintensiteten fördubblas. Vad blir då ljudnivån?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Avrunda svaret till tre gällande siffror.

a

lg(4x+2)=2.3\lg(4x+2)=2.3

b

lg(x24)=0.02\lg\left(\dfrac{x^2}{4}\right)=0.02

c

1.75=lg(0.01+x3)1.75=\lg\left(0.01+x^3\right)

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Avrunda svaret till tre gällande siffror.

a

0.99=lg(8x+99)0.99=\lg(8x+99)

b

lg(x22)=1.05\lg(x^2-2)=1.05

c

lg(3x31)=0.03\lg(3x^3-1)=0.03

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna 10-x10^{\text{-} x} om lg(x)=0.\lg(x)=0.

Nationella provet VT15 2b/2c
2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Magnituden MM är ett mått på hur starkt en stjärna lyser och kan beräknas med hjälp av formeln M5=a5lg(r31016) M-5=a-5\lg\left(\dfrac{r}{3\cdot 10^{16}}\right) där rr är avståndet i meter från jorden till stjärnan och aa en konstant för en specifik stjärna, se tabell nedan.

ID2547NoText.svg
a

Beräkna magnituden MM för Sirius A.A.

b

Beräkna avståndet rr till Proxima Centauri.

Nationella provet VT15 2c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 3x=193^x=19 genom att använda definitionen a=10lg(a)a=10^{\lg(a)}. Svara exakt.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 5(lg(x))2=125.5 \cdot \left(\lg(x) \right)^2 = 125.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen logx(25)=2\log_x(25)=2.

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen log2(log3(log4(x)))=1.\log_2 \left( \log_3 \left( \log_4 (x) \right) \right) = 1.

4.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket yy löser ekvationen log3(y)=log2(y)?\log_3(y)=\log_2(y)?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}