Logaritmer och ekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Logaritmekvation

En ekvation där variabeln sitter inuti en logaritm, t.ex. lg(x)=17\lg(x) = 17, kallas för en logaritmekvation. För att lösa logaritmekvationer algebraiskt sätts båda led som exponenter på logaritmens bas.
Metod

Lösa logaritmekvationer

För att lösa logaritmekvationer använder man att tiologaritmer och tiopotenser tar ut varandra. Exempelvis kan ekvationer som har formen 5lg(x)+2=12 5 \cdot \lg (x) + 2 = 12 lösas med metoden.

1

Lös ut logaritmen
Lös ut logaritmen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.
5lg(x)+2=125 \cdot \lg (x) + 2 = 12
5lg(x)=105 \cdot \lg (x) = 10
lg(x)=2\lg (x) = 2

2

Sätt båda led som exponenter på basen 1010

Eftersom vänster- och högerled i en ekvation ska vara lika stora måste 1010 upphöjt till det som står i vänsterledet vara lika med 1010 upphöjt till det som står i högerledet. Detta används för att bli av med logaritmen, så båda led sätts som exponenter på basen 1010: 10lg(x)=102. 10^{\lg (x)} = 10^2.

3

Lös ut variabeln
Tiopotensen "tar ut" logaritmen så endast det som står innanför logaritmen blir kvar, dvs. x.x.
10lg(x)=10210^{\lg (x)} = 10^2
10lg(a)=a10^{\lg(a)}=a
x=102x = 10^2
x=100x = 100
Uppgift

Lös ekvationen lg(4x)+9=13. \lg(4x) + 9 = 13.

Lösning
Vi börjar med att lösa ut logaritmen.
lg(4x)+9=13\lg(4x) + 9 = 13
lg(4x)=4\lg(4x) = 4
Nu när logaritmtermen står ensam i vänsterledet sätter vi båda leden som exponenter på basen 1010. Tiopotensen och logaritmen tar ut varandra, så det går att lösa ut termen 4x.4x.
lg(4x)=4\lg(4x) = 4
10lg(4x)=10410^{\lg(4x)} = 10^4
10lg(a)=a10^{\lg(a)}=a
4x=1044x = 10^4
Nu behöver vi bara lösa ut x.x.
4x=1044x = 10^4
4x=100004x = 10\,000
x=2500x = 2500
Visa lösning Visa lösning
Metod

Lösa exponentialekvationer med inspektionsmetoden

Med hjälp av inspektionsmetoden kan man lösa vissa exponentialekvationer med basen 10.10. Till exempel kan ekvationen 104x=100000 10^{4x}= 100 \, 000 lösas på detta sätt.

1

Skriv om som tiopotens
Skriv om det led som inte innehåller xx så att det också blir en tiopotens.
104x=10000010^{4x}=100 \, 000
104x=10510^{4x}=10^5

2

Likställ exponenterna och lös ekvationen

Om likheten ska gälla måste exponenterna vara lika, eftersom basen 1010 är samma.

Method expekv m inpektionsmetoden.svg
Det ger ekvationen 4x=54x=5 som kan lösas med balansmetoden.
4x=54x = 5
x=54x=\dfrac{5}{4}
x=1.2x=1.2
Uppgift

Lös ekvationen 102x=0.01. 10^{2x}=0.01.

Lösning

Vi börjar med att skriva om högerledet som en tiopotens så att vi kan jämföra exponenterna. 0.010.01 är detsamma som en hundradel, så det kan vi skriva om som 1100=110-2=10-2. \dfrac{1}{100}= \dfrac{1}{10^{\text{-} 2}} = 10^{\text{-}2}. Därefter kan vi direkt läsa av vad 2x2x ska vara.

102x=0.0110^{2x}=0.01
102x=10-210^{2x}=10^{\text{-}2}
2x=-22x=\text{-}2
x=-1x=\text{-}1
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}