Logaritmer och ekvationer

Båda led är en potens med basen 10. För att likheten ska gälla måste exponenterna vara lika. Det betyder att x=6.

Vi kan skriva om 1 000 000 som en tiopotens. Det finns 6 nollor så vi kan skriva det som 10^6.

På samma sätt som i första deluppgiften kan vi direkt läsa av x. Basen är 10 i båda led så exponenterna måste vara samma. Det betyder att x=-9.

Vi skriver om högerledet som en potens och gör sedan på samma sätt som tidigare.

0,00000001 är ett decimaltal med totalt åtta nollor och en etta på slutet. Det betyder att vi kan skriva det som 10^(-8).

Vi börjar med att lösa ut 10^x och skriver sedan om högerledet som en tiopotens.

På samma sätt som tidigare börjar vi med att lösa ut 10^x.

Vi multiplicerar båda led med 5 och gör på samma sätt som tidigare.

Vi kan skriva om 10 000 som en tiopotens och eftersom det finns 4 nollor kan vi skriva det som 10^4. För att likheten ska gälla måste exponenterna vara lika.

0,1 kan också skrivas som en tiopotens, 10^(-1). På slutet dividerar vi med 2 för att få ut x.

Vi skriver om högerledet som en potens och gör sedan på samma sätt som tidigare.

Vi börjar med att dividera med 2 för att få tiopotensen ensam i vänsterledet. Därefter gör vi på samma sätt som i föregående deluppgifter.

Tiologaritmekvationer löser vi genom att sätta båda led som exponenter på 10. Då får vi x:et ensamt eftersom lg och 10 upphöjt till tar ut varandra.

Vi gör på samma sätt här. En tiopotens med en negativ exponent innebär att talet är mindre än 1.

Vi gör på samma sätt här.

Vi börjar med att få logaritmen ensam på ena sidan om likhetstecknet med balansmetoden. När det är gjort upphöjer vi 10 med det som står till höger och vänster om likhetstecknet för att bli av med logaritmen.

Här är logaritmen redan ensam i vänsterledet. Det spelar ingen roll att det är logaritmen av 4x, utan vi gör på samma sätt som tidigare. På slutet löser vi ut x.

Även här måste vi få logaritmen ensam innan vi sätter båda led som exponenter till basen 10.

Tiologaritmer och tiopotenser tar ut varandra så genom att sätta bägge leden som exponent på basen 10 kan vi lösa ut logaritmens argument i vänsterledet.

Vi gör samma sak igen, dvs. sätter leden som exponenter på basen 10 och löses därefter ut argumentet i logaritmen.

Innan vi sätter leden som exponenter på basen 10 så delar vi med 5 för att få logaritmen ensam i vänsterledet.

Vi löser ekvationen. För att få x höjer vi upp 10 med båda led. Då hamnar lg(x) som exponent på 10, vilket i nästa steg kan förenklas till x.

Vi får ett annat svar än Homer. Alltså har han gjort fel. Vi jämför stegen i vår lösning med Homers. Han gör fel då han förenklar (lg(x))^(10) till x. Han har tagit upphöjt till 10 istället för 10 upphöjt till. Det kan inte förenklas till x utan betyder bara att ta lg(x) multiplicerat med sig självt 10 gånger: (lg(x))^(10) = lg(x) * lg(x) * ⋯ * lg(x)_(10 st.).

Produkten av x och (x+7) ska bli 0 vilket den blir om någon av faktorerna är 0. Genom att använda nollproduktmetoden kan vi bestämma ekvationens lösningar.

Ekvationens lösningar är alltså x=0 och x=- 7.

Genom att sätta båda leden som exponenter på basen 10 kan vi därefter använda 10^(lg(a))=a för att lösa ut x ur ekvationen.

Lösningen är alltså x=10^3.

Potenserna 2^3 och 2^x har båda basen 2 vilket innebär att vi kan använda potenslagarna och sätta exponenterna på samma bas. Eftersom potensen i högerledet också har 2 som bas kan vi likställa exponenterna och lösa ut x.

Lösningen på ekvationen är x=3.