body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2b

Kurs 2b Visa detaljer

9. Logaritmer och ekvationer

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 2

9.

Logaritmer och ekvationer

Den här lektionenen förklarar konceptet av logaritmer, dess regler och hur de används i ekvationer. Den belyser även betydelsen av 'lg' i matematiken och ger förståelse för hur ekvationer med logaritmer kan lösas. Med hjälp av denna kunskap, kan du effektivt tillämpa logaritmer i olika matematiska sammanhang, såsom exponentialekvationer. Förståelsen av logaritmer kan också underlätta lösningsprocessen för komplicerade matematiska problem.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	23 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Logaritmer och ekvationer

Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Logaritmekvation
Lösa logaritmekvationer
Lösa exponentialekvationer med inspektionsmetoden

Förkunskaper

Variabel
Exponent
Potenser
Ekvation
Balansmetoden

Koncept

Logaritmekvation

En ekvation där variabeln sitter inuti en logaritm, t.ex. $l g (x) = 17,$ kallas för en logaritmekvation. För att lösa logaritmekvationer algebraiskt sätts båda led som exponenter på logaritmens bas.

Equivalence between logarithmic and exponential expressions

Metod

Lösa logaritmekvationer

För att lösa logaritmekvationer använder man att tiologaritmer och tiopotenser tar ut varandra. Exempelvis kan ekvationer som har formen

5 \cdot l g (x) + 2 = 12

lösas med metoden.

1

Lös ut logaritmen

Lös ut logaritmen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.

5 \cdot l g (x) + 2 = 12

$VL - 2 = HL - 2$

5 \cdot l g (x) = 10

$VL / 5 = HL / 5$

l g (x) = 2

2

Sätt båda led som exponenter på basen

10

Eftersom vänster- och högerled i en ekvation ska vara lika stora måste

10

upphöjt till det som står i vänsterledet vara lika med

10

upphöjt till det som står i högerledet. Detta används för att bli av med logaritmen, så båda led sätts som exponenter på basen

10 :

l g x 1 0^{l g (x)} = 2 ⇓ = 1 0^{2} .

3

Lös ut variabeln

Tiopotensen tar ut logaritmen så endast det som står innanför logaritmen blir kvar, dvs.

x .

1 0^{l g (x)} = 1 0^{2}

$1 0^{l g (a)} = a$

x = 1 0^{2}

Beräkna potens

x = 100

Exempel

Lös logaritmekvationen

Lös ekvationen

l g (4 x) + 9 = 13 .

Ledtråd

Börja med att isolera logaritmtermen på vänster sida. Sätt sedan båda sidor som exponenter med logaritmens bas.

Lösning

Vi börjar med att lösa ut logaritmen.

l g (4 x) + 9 = 13

$VL - 9 = HL - 9$

l g (4 x) = 4

Nu när logaritmtermen står ensam i vänsterledet sätter vi båda leden som exponenter på basen

10 .

Tiopotensen och logaritmen tar ut varandra, så det går att lösa ut termen

4 x .

l g (4 x) = 4

$1 0^{VL} = 1 0^{HL}$

1 0^{l g (4 x)} = 1 0^{4}

$1 0^{l g (a)} = a$

4 x = 1 0^{4}

Nu behöver vi bara lösa ut

x .

4 x = 1 0^{4}

Beräkna potens

4 x = 10000

$VL / 4 = HL / 4$

x = 2500

Metod

Lösa exponentialekvationer med inspektionsmetoden

Med hjälp av inspektionsmetoden kan man lösa vissa exponentialekvationer med basen

10 .

Till exempel kan ekvationen

1 0^{4 x} = 100000

lösas på detta sätt.

1

Skriv om som tiopotens

Skriv om det led som inte innehåller

x

så att det också blir en tiopotens.

1 0^{4 x} = 100000

Skriv som potens

1 0^{4 x} = 1 0^{5}

2

Likställ exponenterna och lös ekvationen

Om likheten ska gälla måste exponenterna vara lika, eftersom basen $10$ är samma.

Det ger ekvationen

4 x = 5

som kan lösas med balansmetoden.

4 x = 5

$VL / 4 = HL / 4$

x = \frac{5}{4}

Skriv i decimalform

x = 1, 25

Exempel

Lös exponentialekvationen med inspektionsmetoden

Lös ekvationen

1 0^{2 x} = 0, 01 .

Ledtråd

Skriv om $0, 01$ som $1 0^{- 2} .$

Lösning

Vi börjar med att skriva om högerledet som en tiopotens så att vi kan jämföra exponenterna.

0, 01

är detsamma som en hundradel, så det kan vi skriva om som

\frac{1}{1 0 0} = \frac{1}{1 0 ^{- 2}} = 1 0^{- 2} .

Därefter kan vi direkt läsa av vad

2 x

ska vara.

1 0^{2 x} = 0, 01

Skriv som potens

1 0^{2 x} = 1 0^{- 2}

EquateExponents

Likställ exponenter

2 x = - 2

$VL / 2 = HL / 2$

x = - 1

Logaritmer och ekvationer

Övningar

Lös ekvationen

lo g_{2} (lo g_{3} (lo g_{4} (x))) = 1 .

Vi delar upp ekvationen i delar för att göra den mer hanterbar. Vi börjar med att strunta i vad som står innanför tvålogaritmen och kallar det bara för z. Då får vi ekvationen log_2(z) = 1. För att lösa ut z sätter vi båda led som exponenter till basen 2.

Det som står innanför tvålogaritmen är alltså lika med 2, vilket ger oss den nya ekvationen log_3 ( log_4 (x) ) = 2. Vi tänker på samma sätt som innan, och låter log_4(x) vara vårt z. Men eftersom ekvationen är mer hanterbar nu så gör vi allt i ett steg. Vi sätter båda sidor som exponenter till basen 3 och förenklar för att bli av med trelogaritmen, och sedan gör vi samma sak för fyralogaritmen för att till slut lösa ut x.

Vilket

y

löser ekvationen

lo g_{3} (y) = lo g_{2} (y) ?

Likheten log_3(y)=log_2(y) innebär att båda logaritmerna är lika med samma tal, som vi kan kalla x. Det ger oss två ekvationer: log_3(y) = x och log_2(y) = x. Trelogaritmen av y är det tal som man upphöjer 3 till för att få y, och det har vi har sagt är x. Detta ger att första ekvationen kan skrivas som 3^x = y. På samma sätt ger log_2(y) = x att 2^x=y. Då vet vi att både 3^x och 2^x är lika med y vilket ger den nya ekvationen 3^x = 2^x=y, eller: vilket tal man kan upphöja både 3 och 2 till och få samma resultat? Detta tal måste vara 0, eftersom det är den enda exponenten som ger samma resultat oavsett vad basen är. Man kan också lösa det grafiskt genom att rita ut 3^x = y och 2^x = y i ett koordinatsystem och avläsa att skärningspunkten finns vid x = 0.

x = 0 löser alltså ekvationen 3^x = 2^x. För att få det y vi söker sätter vi in x = 0 i exempelvis 3^x = y.

Lösningen på ursprungsekvationen är alltså y=1.

Logaritmer och ekvationer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll