9. Logaritmer och ekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
9.
Logaritmer och ekvationer
Den här lektionenen förklarar konceptet av logaritmer, dess regler och hur de används i ekvationer. Den belyser även betydelsen av 'lg' i matematiken och ger förståelse för hur ekvationer med logaritmer kan lösas. Med hjälp av denna kunskap, kan du effektivt tillämpa logaritmer i olika matematiska sammanhang, såsom exponentialekvationer. Förståelsen av logaritmer kan också underlätta lösningsprocessen för komplicerade matematiska problem.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Logaritmer och ekvationer
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Logaritmekvation
- Lösa logaritmekvationer
- Lösa exponentialekvationer med inspektionsmetoden
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Logaritmekvation
En ekvation där variabeln sitter inuti en logaritm, t.ex. lg(x) = 17, kallas för en logaritmekvation. För att lösa logaritmekvationer algebraiskt sätts båda led som exponenter på logaritmens bas.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Lösa logaritmekvationer
För att lösa logaritmekvationer använder man att tiologaritmer och tiopotenser tar ut varandra. Exempelvis kan ekvationer som har formen 5 * lg (x) + 2 = 12 lösas med metoden.
1
Lös ut logaritmen
expand_more Lös ut logaritmen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.
2
Sätt båda led som exponenter på basen 10
expand_more Eftersom vänster- och högerled i en ekvation ska vara lika stora måste 10 upphöjt till det som står i vänsterledet vara lika med 10 upphöjt till det som står i högerledet. Detta används för att bli av med logaritmen, så båda led sätts som exponenter på basen 10:
lg x &= 2 &⇓ 10^(lg (x)) &= 10^2.
3
Lös ut variabeln
expand_more Tiopotensen tar ut logaritmen så endast det som står innanför logaritmen blir kvar, dvs. x.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös logaritmekvationen
Lös ekvationen lg(4x) + 9 = 13.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2500"]}}
Ledtråd
Börja med att isolera logaritmtermen på vänster sida. Sätt sedan båda sidor som exponenter med logaritmens bas.
Lösning
Vi börjar med att lösa ut logaritmen.
Nu när logaritmtermen står ensam i vänsterledet sätter vi båda leden som exponenter på basen 10. Tiopotensen och logaritmen tar ut varandra, så det går att lösa ut termen 4x.
Nu behöver vi bara lösa ut x.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Lösa exponentialekvationer med inspektionsmetoden
Med hjälp av inspektionsmetoden kan man lösa vissa exponentialekvationer med basen 10. Till exempel kan ekvationen 10^(4x)= 100 000 lösas på detta sätt.
1
Skriv om som tiopotens
expand_more 2
Likställ exponenterna och lös ekvationen
expand_more Om likheten ska gälla måste exponenterna vara lika, eftersom basen 10 är samma.
Det ger ekvationen 4x=5 som kan lösas med balansmetoden.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös exponentialekvationen med inspektionsmetoden
Lös ekvationen 10^(2x)=0,01.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-1"]}}
Ledtråd
Skriv om 0,01 som 10^(-2).
Lösning
Vi börjar med att skriva om högerledet som en tiopotens så att vi kan jämföra exponenterna. 0,01 är detsamma som en hundradel, så det kan vi skriva om som 1/100= 1/10^(- 2) = 10^(-2).
Därefter kan vi direkt läsa av vad 2x ska vara.
10^(2x)=0,01
WritePow
Skriv som potens
10^(2x)=10^(-2)
EquateExponents
Likställ exponenter
2x=-2
DivEqn
.VL /2.=.HL /2.
x=-1
Dela
Rapportera fel
Översätt
Logaritmer och ekvationer
Uppgift 4.1
Lös ekvationen log_2 ( log_3 ( log_4 (x) ) ) = 1.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["262144"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi delar upp ekvationen i delar för att göra den mer hanterbar. Vi börjar med att strunta i vad som står innanför tvålogaritmen och kallar det bara för z. Då får vi ekvationen log_2(z) = 1. För att lösa ut z sätter vi båda led som exponenter till basen 2.
Det som står innanför tvålogaritmen är alltså lika med 2, vilket ger oss den nya ekvationen
log_3 ( log_4 (x) ) = 2.
Vi tänker på samma sätt som innan, och låter log_4(x) vara vårt z.
Men eftersom ekvationen är mer hanterbar nu så gör vi allt i ett steg. Vi sätter båda sidor som exponenter till basen 3 och förenklar för att bli av med trelogaritmen, och sedan gör vi samma sak för fyralogaritmen för att till slut lösa ut x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vilket y löser ekvationen log_3(y)=log_2(y)?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
security
report
code
security
report
code
Likheten log_3(y)=log_2(y) innebär att båda logaritmerna är lika med samma tal, som vi kan kalla x. Det ger oss två ekvationer: log_3(y) = x och log_2(y) = x. Trelogaritmen av y är det tal som man upphöjer 3 till för att få y, och det har vi har sagt är x. Detta ger att första ekvationen kan skrivas som 3^x = y. På samma sätt ger log_2(y) = x att 2^x=y. Då vet vi att både 3^x och 2^x är lika med y vilket ger den nya ekvationen 3^x = 2^x=y, eller: vilket tal man kan upphöja både 3 och 2 till och få samma resultat? Detta tal måste vara 0, eftersom det är den enda exponenten som ger samma resultat oavsett vad basen är. Man kan också lösa det grafiskt genom att rita ut 3^x = y och 2^x = y i ett koordinatsystem och avläsa att skärningspunkten finns vid x = 0.
x = 0 löser alltså ekvationen 3^x = 2^x. För att få det y vi söker sätter vi in x = 0 i exempelvis 3^x = y.
Lösningen på ursprungsekvationen är alltså y=1.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Logaritmer och ekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll