body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Funktioner används ofta för att modellera scenarier där en kvantitet beror på en annan. Vissa av dessa funktioner uppvisar ett särskilt beteende — när en variabel ökar eller minskar, gör den andra variabeln detsamma, med en konstant hastighet. Graferna för dessa funktioner är räta linjer och har ett speciellt namn. Denna lektion kommer att diskutera följande ämnen relaterade till dessa typer av funktioner:

Formel
Linjär funktion
Lutning
Skärningspunkt
$k -$ Form
Lutning av parallella linjer
Hitta skärningspunkter av en graf
Skriva ekvationen för en linje i $k -$ form från en graf

Förkunskaper

Introduktion till funktioner

Utforska

Utforska linjers ekvationer

Följande applet visar olika linjer i ett koordinatsystem tillsammans med deras ekvationer.

Slumpmässiga linjer med deras ekvation

Vad är relationen mellan koefficienten för variabeln

x

och linjens orientering? Vad är relationen mellan konstanttermen i ekvationen och platsen där linjen möter

y -

axeln?

Teori

Formel

En formel anger ett samband mellan två eller flera variabler och uttrycks vanligtvis som en ekvation. Formler kan innehålla en eller flera konstanter som $π$ eller $e,$ vilka ofta representeras av olika symboler som grekiska bokstäver.

Visar olika formler, såsom arean av en triangel, pq-formeln, arean av en cirkel, kontinuerlig ränta på ränta och volymen av en sfär.

Funktioner är som formler i den meningen att

y -

och

x -

värden är relaterade genom en ekvation. För varje

x -

värde finns det ett

y -

värde som kan hittas med hjälp av funktionens formel.

y = 2 x + 3

Värdena på

x

och dess motsvarande

y -

värden kan organiseras i en värdetabell.

$x$	$2 x + 3$	$y$
$- 2$	$2 (- 2) + 3$	$- 1$
$- 1$	$2 (- 1) + 3$	$1$
$0$	$2 (0) + 3$	$3$
$1$	$2 (1) + 3$	$5$
$2$	$2 (2) + 3$	$7$

Funktionens graf ritas genom att placera punkterna i ett koordinatsystem och koppla ihop dem med en linje.

Koordinatsystem med punkterna (-2,-1), (-1,1), (0,3), (1,5) och (2,7) tillsammans med linjen som går genom alla dessa punkter.

Teori

Linjär funktion

En linjär funktion är en funktion vars graf är en icke-vertikal linje.

Linje: y = 2x-1

Linjära funktioner kan skrivas i följande form, den så kallade

k -

y = k x + m

I denna formel är

k

och

m

k -

värdet anger linjens lutning och

m -

värdet är det värde där linjen skär

y -

axeln.

Linje

Exempel

Köpa chokladkakor i affären

Noel vill köpa lite godis i affären. Varje chokladkaka kostar $15$ kronor. Låt $x$ representera antalet chokladkakor som köps och $y$ det totala priset som Noel måste betala. Noel gör följande tabell.

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$15$
$2$	$30$
$3$	$45$
$4$	$60$
$5$	$75$

Rita en graf som representerar denna funktion. Är detta en linjär funktion?

Ledtråd

Placera punkterna i ett koordinatsystem och koppla ihop dem. Är alla punkterna på samma linje?

Lösning

Tänk på den givna tabellen.

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$15$
$2$	$30$
$3$	$45$
$4$	$60$
$5$	$75$

För att rita denna funktion måste varje punkt placeras i koordinatsystemet. Tänk på att $y -$ axeln använder större siffror, så ett lämpligt koordinatsystem behövs.

Nästa steg är att plotta punkterna som ges i tabellen i koordinatsystemet.

Slutligen, koppla ihop punkterna för att rita grafen av funktionen.

Eftersom en rak linje går genom varje punkt, är funktionen en linjär funktion. Detta innebär att svaret är ja.

Teori

Lutning

The slope of a line passing through the points $(x_{1}, y_{1})$ and $(x_{2}, y_{2})$ is the ratio of the vertical change — the change in $y -$ values — to the horizontal change — the change in $x -$ values — between the points. Since the slope is typically represented using the letter $k,$ it is also known as the $k -$ value.

$k = \frac{change in y - value}{change in x - value}$

A right triangle can be used to visualize the change between the coordinates of two points on the graph of a line.

Two points (x1,y1) and (x2,y2) passing through a line. The slope is visualize by making a right triangle whose base is x2-x1 and height is y2-y2.

Teori

Skärningspunkter

En skärningspunkt är vilken punkt som helst där två linjer eller kurvor möts. Ett exempel på detta är punkten där $x -$ och $y -$ axlarna skär varandra i ett koordinatsystem, även känt som origo.

Koordinatsystem som visar origo som skärningspunkt

Begreppet skärningspunkt kan användas för att lösa ett system av ekvationer. Till exempel kan ett system av två linjära ekvationer representeras av två linjer; varje punkt som ligger på båda linjerna uppfyller båda linjära ekvationer, så varje skärningspunkt representerar en lösning till systemet.

System av linjära ekvationer som skär varandra i en enda punkt

Funktioner kan skära en eller båda axlarna. Den följande linjära funktionen skär $y -$ axeln och $x -$ axeln en gång.

Grafen av linjen -1.5x + 3 med skärningspunkter vid axlarna vid punkterna (0,b) och (a,0)

En funktion kan skära

x -

axeln flera gånger, men den kan endast skära

y -

axeln en gång.

Teori

K-Form

En linjär ekvation eller linjär funktion kan skrivas i följande form, kallad $k -$ form, som ekvationen för en rak linje.

$y = k x + m$

I denna form är $k$ stigning och $m$ är skärningspunkten för linjen och $y -$ axeln. Dessa är de allmänna egenskaperna eller parametrarna för linjen. De bestämmer linjens lutning och position på koordinatsystemet. Tänk på följande graf.

Grafen för den linjära funktionen y=2*x+1 med en lutning på 2 och en skärningspunkt med y-axeln vid (0, 1).

Denna linje har en lutning på $2$ och skärningspunkten är vid $y = 1$ . Ekvationen för linjen kan skrivas i lutning-intercept form med dessa värden.

y = k x + m ⇓ y = 2 x + 1

Teori

Lutning av parallella linjer

I ett koordinatsystem är två olika icke-vertikala linjer parallella om och endast om deras lutningar är lika.

Parallella linjer

Om $ℓ_{1}$ och $ℓ_{2}$ är två parallella linjer och $k_{1}$ och $k_{2}$ deras respektive lutningar, då är följande påstående sant.

$ℓ_{1} ∥ ℓ_{2} \Leftrightarrow k_{1} = k_{2}$

Eftersom lutningen för en vertikal linje inte är definierad, gäller detta satsen endast för icke-vertikala linjer. Däremot är varje två olika vertikala linjer parallella.

Exempel

Jämförelse av linjära funktioner

Två linjära funktioner ges. En är given av följande ekvation.

y = 3 x + 5

Den andra är given av följande graf.

Grafen för en linjär funktion med en lutning på 2 som skär y-axeln vid y=-2.

Är dessa linjära funktioner parallella?

Ledtråd

Hitta lutningen för varje linjär funktion, och använd sedan Satsen om lutningarna för parallella linjer.

Lösning

För att avgöra om de två linjära funktionerna är parallella, använd Satsen om lutningarna för parallella linjer.

Satsen om lutningarna för parallella linjer
Två linjer är parallella om och endast om de har samma lutning.

Detta innebär att lutningen för varje linje behöver hittas först. Börja med att titta på funktionen som ges som en ekvation.

y = 3 x + 5

Notera att denna funktion ges i

k -

form. Detta innebär att koefficienten för variabeln

x

motsvarar lutningen för linjen.

y = 3 x + 5

Lutningen för den första linjen är

3 .

Titta sedan på den linjära funktionen som ges som en graf.

För att hitta lutningen, fokusera på två punkter i grafen. Till exempel kan punkterna $(1, 0)$ och $(2, 2)$ användas. Räkna den horisontella och vertikala förflyttningen mellan de två punkterna.

Nästa steg är att hitta kvoten mellan den vertikala förflyttningen och den horisontella förflyttningen. Detta tal motsvarar lutningen för linjen.

k = \frac{2}{1} = 2

Lutningen för linjen i grafen är

2 .

Jämför nu lutningarna för de två linjerna.

3 \neq = 2

Eftersom lutningarna är olika, är linjerna inte parallella.

Övning

Hitta lutningen för en linje

Hitta lutningen för den givna linjen genom att bestämma den vertikala och horisontella förflyttningen mellan två punkter. Skriv svaren i decimaltal.

Slumpmässiga linjer

Teori

Hitta skärningspunkter av en graf

Kurvor eller linjer som ritas i ett koordinatsystem kan skära antingen axlarna. En punkt där en graf skär

x -

axeln är i följande form.

(x, 0)

På ett liknande sätt skrivs en punkt där en graf skär

y -

axeln på följande sätt.

(0, y)

Denna information kan användas när man hittar skärningspunkterna för en graf med den kända ekvationen. Tänk på en linje given av följande ekvation.

2 x + 5 y = 10

För att hitta skärningspunkterna, följ dessa två steg.

1

Skärning med

x -

axeln

Kom ihåg att denna punkt har formen

(x, 0)

. Det betyder att den kan hittas genom att ersätta

y = 0

i ekvationen.

2 x + 5 y = 10 \Rightarrow 2 x + 5 (0) = 10

Nästa steg är att lösa ekvationen för

x

för att bestämma

x -

koordinaten när

y = 0 .

2 x + 5 (0) = 10

Multiplicera faktorer

2 x = 10

$VL / 2 = HL / 2$

x = 5

Därför skär linjen

x -

axeln vid punkten

(5, 0) .

2

Skärning med

y -

axeln

Skärningen med

y -

axeln kan hittas på liknande sätt. Eftersom denna punkt har formen

(0, y),

ersätt

x = 0

i ekvationen och lös för

y .

2 x + 5 y = 10

$x = 0$

2 (0) + 5 y = 10

Multiplicera faktorer

5 y = 10

$VL / 5 = HL / 5$

y = 2

Linjen skär

y -

axeln vid punkten

(0, 2) .

Exempel

Hitta skärningspunkterna

Följande ekvation beskriver en rak linje i koordinatsystemet.

2 y + 6 = 6 x

a Hitta skärningspunkten skärningspunkt för linjen och

x -

axeln.

b Hitta skärningspunkten för linjen och

y -

axeln.

Ledtråd

a Sätt

y

lika med

0

och lös den resulterande ekvationen för

x .

b Sätt

x

lika med

0

och lös den resulterande ekvationen för

y .

Lösning

a Tänk på den givna ekvationen.

2 y + 6 = 6 x

Skärningen av linjen med

x -

axeln har formen

(x, 0) .

Detta innebär att

y = 0

vid skärningspunkten, så ersätt

y

med

0

i den givna ekvationen och lös för

x .

2 y + 6 = 6 x

$y = 0$

2 (0) + 6 = 6 x

Multiplicera faktorer

0 + 6 = 6 x

Addera termerna

6 = 6 x

Omarrangera ekvation

6 x = 6

$VL / 6 = HL / 6$

x = 1

Skärningspunkten för linjen och

x -

axeln är

(1, 0) .

b Skärningspunkten för linjen och

y -

axeln kan hittas på ett liknande sätt. Denna gång, ersätt

x

med

0

och lös för

y

istället.

2 y + 6 = 6 x

$x = 0$

2 y + 6 = 6 (0)

Multiplicera faktorer

2 y + 6 = 0

$VL - 6 = HL - 6$

2 y = - 6

$VL / 2 = HL / 2$

y = - 3

Skärningspunkten för linjen och

y -

axeln är

(0, - 3) .

Övning

Öva på att identifiera skärningspunkterna

Den följande applet växlar mellan en graf och en linjär ekvation, båda som representerar linjära funktioner. Identifiera den angivna punkten för skärning av den givna funktionen och skriv svaret som ett enda nummer.

Interaktiv graf som visar en graf eller uttryck.

Teori

Skriva ekvationen för en linje i $k -$ form från en graf

Skärningspunkten för en linje med

y -

axeln är

m

och dess lutning är

k .

Dessa två nummer måste först hittas för att skriva ekvationen för en linje i dess

k -

y = k x + m

Tänk på linjen som visas som ett exempel.

En linje i ett koordinatsystem

Det finns fyra steg för att skriva ekvationen för denna linje.

1

Hitta skärningspunkten för grafen med

y -

axeln.

Från den givna grafen kan det ses att linjen skär $y -$ axeln vid punkten $(0, - 4) .$

y-skärningen för linjen är identifierad på grafen.

2

Ersätt

m

med

y -

koordinaten för skärningspunkten.

y -

skärningen kan ersättas i ekvationen för lutning-interceptformeln för

m .

y = k x + m ⇓ y = k x - 4

3

Hitta lutningen.

Nästa steg är att bestämma lutningen på linjen. Lutningen på en linje är förhållandet mellan den vertikala förändringen och den horisontella förändringen mellan två punkter på linjen.

k = \frac{Vertikal f o ¨ r a ¨ ndring}{Horisontell f o ¨ r a ¨ ndring}

Vilka som helst två punkter på linjen kan användas för att hitta lutningen.

Höjning och löpning mellan de två valda punkterna bestäms.

För denna linje är den

vertikala

f \ddot{o} r \ddot{a} ndringen

6

och den

horisontella

f \ddot{o} r \ddot{a} ndringen

2 .

Ersätt dessa värden i formeln för att beräkna lutningen på linjen.

k = \frac{6}{2} \Rightarrow k = 3

4

Ersätt

k

med lutningen.

Slutligen, ersätt

k = 3

i ekvationen från Steg

2

för att slutföra ekvationen.

y = k x - 4 ⇓ y = 3 x - 4

Ekvationen för linjen i

k -

form är nu komplett.

Exempel

Skriva ekvationen för en linjär funktion

Tänk på följande graf av en linjär funktion.

Graf av en linjär funktion med en lutning på -2 och en skärning på y-axeln vid (0,3).

Skriv ekvationen för denna linje i

k -

Ledtråd

Hitta lutningen för linjen. Vid vilken punkt skär den $y -$ axeln?

Lösning

Börja med att påminna dig om hur ekvationen för en linje i

k -

form skrivs.

y = k x + m

I denna formel är

k

lutningen för linjen och

m

är

y -

koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och

y -

axeln. Tänk på den givna grafen.

Observera att linjen skär

y -

axeln vid

(0, 3),

så

m = 3 .

y = k x + 3

Nästa steg är att hitta lutningen för linjen genom att beräkna förhållandet mellan den vertikala förflyttningen och den horisontella förflyttningen mellan två punkter på linjen.

Tänk på att linjen går nedåt, så den vertikala förflyttningen är negativ. Detta innebär att lutningen kommer att vara negativ.

k = \frac{- 2}{1} = - 2

Ekvationen i

k -

form kan nu skrivas.

y = - 2 x + 3

Avslut

Sammanfattning

Denna lektion diskuterade linjära funktioner och deras huvudsakliga egenskaper. Linjära funktioner är de funktioner vars graf är en rak linje.

Graf av en linjär funktion

Om grafen av en funktion inte är en rak linje, då är det inte en linjär funktion.

Graf av en funktion som inte är en linjär funktion

Tänk på att detta exkluderar vertikala linjer eftersom dessa inte är funktioner alls. De två huvudsakliga egenskaperna hos en linjär funktion är dess lutning

k

och skärningspunkten för linjen med

y -

axeln

m .

Dessa två kvantiteter är tillräckliga för att skriva ekvationen för linjen i

k -

y = k x + m

Lutningen på linjen visar hur brant den är och i vilken riktning den lutar. Använd följande applet för att utforska hur olika lutningar ser ut i en graf.

Interaktiv graf av en linje. Lutningen kan ändras.

Linjär funktioner är användbara för att modellera scenarier där förändringen mellan två kvantiteter förblir konstant. Det finns många verkliga scenarier där detta händer!

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll