Linjära funktioner

Vi skriver ekvationen så att den står på formen y = kx + m.

På k-form skrivs ekvationen y = x + 3. Observera att när k = 1 brukar man inte skriva ut denna koefficient framför x-termen. Skulle vi ändå skriva ut k-värdet blir ekvationen y = 1x + 3.

Vi gör samma sak igen och löser ut y.

I koordinatsystemet kan vi läsa av punktens koordinater som (4, 4a). Punktens x-koordinat är alltså känd, medan y-koordinaten beror på den okända konstanten a. Vi läser även av linjens skärningspunkt med x-axeln i (1,0).

Vi kan beräkna konstanten a genom att använda formeln för att beräkna k-värdet. Från grafen vet vi lutningen på en linje som går genom punkten (4, 4a) och den linjen är y = 8x + m. Linjens lutning är alltså k = 8. Genom att sätta in de markerade punkterna i k-formeln och likställa med 8 kan vi lösa ut a.

Vi skulle egentligen beräkna värdet på a. Men syftet var ju att beräkna 4a så det finns ingen anledning att lösa ut a i VL. Punktens koordinater är alltså (4, 24).

Eftersom vi vet att linjen skär x-axeln i punkten (1, 0) kan vi använda denna punkt till att beräkna linjens konstantterm. Vet vi värdet av denna term kan vi därefter beräkna den sökta punktens y-koordinat. Vi sätter in punkten (1, 0) i funktionen och löser ut m.

Linjens ekvation är alltså y = 8x - 8. Vi sätter in den sökta punktens x-koordinat i denna ekvation och beräknar y-koordinaten.

Den sökta punkten är alltså (4, 24).

Vi bestämmer linjens ekvation genom att sätta in punkten (-3,6) i y = 3x + m och löser sedan ut m.

Linjens ekvation är alltså y = 3x + 15. Genom att sätta in koordinaterna från punkten (2b,b) kan vi bestämma b.

Svaret är alltså att b=-3.

Linjen skär y-axeln då x = 0. Sätter vi in x = 0 i ekvationen kan vi lösa ut det motsvarande y-värdet.

Skärningspunkten mellan linjen och y-axeln är (0,m).

Linjen skär x-axeln då y = 0. Sätter vi in y = 0 i ekvationen kan vi lösa ut det motsvarande x-värdet.

Skärningspunkten mellan linjen och x-axeln är (- mk,0).

Vi utgår från en rät linje på k-form, y = kx + m. Vi söker villkor för k och m. m är ju y-värdet där linjen skär y-axeln, så om linjen ska skära den positiva delen av y-axeln så måste m anta ett positivt värde, dvs. m > 0. Vad gäller för k-värdet? För att linjen även ska skära den positiva delen av x-axeln måste linjens lutning k vara negativ, vilket vi kan se i koordinatsystemet nedan. Om k=0 kommer linjen aldrig att skära x-axeln, och för positiva k-värden kommer linjen att skära den negativa delen av x-axeln.

Alltså måste k < 0 och m > 0 gälla, d.v.s. alternativ B och C är rätt.

Värdetabellen beskriver punkterna &(z-9, h+1) &(2+a, 3+b) &(u+2, 8-b) &(4+a, 9+b). För att bestämma lutningen behöver vi känna till två punkter på linjen och sätta in dessa i k-formeln: k=y_2-y_1/x_2-x_1. Men punkterna innehåller okända värden som vi vill bli av med på något sätt, t.ex. genom förkortning eller genom att de tar ut varandra, så att vi får ett numeriskt uttryck. Undersöker vi punkterna ser vi att två av dem har lika många a och b i både x- och y-koordinaterna. &(z-9, h+1) &(2 + a, 3 + b) &(u+2, 8-b) &(4 + a, 9 + b). När de sätts in i k-formeln kommer de okända värdena att ta ut varandra i täljare och nämnare.

Lutningen är alltså k=3.

Än så länge vet vi att linjen kan skrivas

y=3x+m. Att ta reda på linjens skärning med y-axeln är detsamma som att bestämma m-värdet. För att göra detta sätter vi in den givna punkten och provar att lösa ut m.

De okända värdena tog återigen ut varandra och gav oss m-värdet -3, vilket betyder att linjen skär y-axeln i punkten (0,-3).

Om en lodrät linje kan skrivas på formen y = kx + m, måste vi ju kunna bestämma k-värdet. Vi antar att det finns en lodrät linje vid x-koordinaten a och på denna linje väljer vi ut två punkter (a, y_1) och (a, y_2). Eftersom linjen är lodrät kommer alla x-koordinater på den att vara a.

k-värdet för en linje kan räknas ut med formeln k = Δ y/Δ x = x_2 - x_1/y_2 - y_1. Vi sätter in punkterna (a, y_1) och (a, y_2) och förenklar.

Att dividera med noll är otillåtet, vilket innebär att det inte finns något k-värde som kan beskriva linjen. Det finns alltså inget sätt att skriva en lodrät linjes ekvation på k-form. Man använder istället formen x=a, där a är linjens x-koordinat.