Linjära funktioner

En linje med en ekvation som står på k-form skrivs y = kx + m, där k är linjens lutning och m anger y-värdet där linjen skär y-axeln. För att bestämma k- och m-värdet för denna linje läser vi av linjens lutning och skärningspunkt med y-axeln.

Denna linje skär y-axeln i punkten (0,2), vilket innebär att linjens m-värde är 2. Vi ser även att linjen ökar 1 steg i y-led för varje ökning med 2 steg i x-led. Lutningen är alltså k=1/2 eller k=0.5 Linjen L kan därför beskrivas med ekvationen y = 0.5x + 2.

För att bestämma ekvationen på k-form beräknar vi linjens k- och m-värde.

k-värde

Vi bestämmer riktningskoefficienten med formeln k = y_2 - y_1x_2 - x_1, där exempelvis y_2 är andra punktens y-koordinat. Det spelar ingen roll vilken punkt vi väljer den andra, vi kan t.ex. välja (4,7) och då blir y_2=7, x_2=4 osv.

Riktningskoefficienten är alltså k = 5.

m-värde

Än så länge har vi y = 5x + m. Men hur bestämmer vi m-värdet? Med hjälp av en känd punkt, som vi vet ger ett visst y-värde för något x-värde, kan vi bestämma m. Vi sätter alltså in en av de kända punkterna, t.ex. (4,7), i ekvationen och löser ut m.

Linjens ekvation är y = 5x - 13, och här är vi klara. Om vi vill kan vi även tolka resultatet. Linjen stiger 5 steg i y-led när man går 1 steg åt höger, och skär y-axeln i punkten (0,-13). Nedan har vi även ritat punkterna och linjen i ett koordinatsystem.

Då punkterna ligger på samma linje, kommer lutningen mellan punkterna (-4,2) och (3,9) att vara samma som mellan (3,9) och den okända punkten. Vi börjar med att beräkna linjens k-värde med hjälp av de kända punkterna, som vi kan kalla punkt 1 och 2. Vi använder formeln för riktningskoefficienten: k = y_2 - y_1/x_2 - x_1, där exempelvis y_2 står för y-koordinaten för den andra punkten, alltså 9.

Linjen har lutningen 1. Det innebär att för varje steg i x-led rör sig linjen 1 steg uppåt. Vi vet att mellan punkterna (3,9) och (20,y) rör sig linjen 20-3=17 steg i x-led. Den rör sig då även 17 steg i y-led, vilket innebär att den okända y-koordinaten är y=9+17=26.

Efter att vi har bestämt k-värdet till 1 kan vi välja att använda formeln k = y_2 - y_1x_2 - x_1 en gång till, men denna gång kan vi sätta in k=1 direkt och det är y_2 (dvs. den sökta koordinaten y) som är okänd.

Punkten (20,y) har alltså y-koordinaten 26.

För att kunna skriva linjens ekvation behöver vi känna till minst två punkter på linjen. Vi kan se två punkter på grafen med bara heltalsvärden: (3,2) och (4,14). Punkterna ligger 1 steg ifrån varandra i x-led, så genom att bestämma skillnaden i y-led får vi k-värdet (lutningen).

Vi ser att skillnaden i y-led är 12, så k = 12. Hittills kan vi alltså skriva linjens ekvation som y=12x+m. Slutligen måste vi även bestämma var linjen skär y-axeln. Vi sätter in en av punkterna, t.ex. (3,2), i ekvationen och löser ut m.

Linjens ekvation kan skrivas y=12x-34.

Vi bestämmer om punkterna ligger längs samma linje med den andra metoden. Först beräknar vi lutningen på en linje mellan punkterna (3,4) och (10,8).

Mellan (3,4) och (10,8) är lutningen k = 47. I nästa steg undersöker vi lutningen på en linje som går mellan den tredje punkten, (-1,-6), och punkten (3,4).

Eftersom 59≠ 47 ligger inte de tre punkterna på samma räta linje. Vi ritar linjerna mellan (3,4) och (10,8) samt mellan (-1,-6) och (3,4). Vi ser då att de faktiskt inte ligger på samma räta linje.

Eftersom Anna har totalt 7 km till skolan kan sträckan y hon har kvar att cykla efter x antal minuter uttryckas som y=7-s km, där s är så långt hon har cyklat. Vi behöver nu ett uttryck för s, dvs. hur långt Anna har cyklat efter x minuter. Sträckan beräknas genom att multiplicera hastigheten med tiden. Efter x minuter har Anna alltså cyklat s=0.35x km. Vi sätter in s=0.35x i y=7-s. Ett uttryck för hur långt Anna har kvar att cykla är därför y=7-0.35x.

Vi känner till linjens lutning, k=3.5, och det är den enda information vi behöver för att lösa uppgiften. Det är nämligen så att alla räta linjer på formen y=kx+m, där k≠0, löper oändligt långt åt alla håll. Dessa linjer antar därför alla y-värden, inklusive -500. Vi kan använda figuren för att bättre förstå varför det är så. Föreställ dig att linjen fortsätter utanför koordinatsystemet.

Med detta resonemang är alltså svaret ja.

Om man vill kan man vara mer specifik och ange var linjen går genom y=-500 behöver man bestämma dess ekvation. Vi gör det för att bekräfta resonemanget. Vi känner till linjens k-värde samt en punkt på linjen så vi sätter in detta i räta linjens ekvation för att bestämma m-värdet.

Linjens ekvation är alltså y=3.5x-2. Vi sätter in y=-500 för att bestämma motsvarande x-värde.

Linjen går alltså genom en punkt med y-koordinaten -500 där x≈-142.