Likformighet och kongruens

Vi söker hypotenusan i den lilla triangeln, men för att använda likformighet behöver vi veta hypotenusan i den stora. Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi beräkna den med Pythagoras sats.

Kateterna är 8,1 le. och 10,8 le.

Eftersom c är en längd förkastar vi den negativa roten. Nu kan vi bestämma x genom att vi vet att förhållandet mellan de kända kateterna och hypotenusorna ska vara samma.

Det ger oss ekvationen x13,5= 38,1.

Den okända kateten är alltså 5 le. Det hade även gått bra att först använda likformighet för att beräkna den okända kateten i den lilla triangeln och därefter använda Pythagoras sats på den.

Vi börjar med att rita av dem åt samma håll. Vi kallar den sista sidan i den stora triangeln för b. Nu kan vi på motsvarande sätt som i förra deluppgiften beräkna motsvarande sida till den okända med Pythagoras sats.

Den sista kateten är 6 le.

Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften och ställer upp en ekvation som innehåller y, med hjälp av likformighet.

Den okända kateten är 5 le.

Två av den mindre triangelns sidor är 4cm och en vinkel är 60^(∘). Två sidor är lika långa vilket betyder att triangeln är likbent. Detta innebär att triangelns okända vinklar måste vara lika stora.

Låt oss kalla de okända vinklarna för v. Triangelns vinkelsumma är 180^(∘) vilket ger oss en ekvation med v.

Samtliga vinklar i den mindre triangeln är alltså 60^(∘) vilket innebär att den är liksidig så även den sista sidan är 4cm. Om den större triangeln är likformig måste den också ha vinklar på 60^(∘) och därmed också vara liksidig.

Vi vet att de två rektanglarna är likformiga, dvs. förhållandet mellan motsvarande sidor ska vara likadant. Vrider vi den lilla rektangeln ser vi tydligare hur kort- och långsidor förhåller sig till varandra.

Vi delar långsidan 12 för den stora rektangeln med långsidan x för den lilla rektangeln och sätter det lika med kortsidan x för den stora rektangeln dividerat med kortsidan 3 för den lilla. 12/x = x/3 Multiplicerar vi båda led med x får vi en vanlig andragradsekvation.

Variabeln x är en längd, så den måste vara positiv, vilket ger x = 6 le.

Skyler har gjort alla uträkningar korrekt, och dessutom svarat med rätt enhet. Felet ligger i hur hon har valt att placera ut sidorna i trianglarna. Det finns inget i uppgiftstexten som talar om vilken sida som motsvarar vilken. Det hade varit lika korrekt att exempelvis rita någon av följande trianglar.

Sidan 14cm i den större triangeln skulle alltså lika gärna kunna motsvara sidan 5 eller 3cm. Vi hade då fått kvoterna 14/5=2,8 eller 14/3 ≈ 4,67. Genom att multiplicera övriga sidor i den mindre triangeln med antingen kvoten 2, 2,8 eller 4,67 får vi tre olika möjliga trianglar.

För att lösa uppgiften helt korrekt hade hon alltså behövt svara med alla möjliga lösningar.

Det går att ställa upp ett uttryck med hjälp av likformighet som beskriver skalan mellan trianglarna. Delar vi basen för den den stora triangeln med basen för den lilla triangel ska vi få ett uttryck som anger hur många gånger större längderna i den stora triangeln är jämfört med de i den lilla: 2x/x/2. Detta uttryck innehåller x i både täljare och nämnare, vilket innebär att det kan förkortas bort.

Den stora triangeln har 4 gånger så långa sidor jämfört med den lilla triangeln. Det innebär att sidan y måste vara en fjärdedel av 124. Vi får alltså y = 124/4 = 31. Sidan y är alltså 31m lång.

För att beräkna kvadratens area måste vi först bestämma sidlängden, som vi kan kalla för x. Sedan undersöker vi om de två mindre gröna trianglarna som bildas är likformiga. För detta krävs att vi kan visa att två vinklar är lika stora.

Vi vet redan att båda har en rät vinkel. Dessutom är vinkeln ∧ EBF är lika stor som ∧ DFC eftersom de är likbelägna vinklar vid de två parallella sträckorna AB och DF. Därmed vet vi att alla motsvarande vinklar är lika i de två trianglarna, vilket ger att de är likformiga.

Vi kan alltså utnyttja likformighet för att ställa upp ett samband mellan deras sidor. Vi delar basen för den stora triangeln med basen för den lilla och sätter detta lika med kvoten för de stående kateterna. Vi får då x/2 = 4/x. Vi korsmultiplicerar.

Nu skulle vi kunna dra roten ur detta för bestämma kvadratens sidlängd till sqrt(8)cm, men egentligen behöver vi inte göra det. Vi söker kvadratens area som ges av sidlängden i kvadrat, alltså x^2. Den vet vi är 8, dvs. kvadratens area är 8cm^2.

Vi börjar med att titta på trianglarna C och D. De ser likadana ut och vi ser att båda har vinklarna 27^(∘) och 30^(∘). Men det räcker ju inte för att vara säkra på att de är kongruenta. Sidan mellan dessa två vinklar är 9 le. i båda trianglarna så de uppfyller villkoret i uppgiftstexten. Vi skriver detta som △ C≅ △ D. På samma sätt ser vi att △ A och △ B är kongruenta eftersom de båda har vinklarna 50^(∘) och 71^(∘) och den mellanliggande sidan 7 le. Är △ E också kongruent med dem? Den har samma vinklar och en av sidlängderna är 7 le. Men det är inte den sida som ligger mellan vinklarna som är samma. Därför kan vi inte säga att △ E är kongruent med de andra trianglarna. Vi har alltså △ A ≅ △ B.

Vi använder ett exempel för att motivera. I figuren syns två vinklar (63^(∘) och 80^(∘)) vid A och B och deras mellanliggande sida, 2 le.

Om man ska skapa en triangel måste man förlänga sidorna vid A och B längs med vinklarna tills de träffar varandra. Oavsett hur långt man drar dem kan de enbart mötas på ett sätt.

Alla trianglar som har två vinklar samt den mellanliggande sidan gemensamt måste alltså vara likadana, och är därmed kongruenta.