Likformighet och kongruens

Det blir enklare att se vilka sidor som motsvarar varandra om man flyttar ut den lilla femhörningen så att vi får två separata figurer.

Om vi sedan roterar den lilla femhörningen så att sidan med längd 2 blir basen får femhörningarna samma orientering.

Vi använder likformigheten för att bestämma de två okända sidorna. Eftersom vi vet båda baserna kan vi använda detta för att ställa upp en ekvation med kvoten mellan sidan 2 och x.

Sidan x är alltså ungefär lika med 1,3 le.

Vi kallar vinkeln vid den närmsta satelliten (S_1) för v. Med hjälp av den stora triangelns vinkelsumma kan vi bestämma vinkeln vid solens yta: 180^(∘)-90^(∘)-v=90^(∘)-v. Vinkeln vid solen är alltså 90^(∘)-v.

Om vi nu tittar på den högra triangeln kan vi ta fram ett uttryck för den sista vinkeln.

Vinkelsumman i en triangel är 180^(∘), så den sista vinkeln i den högra triangeln blir 180^(∘)-90^(∘)-(90^(∘)-v)&=180^(∘)-90^(∘)-90^(∘)+v &=v. Den sista vinkeln är alltså v.

Den vänstra och högra triangeln har båda vinklarna 90^(∘) och v. Det betyder att de är likformiga.

Eftersom trianglarna är likformiga får vi JS/JS_2=JS_2/JS_1. Det är avståndet mellan jorden och solen vi ska beräkna så det är JS vi ska lösa ut. Vi vet också att avståndet mellan jorden och den närmsta satelliten (JS_1) är 320km och avståndet mellan jorden och satelliten längst bort (JS_2) är 220 000km.

Vi använder dessa avstånd för att bestämma JS.

Avståndet mellan solen och jorden är cirka 150 000 000km eller 150 miljoner km.

Vi börjar med att rita hur pappret ser ut efter det har vikts.

Hörnet B har vikts upp till den övre kanten och träffar den i en punkt som vi kan kalla F. Notera att den nedre kanten som är 15cm har flyttas upp och skapat sträckan AF som då också är 15cm. Sträckan DF kallar vi x.

Vi ser att sträckan x är en katet i den rätvinkliga triangeln △ AFD, där vi känner till den andra kateten och hypotenusan. Det betyder att vi kan lösa ut x med Pythagoras sats.

Sidan x är alltså 9cm lång. Eftersom papprets totala längd är 15cm kan vi räkna ut att den resterande sträckan mellan F och C måste vara 15-9 = 6 cm. Nu känner vi till en sida i triangeln △ FCE, och om vi kan visa att den är likformig med triangeln △ AFD kan vi utnyttja detta för att bestämma hypotenusan FE som behövs för att bestämma den grå triangelns area. För att visa likformigheten börjar vi med att undersöka vinklarna vid punkten F. Vi kallar dem u och v.

Tillsammans med den räta vinkeln bildar u och v en rak vinkel. Vi vet att en rak vinkel har vinkelsumman 180^(∘), vilket ger att u kan uttryckas i v som u = 180^(∘) - 90^(∘) - v = 90^(∘) - v. Den sista vinkeln i triangeln △ AFD, som vi kallar w, kan bestämmas med hjälp av att vinkelsumman i en triangel är 180^(∘).

Båda trianglar har alltså vinkeln v och 90^(∘). Då måste även den tredje vinkeln vara lika stor, vilket betyder att trianglarna är likformiga.Vi kan nu utnyttja detta för att bestämma den okända kateten y i den grå triangeln.

Vi använder likformigheten och börjar med att dividera hypotenusan i triangeln △ FCE, y, med hypotenusan i triangeln △ AFD, 15. Detta är lika med kvoten mellan sidan 6 i △ FCE och sidan 12 i △ AFD. Dessa är motsvarande sidor eftersom de båda möter hypotenusan i vinkeln v. Vi får då y/15=6/12. Nu löser vi ut y.

Vi känner nu till båda kateterna i den grå triangeln. Den är rätvinklig, så vi kan beräkna dess area genom att multiplicera kateterna med varandra och dividera med 2: A = 15 * 7,5/2 = 56,25 ≈ 56. Arean av den uppvikta delen är alltså ungefär 56cm^2.