Utforska Likformighet och Kongruens med Likformiga Trianglar

I den stora femhörningen finns en likformig femhörning inskriven. Bestäm den okända sidan $x .$ Svara med en decimal.

Två likformiga femhörningar, varav en är inskriven i den andra

Det blir enklare att se vilka sidor som motsvarar varandra om man flyttar ut den lilla femhörningen så att vi får två separata figurer.

Om vi sedan roterar den lilla femhörningen så att sidan med längd 2 blir basen får femhörningarna samma orientering.

Vi använder likformigheten för att bestämma de två okända sidorna. Eftersom vi vet båda baserna kan vi använda detta för att ställa upp en ekvation med kvoten mellan sidan 2 och x.

Sidan x är alltså ungefär lika med 1,3 le.

Två satelliter, $S_{1}$ och $S_{2},$ kretsar runt jorden i cirkulära banor. Bortser man från månens gravitation kan $S_{1}$ befinna sig i en omloppsbana $320$ km ovanför jordens mitt och $S_{2}$ $220000$ km ovanför mittpunkten. Vid vissa tidpunkter bildas en rät vinkel mellan satelliterna och solens yta.

solen och två satelliter som kretsar runt jorden

Bestäm avståndet mellan solens yta och jorden. Svara i miljoner km och avrunda till två gällande siffror.

Vi kallar vinkeln vid den närmsta satelliten (S_1) för v. Med hjälp av den stora triangelns vinkelsumma kan vi bestämma vinkeln vid solens yta: 180^(∘)-90^(∘)-v=90^(∘)-v. Vinkeln vid solen är alltså 90^(∘)-v.

Om vi nu tittar på den högra triangeln kan vi ta fram ett uttryck för den sista vinkeln.

Vinkelsumman i en triangel är 180^(∘), så den sista vinkeln i den högra triangeln blir 180^(∘)-90^(∘)-(90^(∘)-v)&=180^(∘)-90^(∘)-90^(∘)+v &=v. Den sista vinkeln är alltså v.

Den vänstra och högra triangeln har båda vinklarna 90^(∘) och v. Det betyder att de är likformiga.

Eftersom trianglarna är likformiga får vi JS/JS_2=JS_2/JS_1. Det är avståndet mellan jorden och solen vi ska beräkna så det är JS vi ska lösa ut. Vi vet också att avståndet mellan jorden och den närmsta satelliten (JS_1) är 320 km och avståndet mellan jorden och satelliten längst bort (JS_2) är 220 000 km.

Vi använder dessa avstånd för att bestämma JS.

Avståndet mellan solen och jorden är cirka 150 000 000 km eller 150 miljoner km.

$A B C D$ är ett vitt rektangelformat pappersark med grå baksida (se övre figuren). Arket viks så att vikningslinjen går genom hörnet $A$ och så att hörnet $B$ hamnar på sidan $C D$ (se undre figuren).

Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket. Beräkningar som bygger på uppmätta värden godtas ej. Avrunda till hela cm $^{2} .$

Nationella provet HT00 MaB

Vi börjar med att rita hur pappret ser ut efter det har vikts.

Hörnet B har vikts upp till den övre kanten och träffar den i en punkt som vi kan kalla F. Notera att den nedre kanten som är 15 cm har flyttas upp och skapat sträckan AF som då också är 15 cm. Sträckan DF kallar vi x.

Vi ser att sträckan x är en katet i den rätvinkliga triangeln △ AFD, där vi känner till den andra kateten och hypotenusan. Det betyder att vi kan lösa ut x med Pythagoras sats.

Sidan x är alltså 9 cm lång. Eftersom papprets totala längd är 15 cm kan vi räkna ut att den resterande sträckan mellan F och C måste vara 15-9 = 6 cm. Nu känner vi till en sida i triangeln △ FCE, och om vi kan visa att den är likformig med triangeln △ AFD kan vi utnyttja detta för att bestämma hypotenusan FE som behövs för att bestämma den grå triangelns area. För att visa likformigheten börjar vi med att undersöka vinklarna vid punkten F. Vi kallar dem u och v.

Tillsammans med den räta vinkeln bildar u och v en rak vinkel. Vi vet att en rak vinkel har vinkelsumman 180^(∘), vilket ger att u kan uttryckas i v som u = 180^(∘) - 90^(∘) - v = 90^(∘) - v. Den sista vinkeln i triangeln △ AFD, som vi kallar w, kan bestämmas med hjälp av att vinkelsumman i en triangel är 180^(∘).

Båda trianglar har alltså vinkeln v och 90^(∘). Då måste även den tredje vinkeln vara lika stor, vilket betyder att trianglarna är likformiga.Vi kan nu utnyttja detta för att bestämma den okända kateten y i den grå triangeln.

Vi använder likformigheten och börjar med att dividera hypotenusan i triangeln △ FCE, y, med hypotenusan i triangeln △ AFD, 15. Detta är lika med kvoten mellan sidan 6 i △ FCE och sidan 12 i △ AFD. Dessa är motsvarande sidor eftersom de båda möter hypotenusan i vinkeln v. Vi får då y/15=6/12. Nu löser vi ut y.

Vi känner nu till båda kateterna i den grå triangeln. Den är rätvinklig, så vi kan beräkna dess area genom att multiplicera kateterna med varandra och dividera med 2: A = 15 * 7,5/2 = 56,25 ≈ 56. Arean av den uppvikta delen är alltså ungefär 56cm^2.

För att avgöra om två trianglar är kongruenta behöver man inte undersöka alla sidor och alla vinklar. Exempelvis är två trianglar alltid kongruenta om två vinklar och den sida som ligger mellan dem är samma. Det betyder att den blå och gröna triangeln är kongruenta eftersom de har båda vinklarna $7 3^{\circ}$ och $5 2^{\circ}$ samt den mellanliggande sidan $4 .$

Med hjälp av denna information, avgör vilka av följande trianglar som är kongruenta.

Motivera varför denna information räcker för att avgöra om trianglar är kongruenta.

Vi börjar med att titta på trianglarna C och D. De ser likadana ut och vi ser att båda har vinklarna 27^(∘) och 30^(∘). Men det räcker ju inte för att vara säkra på att de är kongruenta. Sidan mellan dessa två vinklar är 9 le. i båda trianglarna så de uppfyller villkoret i uppgiftstexten. Vi skriver detta som △ C≅ △ D. På samma sätt ser vi att △ A och △ B är kongruenta eftersom de båda har vinklarna 50^(∘) och 71^(∘) och den mellanliggande sidan 7 le. Är △ E också kongruent med dem? Den har samma vinklar och en av sidlängderna är 7 le. Men det är inte den sida som ligger mellan vinklarna som är samma. Därför kan vi inte säga att △ E är kongruent med de andra trianglarna. Vi har alltså △ A ≅ △ B.

Vi använder ett exempel för att motivera. I figuren syns två vinklar (63^(∘) och 80^(∘)) vid A och B och deras mellanliggande sida, 2 le.

Om man ska skapa en triangel måste man förlänga sidorna vid A och B längs med vinklarna tills de träffar varandra. Oavsett hur långt man drar dem kan de enbart mötas på ett sätt.

Alla trianglar som har två vinklar samt den mellanliggande sidan gemensamt måste alltså vara likadana, och är därmed kongruenta.

Likformighet och kongruens

Förkunskaper

Likformighet

Likformiga trianglar

Kongruens

Bestäm de okända sidorna med likformighet

Ledtråd

Lösning

Att hitta den saknade sidan i en liknande triangel

Sammanfattning

Likformighet och kongruens

Rekommenderade uppgifter

	7 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.