Likformighet och kongruens

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Likformighet

Två geometriska figurer med samma form men inte nödvändigtvis samma storlek kallas likformiga. Om två figurer är likformiga gäller följande.

  • Motsvarande vinklar i figurerna är lika stora.
  • Kvoten, dvs. förhållandet, mellan två motsvarande sidor i figurerna är lika stor för alla sidor.

Med "motsvarande" menas vinklar och sidor som har samma relativa placering i figurerna, t.ex. hypotenusan i två likformiga rätvinkliga trianglar.

Två likformiga trianglar

Notation

Likformighet: \sim
Regel

Likformiga trianglar

För att avgöra om två trianglar är likformiga räcker det med att undersöka om två par av motsvarande vinklar är likadana. Om detta gäller måste även vinklarna i det tredje paret vara lika stora eftersom vinkelsumman är 180180^\circ i alla trianglar.

Två likformiga trianglar
För tre givna vinklar går det bara att rita upp en typ av triangel, vilket innebär att förhållandet mellan de motsvarande sidorna måste vara likadant. Delar man sidorna i en av trianglarna med motsvarande sidor i den andra triangel får man alltså en konstant kvot.

ABDE=BCEF=ACDF\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}

Uppgift

Figurerna är likformiga med längder angivna i meter. Bestäm de okända sidorna xx och y.y.

två likformiga fyrhörningar
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Kongruens

Om två geometriska figurer både är likformiga och har samma storlek, dvs. är kopior av varandra, säger man att de är kongruenta. Så länge dessa krav är uppfyllda spelar det ingen roll hur de är ritade, vilket innebär att även spegelvända och roterade figurer kan vara kongruenta med varandra.

Tre kongruenta fyrhörningar

Trots att den blå figuren är spegelvänd och den röda har roterats jämfört med den gröna är de alltså alla kongruenta med varandra.

Notation

Kongruens: \cong


Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet att trianglarna är likformiga, bestäm de okända sidorna.

a
Två likformiga trianglar
b
Två likformiga trianglar
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Trianglarna nedan är likformiga. Bestäm de okända sidorna. Observera att figurerna inte är skalenliga.

a
likformiga trianglar
b
likformiga trianglar
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figurerna nedan är likformiga. Bestäm de okända sidorna. Figurerna är inte skalenliga.

a
likformiga trianglar
b
likformiga fyrhörningar
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange motsvarande sidor i de likformiga figurerna.

a
Två likformiga blå fyrhörningar
b
två likformiga gröna femhörningar
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet att figurerna är likformiga, bestäm de okända sidorna.

a
Två likformiga rektanglar
b
Två likformiga femhörningar
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om femhörningarna är likformiga.

två fyrhörningar som inte är likformiga
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Noppe ska bygga en pool på en del av sin tomt. Han vill väldigt gärna att poolen ska vara likformig med den delen av tomten så att det ser fint ut när han flyger över den i sin helikopter.

Bestäm de okända sidorna på poolen om den större fyrhörningen har 2.52.5 gånger så långa sidor.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Trianglarna är kongruenta. Bestäm sidorna xx, yy och zz samt vinklarna uu, vv och ww.

kongruenta trianglar
1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken eller vilka av figurerna ACA-C är kongruenta med den gröna parallellogrammen? Motivera ditt svar.

Fyra fyrhörningar
1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två likformiga rektanglar har olika mått. Rektangel AA har sidorna 44 cm och 66 cm. Rektangel BB har en sida som är 1212 cm. Vilka mått kan den andra sidan hos rektangel BB ha?

Nationella provet VT12 2b/2c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Trianglarna är likformiga. Bestäm sidorna xx och yy.


a
Två likformiga rätvinkliga trianglar
b
Två likformiga rätvinkliga trianglar
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande trianglar är likformiga. Bestäm okända vinklar och sidor i båda trianglar. Längderna är angivna i cm.

två likformiga och liksidiga trianglar med sidorna 4 respektive 5
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm xx om de två rektanglarna är likformiga.

Två likformiga rektanglar
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skyler ska lösa följande uppgift: "En triangel med sidorna 7,7, 55 och 33 cm är likformig med en annan triangel som har sidorna 14,14, xx och yy cm. Vad kan xx och yy vara?" Hon har löst uppgiften på följande vis.

Rutat papper med uträkningar om likformighet

Hennes lärare säger att hon inte har löst uppgiften helt korrekt. Vad har Skyler gjort för fel?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Trianglarna i figuren är likformiga. Bestäm yy.

Två likformiga trianglar där ena triangeln är 4 gånger så stor
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en rätvinklig triangel ABCABC finns en grå kvadrat AEFDAEFD inritad. Sträckan BEBE är 44 cm och sträckan CDCD är 22 cm. Se figur.

Rätvinklig triangel med inskriven kvadrat

Visa att den grå kvadratens area är 88 cm2.^2.

Nationella provet VT15 2b/2c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I den stora femhörningen finns en likformig femhörning inskriven. Bestäm de okända sidorna xx och y.y.

Två likformiga femhörningar, varav en är inskriven i den andra
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två satelliter, S1S_1 och S2,S_2, kretsar runt jorden i cirkulära banor. Bortser man från månens gravitation kan S1S_1 befinna sig i en omloppsbana 320320 km ovanför jordens mitt och S2S_2 220000220\,000 km ovanför mittpunkten. Vid vissa tidpunkter bildas en rät vinkel mellan satelliterna och solens yta.

solen och två satelliter som kretsar runt jorden

Bestäm avståndet mellan solens yta och jorden.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

ABCDABCD är ett vitt rektangelformat pappersark med grå baksida (se övre figuren). Arket viks så att vikningslinjen går genom hörnet AA och så att hörnet BB hamnar på sidan CDCD (se undre figuren).

Figur från uppgift 18 NP MaB 00


NP-papper.svg

Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket. Beräkningar som bygger på uppmätta värden godtas ej.

Nationella provet HT00 MaB
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För att avgöra om två trianglar är kongruenta behöver man inte undersöka alla sidor och alla vinklar. Exempelvis är två trianglar alltid kongruenta om två vinklar och den sida som ligger mellan dem är samma. Det betyder att den blå och gröna triangeln är kongruenta eftersom de har båda vinklarna 7373^\circ och 5252^\circ samt den mellanliggande sidan 4.4.

Kongruenta trianglar enligt VSV-fallet
a

Med hjälp av denna information, avgör vilka av följande trianglar som är kongruenta.

b

Motivera varför denna information räcker för att avgöra om trianglar är kongruenta.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}