Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata

Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

Vi sätter nu derivatan lika med $0$ och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi $x$-värdena till funktionens stationära punkter.

Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut $x^2.$

Lösningarna till $f^{\prime }(x)=0$ är alltså $x=0$ och $x=3.75$, och det är för dessa $x$-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.

Vi sätter nu in $x$-värdena $0$ och $3.75$ för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.

När $x=0$ är alltså andraderivatan $0.$ Vi räknar sedan ut andraderivatan för $x=3.75.$

Andraderivatan är alltså negativ när $x=3.75,$ vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När $x=0$ är andraderivatan istället $0,$ och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt $x=0.$ Vi väljer ett $x$-värde som är lägre än $0,$ t.ex. $\text{-}1,$ och ett som ligger mellan $x=0$ och $x=3.75,$ t.ex. $1$ och undersöker derivatans tecken för dem.

Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där $x$ är $0,$ och kan sammanställa detta i en teckentabell.

Funktionen har alltså en terrasspunkt där $x$ är $0.$ Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i $x=3.75.$ För att bestämma $y$-värdet sätter vi in $x=3.75$ i funktionen $f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3.$

Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna $(3.75,29.37).$