Logga in
Beräkna f'(x) och hitta dess nollställen. Utvärdera sedan nollställena i den andra derivatan och analysera tecknet på resultaten. Använd en teckentabell om det behövs.
Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.
Derivera funktion
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
D(a) = 0
Vi sätter nu derivatan lika med 0 och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi x-värdena till funktionens stationära punkter.
Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut x^2.
Dela upp i faktorer
Bryt ut x^2
Använd nollproduktmetoden
(I): sqrt(VL)=sqrt(HL)
(I): Förenkla rot & termer
(II): VL-6=HL-6
(II): .VL /(-1,6).=.HL /(-1,6).
(II): Slå in på räknare
Lösningarna till f'(x)=0 är alltså x=0 och x=3,75, och det är för dessa x-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.
Derivera funktion
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
Vi sätter nu in x-värdena 0 och 3,75 för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.
x= 0
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
När x=0 är alltså andraderivatan 0. Vi räknar sedan ut andraderivatan för x=3,75.
x= 3,75
Slå in på räknare
Andraderivatan är alltså negativ när x=3,75, vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När x=0 är andraderivatan istället 0, och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt x=0. Vi väljer ett x-värde som är lägre än 0, t.ex. -1, och ett som ligger mellan x = 0 och x = 3,75, t.ex. 1 och undersöker derivatans tecken för dem.
| x | f'(x) | = | Tecken |
|---|---|---|---|
| -1 | -1,6*( -1)^3+6*( -1)^2 | 7,6 | + |
| 1 | -1,6 * 1^3+6 * 1^2 | 4,4 | + |
Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där x är 0, och kan sammanställa detta i en teckentabell.
| x | 0 | ||
|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | + |
| f(x) | ↗ | Ter. | ↗ |
Funktionen har alltså en terrasspunkt där x är 0. Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i x=3,75. För att bestämma y-värdet sätter vi in x = 3,75 i funktionen f(x)=-0,4x^4+2x^3+3.
x= 3,75
Slå in på räknare
Avrunda till 21tiondelar 22hundradelar 23tusendelar 24tiotusendelar 25hundratusendelar 26miljontedelar 27hundramiljontedelar 28miljardtedelar
Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna (3,75;29,37).
TEST