Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata

Uppgift

Bestäm extrempunkterna till funktionen $f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3$ med hjälp av dess första- och andraderivata.

Lösning

Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3

Derivera funktion

f'(x)=D(\text{-}0.4x^4)+D(2x^3)+D(3)

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2+D(3)

D(a) = 0

f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2

Vi sätter nu derivatan lika med $0$ och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi $x$ -värdena till funktionens stationära punkter.

f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2

f'(x)={\color{#0000FF}{0}}

{\color{#0000FF}{0}}=\text{-}1.6x^3+6x^2

Omarrangera ekvation

\text{-}1.6x^3+6x^2=0

Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut $x^2.$

\text{-}1.6x^3+6x^2=0

Dela upp i faktorer

x^2(\text{-}1.6x)+x^2\cdot 6=0

Bryt ut

x^2

x^2\left(\text{-}1.6x+6\right)=0

Använd nollproduktmetoden

\begin{array}{lc}x^2=0 & \text{(I)}\\ \text{-}1.6x+6=0 & \text{(II)}\end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

\begin{array}{l}x=\pm\sqrt{0} \\ \text{-}1.6x+6=0 \end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

Förenkla rot & termer

\begin{array}{l}x=0 \\ \text{-}1.6x+6=0 \end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\text{VL}-6=\text{HL}-6

\begin{array}{l}x=0 \\ \text{-}1.6x=\text{-}6 \end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\left.\text{VL}\middle/(\text{-}1.6)\right.=\left.\text{HL}\middle/(\text{-}1.6)\right.

\begin{array}{l}x=0 \\ x=\dfrac{\text{-}6}{\text{-}1.6} \end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

Slå in på räknare

\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=3.75 \end{array}

Lösningarna till $f'(x)=0$ är alltså $x=0$ och $x=3.75$ , och det är för dessa $x$ -värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.

f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2

Derivera funktion

f''(x)=D(\text{-}1.6x^3)+D(6x^2)

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

f''(x)=\text{-}4.8x^2+12x

Vi sätter nu in $x$ -värdena $0$ och $3.75$ för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.

f''(x)=\text{-}4.8x^2+12x

x={\color{#0000FF}{0}}

f''({\color{#0000FF}{0}})=\text{-}4.8\cdot {\color{#0000FF}{0}}^2+12\cdot {\color{#0000FF}{0}}

Beräkna potens

f''(x)=\text{-}4.8\cdot 0+12\cdot 0

Multiplicera faktorer

f''(x)=0

När $x=0$ är alltså andraderivatan $0.$ Vi räknar sedan ut andraderivatan för $x=3.75.$

f''(x)=\text{-}4.8x^2+12x

x={\color{#0000FF}{3.75}}

f''({\color{#0000FF}{3.75}})=\text{-}4.8\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}^2+12\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}

Slå in på räknare

f''(3.75)=\text{-}22.5

Andraderivatan är alltså negativ när $x=3.75,$ vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När $x=0$ är andraderivatan istället $0,$ och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt $x=0.$ Vi väljer ett $x$ -värde som är lägre än $0,$ t.ex. $\text{-}1,$ och ett som ligger mellan $x = 0$ och $x = 3.75,$ t.ex. $1$ och undersöker derivatans tecken för dem.

$x$	$f'(x)$	$=$	Tecken
${\color{#0000FF}{\text{-}1}}$	$\text{-}1.6\cdot({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^3+6\cdot({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2$	$7.6$	$+$
${\color{#0000FF}{1}}$	$\text{-}1.6 \cdot {\color{#0000FF}{1}}^3+6 \cdot {\color{#0000FF}{1}}^2$	$4.4$	$+$

Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där $x$ är $0,$ och kan sammanställa detta i en teckentabell.

$x$		$0$
$f'(x)$	$+$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	Ter.	$\nearrow$

Funktionen har alltså en terrasspunkt där $x$ är $0.$ Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i $x=3.75.$ För att bestämma $y$ -värdet sätter vi in $x = 3.75$ i funktionen $f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3.$

f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3

x={\color{#0000FF}{3.75}}

f({\color{#0000FF}{3.75}})=\text{-}0.4\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}^4+2\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}^3+3

Slå in på räknare

f(3.75)=29.3671875

Avrunda till

2

f(3.75)\approx 29.37

Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna $(3.75,29.37).$

Visa lösning

Videohandledningar

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

Formelsamling

Kurs 1

Kurs 2

Kurs 3

Kurs 4

Kurs 5

Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata

Exempel

Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata