{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata
tune
{{ topic.label }}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Exempel

Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata

fullscreen

Bestäm extrempunkterna till funktionen f(x)=-0.4x4+2x3+3 med hjälp av dess första- och andraderivata.

Visa Lösning expand_more

Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

f(x)=-0.4x4+2x3+3

Vi sätter nu derivatan lika med 0 och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi x-värdena till funktionens stationära punkter.

0=-1.6x3+6x2
-1.6x3+6x2=0

Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut x2.

-1.6x3+6x2=0
x2(-1.6x)+x26=0

Lösningarna till är alltså x=0 och x=3.75, och det är för dessa x-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.

Vi sätter nu in x-värdena 0 och 3.75 för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.

När x=0 är alltså andraderivatan 0. Vi räknar sedan ut andraderivatan för x=3.75.

Andraderivatan är alltså negativ när x=3.75, vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När x=0 är andraderivatan istället 0, och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt x=0. Vi väljer ett x-värde som är lägre än 0, t.ex. -1, och ett som ligger mellan x=0 och x=3.75, t.ex. 1 och undersöker derivatans tecken för dem.

x = Tecken
-1 -1.6(-1)3+6(-1)2 7.6 +
1 -1.613+612 4.4 +

Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där x är 0, och kan sammanställa detta i en teckentabell.

x 0
+ 0 +
f(x) Ter.

Funktionen har alltså en terrasspunkt där x är 0. Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i x=3.75. För att bestämma y-värdet sätter vi in x=3.75 i funktionen f(x)=-0.4x4+2x3+3.

f(x)=-0.4x4+2x3+3
f(3.75)=-0.43.754+23.753+3
f(3.75)=29.3671875

Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna (3.75,29.37).

close
Community