Logga in
Beräkna f′(x) och hitta dess nollställen. Utvärdera sedan nollställena i den andra derivatan och analysera tecknet på resultaten. Använd en teckentabell om det behövs.
Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
D(a)=0
Vi sätter nu derivatan lika med 0 och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi x-värdena till funktionens stationära punkter.
Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut x2.
Dela upp i faktorer
Bryt ut x2
Använd nollproduktmetoden
(I): VL=HL
(I): Förenkla rot & termer
(II): VL−6=HL−6
(II): VL/(−1,6)=HL/(−1,6)
(II): Slå in på räknare
Lösningarna till f′(x)=0 är alltså x=0 och x=3,75, och det är för dessa x-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
Vi sätter nu in x-värdena 0 och 3,75 för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.
x=0
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
När x=0 är alltså andraderivatan 0. Vi räknar sedan ut andraderivatan för x=3,75.
x=3,75
Slå in på räknare
Andraderivatan är alltså negativ när x=3,75, vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När x=0 är andraderivatan istället 0, och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt x=0. Vi väljer ett x-värde som är lägre än 0, t.ex. −1, och ett som ligger mellan x=0 och x=3,75, t.ex. 1 och undersöker derivatans tecken för dem.
x | f′(x) | = | Tecken |
---|---|---|---|
−1 | −1,6⋅(−1)3+6⋅(−1)2 | 7,6 | + |
1 | −1,6⋅13+6⋅12 | 4,4 | + |
Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där x är 0, och kan sammanställa detta i en teckentabell.
x | 0 | ||
---|---|---|---|
f′(x) | + | 0 | + |
f(x) | ↗ | Ter. | ↗ |
Funktionen har alltså en terrasspunkt där x är 0. Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i x=3,75. För att bestämma y-värdet sätter vi in x=3,75 i funktionen f(x)=−0,4x4+2x3+3.
x=3,75
Slå in på räknare
Avrunda till 2 decimal(er)
Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna (3,75;29,37).