Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut x2.
-1.6x3+6x2=0
Dela upp i faktorer
x2(-1.6x)+x2⋅6=0
Bryt ut x2
x2(-1.6x+6)=0
Använd nollproduktmetoden
x2=0-1.6x+6=0(I)(II)
(I): VL=HL
x=±0-1.6x+6=0
(I): Förenkla rot & termer
x=0-1.6x+6=0
(II): VL−6=HL−6
x=0-1.6x=-6
(II): VL/(-1.6)=HL/(-1.6)
x=0x=-1.6-6
(II): Slå in på räknare
x1=0x2=3.75
Lösningarna till f′(x)=0 är alltså x=0 och x=3.75, och det är för dessa x-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.
f′(x)=-1.6x3+6x2
Derivera funktion
f′′(x)=D(-1.6x3)+D(6x2)
D(axn)=a⋅nxn−1
f′′(x)=-4.8x2+12x
Vi sätter nu in x-värdena 0 och 3.75 för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.
f′′(x)=-4.8x2+12x
x=0
f′′(0)=-4.8⋅02+12⋅0
Beräkna potens
f′′(x)=-4.8⋅0+12⋅0
Multiplicera faktorer
f′′(x)=0
När x=0 är alltså andraderivatan 0. Vi räknar sedan ut andraderivatan för x=3.75.
f′′(x)=-4.8x2+12x
x=3.75
f′′(3.75)=-4.8⋅3.752+12⋅3.75
Slå in på räknare
f′′(3.75)=-22.5
Andraderivatan är alltså negativ när x=3.75, vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När x=0 är andraderivatan istället 0, och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt x=0. Vi väljer ett x-värde som är lägre än 0, t.ex. -1, och ett som ligger mellan x=0 och x=3.75, t.ex. 1 och undersöker derivatans tecken för dem.
x
f′(x)
=
Tecken
-1
-1.6⋅(-1)3+6⋅(-1)2
7.6
+
1
-1.6⋅13+6⋅12
4.4
+
Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där x är 0, och kan sammanställa detta i en teckentabell.
x
0
f′(x)
+
0
+
f(x)
↗
Ter.
↗
Funktionen har alltså en terrasspunkt där x är 0. Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i x=3.75. För att bestämma y-värdet sätter vi in x=3.75 i funktionen f(x)=-0.4x4+2x3+3.
f(x)=-0.4x4+2x3+3
x=3.75
f(3.75)=-0.4⋅3.754+2⋅3.753+3
Slå in på räknare
f(3.75)=29.3671875
Avrunda till 2
f(3.75)≈29.37
Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna (3.75,29.37).