Exempel

Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata

Uppgift

Bestäm extrempunkterna till funktionen $f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3$ med hjälp av dess första- och andraderivata.

Lösning

Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

$f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3$

Derivera funktion

$f'(x)=D(\text{-}0.4x^4)+D(2x^3)+D(3)$

$D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}$

$f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2+D(3)$

$D(a) = 0$

$f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2$

Vi sätter nu derivatan lika med $0$ och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi $x$-värdena till funktionens stationära punkter.

$f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2$

$f'(x)={\color{#0000FF}{0}}$

${\color{#0000FF}{0}}=\text{-}1.6x^3+6x^2$

Omarrangera ekvation

$\text{-}1.6x^3+6x^2=0$

Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut $x^2.$

$\text{-}1.6x^3+6x^2=0$

Dela upp i faktorer

$x^2(\text{-}1.6x)+x^2\cdot 6=0$

Bryt ut $x^2$

$x^2\left(\text{-}1.6x+6\right)=0$

Använd nollproduktmetoden

$\begin{array}{lc}x^2=0 & \text{(I)}\\ \text{-}1.6x+6=0 & \text{(II)}\end{array}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}$ $\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}$

$\begin{array}{l}x=\pm\sqrt{0} \\ \text{-}1.6x+6=0 \end{array}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}$ Förenkla rot & termer

$\begin{array}{l}x=0 \\ \text{-}1.6x+6=0 \end{array}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}$ $\text{VL}-6=\text{HL}-6$

$\begin{array}{l}x=0 \\ \text{-}1.6x=\text{-}6 \end{array}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}$ $\left.\text{VL}\middle/(\text{-}1.6)\right.=\left.\text{HL}\middle/(\text{-}1.6)\right.$

$\begin{array}{l}x=0 \\ x=\dfrac{\text{-}6}{\text{-}1.6} \end{array}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}$ Slå in på räknare

$\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=3.75 \end{array}$

Lösningarna till $f'(x)=0$ är alltså $x=0$ och $x=3.75$, och det är för dessa $x$-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.

$f'(x)=\text{-}1.6x^3+6x^2$

Derivera funktion

$f''(x)=D(\text{-}1.6x^3)+D(6x^2)$

$D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}$

$f''(x)=\text{-}4.8x^2+12x$

Vi sätter nu in $x$-värdena $0$ och $3.75$ för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.

$f''(x)=\text{-}4.8x^2+12x$

$x={\color{#0000FF}{0}}$

$f''({\color{#0000FF}{0}})=\text{-}4.8\cdot {\color{#0000FF}{0}}^2+12\cdot {\color{#0000FF}{0}}$

Beräkna potens

$f''(x)=\text{-}4.8\cdot 0+12\cdot 0$

Multiplicera faktorer

$f''(x)=0$

När $x=0$ är alltså andraderivatan $0.$ Vi räknar sedan ut andraderivatan för $x=3.75.$

$f''(x)=\text{-}4.8x^2+12x$

$x={\color{#0000FF}{3.75}}$

$f''({\color{#0000FF}{3.75}})=\text{-}4.8\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}^2+12\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}$

Slå in på räknare

$f''(3.75)=\text{-}22.5$

Andraderivatan är alltså negativ när $x=3.75,$ vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När $x=0$ är andraderivatan istället $0,$ och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt $x=0.$ Vi väljer ett $x$-värde som är lägre än $0,$ t.ex. $\text{-}1,$ och ett som ligger mellan $x = 0$ och $x = 3.75,$ t.ex. $1$ och undersöker derivatans tecken för dem.

$x$	$f'(x)$	$=$	Tecken
${\color{#0000FF}{\text{-}1}}$	$\text{-}1.6\cdot({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^3+6\cdot({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2$	$7.6$	$+$
${\color{#0000FF}{1}}$	$\text{-}1.6 \cdot {\color{#0000FF}{1}}^3+6 \cdot {\color{#0000FF}{1}}^2$	$4.4$	$+$

Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där $x$ är $0,$ och kan sammanställa detta i en teckentabell.

$x$		$0$
$f'(x)$	$+$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	Ter.	$\nearrow$

Funktionen har alltså en terrasspunkt där $x$ är $0.$ Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i $x=3.75.$ För att bestämma $y$-värdet sätter vi in $x = 3.75$ i funktionen $f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3.$

$f(x)=\text{-}0.4x^4+2x^3+3$

$x={\color{#0000FF}{3.75}}$

$f({\color{#0000FF}{3.75}})=\text{-}0.4\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}^4+2\cdot {\color{#0000FF}{3.75}}^3+3$

Slå in på räknare

$f(3.75)=29.3671875$

Avrunda till $2$ ${\textstyle \ifnumequal{2}{1}{\text{decimal}}{\text{decimaler}}}$

$f(3.75)\approx 29.37$

Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna $(3.75,29.37).$

Visa lösning Visa lösning