mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open

Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata


fullscreen
Uppgift

Bestäm extrempunkterna till funktionen med hjälp av dess första- och andraderivata.

Visa Lösning
Lösning

Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

Vi sätter nu derivatan lika med och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi -värdena till funktionens stationära punkter.

Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut

Lösningarna till är alltså och , och det är för dessa -värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.

Vi sätter nu in -värdena och för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.

När är alltså andraderivatan Vi räknar sedan ut andraderivatan för

Andraderivatan är alltså negativ när vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När är andraderivatan istället och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt Vi väljer ett -värde som är lägre än t.ex. och ett som ligger mellan och t.ex. och undersöker derivatans tecken för dem.

Tecken

Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där är och kan sammanställa detta i en teckentabell.

Ter.

Funktionen har alltså en terrasspunkt där är Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i För att bestämma -värdet sätter vi in i funktionen

Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna