8. Formler för dubbla vinkeln
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
8.
Formler för dubbla vinkeln
Formler för dubbla vinkeln är en del av trigonometri och handlar om vad som händer med sinus- och cosinusvärdena när en vinkel dubbleras. Det är inte så enkelt att värdena också dubbleras, men det går att hitta den dubblerade vinkelns sinus- och cosinusvärden. Dessa formler är användbara för att förenkla och lösa olika matematiska problem och ekvationer. De hjälper till att förstå sambandet mellan olika trigonometriska funktioner och hur de förändras när vinklarna de representerar förändras.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Formler för dubbla vinkeln
Sida av 5
Vad händer med sinus- och cosinusvärdena när en vinkel dubbleras? Kommer värdena också dubbleras? En titt bland standardvinklarna visar att det inte är riktigt så enkelt, men det går ändå att hitta den dubblerade vinkelns sinus- och cosinusvärden med hjälp av sin(v) och cos(v).
Bevis
Sinus för dubbla vinkeln
Sinusvärdet av dubbla vinkeln 2v kan delas upp som dubbla produkten av vinkelns sinus- och cosinusvärden.
Bevis
sin(2v)=2sin(v)cos(v)Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om produkten 2v som additionen v+v.
Ordningen spelar ingen roll när man multiplicerar tal, så
cos(v)sin(v) är samma sak som sin(v)cos(v).
De två termerna är därför samma och kan läggas ihop, på samma sätt som x+x förenklas till 2x.
Sinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas som
sin(2v)=2sin(v)cos(v).
sin(2v)
ProdToSumTwoTerms
2a=a+a
sin(v+v)
SinAdd
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
sin(v)cos(v) + cos(v)sin(v)
sin(v)cos(v) + cos(v)sin(v)
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
sin(v)cos(v) + sin(v)cos(v)
SumToProdTwoTerms
a+a=2a
2sin(v)cos(v)
Q.E.D.
Exempel
Beräkna dubbla vinkelns sinusvärde
En vinkel v har sinusvärdet 0.8 och cosinusvärdet 0.6. Utan att räkna ut vinkeln, bestäm sinusvärdet av 2v.
Visa Lösning expand_more
Sinus för dubbla vinkeln kan beräknas med formeln
sin(2v) = 2sin(v)cos(v).
Man använder alltså sin(v) och cos(v). Dessa är givna i uppgiften:
sin(v) &= 0.8 cos(v) &= 0.6.
Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna sin(2v).
Dubbla vinkelns sinusvärde är i det här fallet 0.96.
sin(2v) = 2sin(v)cos(v)
SubstituteII
sin(v)= 0.8 och cos(v)= 0.6
sin(2v) = 2* 0.8* 0.6
Multiply
Multiplicera faktorer
sin(2v) = 0.96
Bevis
Cosinus för dubbla vinkeln
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln 2v kan delas upp som differensen mellan cos^2(v) och sin^2(v).
Bevis
cos(2v)=cos^2(v)-sin^2(v)Beviset för detta utgår från additionsformeln för cosinus. Den kan användas om man först skriver om produkten 2v som additionen v+v.
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas om som
$cos(2v)=cos^2(v)-sin^2(v)$.
cos(2v)
ProdToSumTwoTerms
2a=a+a
cos(v+v)
CosAdd
cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v)
cos(v)cos(v) - sin(v)sin(v)
ProdToPowTwoFac
a* a=a^2
cos^2(v) - sin^2(v)
Q.E.D.
cos(2v)=1- 2sin^2(v)
cos(2v)=2cos^2(v)-1
Exempel
Förenkla med dubbla vinkeln
Visa att
sin(v)cos(v)/cos^2(v)-sin^2(v) = tan(2v)/2
genom att förenkla vänsterledet.
Visa Lösning expand_more
Nämnaren i vänsterledet matchar precis uttrycket i formeln för cosinus av dubbla vinkeln:
$cos(2v)=cos^2(v)-sin^2(v)$.
Regeln kan därför användas "baklänges" för att byta ut nämnaren mot det mer kompakta uttrycket cos(2v).
Täljaren kan också skrivas om. Notera att den nästan matchar uttrycket som används i formeln för sinus av dubbla vinkeln:
$sin(2v)=2sin(v)cos(v)$.
För att matchningen ska stämma helt överens förlänger vi bråket med 2.
Nu innehåller uttrycket sinus delat på cosinus. Kom ihåg definitionen av tangens:
$tan(v)=sin(v)/cos(v)$.
I det här fallet är det 2v istället för v, men så länge sinus och cosinus använder samma vinkel fungerar omvandlingen. Vinkeln kommer då vara 2v även för tangens.
Alltså är
sin(v)cos(v)/cos^2(v)-sin^2(v) = tan(2v)/2.
sin(v)cos(v)/cos(2v)
ExpandFrac
Förläng med 2
2sin(v)cos(v)/2cos(2v)
SinDoubleAngleRev
2sin(v)cos(v)=sin(2v)
sin(2v)/2cos(2v)
Q.E.D.
Formler för dubbla vinkeln
Övningar
Stämmer det att
cos(2v) + sin^2(v) = cos^2(v)?
Motivera!
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
För att undersöka om en likhet gäller vill vi att det ska stå samma sak på båda sidor om likhetstecknet. I vänsterled har vi cos(2v) vilket vi kan skriva om med cosinus för dubbla vinkeln.
Det som blir kvar i vänsterledet är cos^2(v) vilket är det som står i högerledet. Vi har därmed visat att likheten gäller.
security
report
code
Stämmer det att
2sin(x)=sin(2x)/cos(x)?
Motivera!
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Det finns olika sätt att undersöka om likheten gäller. Vi väljer att försöka omvandla högerledet till vänsterledet, genom att utveckla sin(2x) med sinus för dubbla vinkeln.
Nu har vi skrivit om högerledet till 2sin(x) vilket är samma sak som står i vänsterledet. Vi har visat att likheten stämmer.
security
report
code
Man vet att sin(v) = 0.4 och vinkeln v ligger i första kvadranten.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"cos(v)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{0.84}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"sin(2v)=","formTextAfter":" ","answer":{"text":["0.8\\sqrt{0.84}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att sin(v) = 0.4 och för att bestämma cos(v) kan vi använda oss av trigonometriska ettan.
Vi vet att sin(v)=0.4 och ser nu att cos(v) kan vara antingen sqrt(0.84) eller - sqrt(0.84). Eftersom sinus motsvarar ett y-värde i enhetscirkeln medan cosinus motsvarar ett x-värde måste vinkeln v peka på någon av de markerade punkterna.
Men vinkeln ska ligga i första kvadranten, så den enda möjliga punkten är den högra. Därför måste cosinusvärdet vara cos(v) = sqrt(0.84).
Uttrycket sin(2v) kan vi skriva om med sinus för dubbla vinkeln och sedan använda värdena för sin(v) och cos(v) som vi vet.
Värdet av sin(2v) är alltså 0.8 * sqrt(0.84).
security
report
code
Lös ekvationen och svara i radianer. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"v"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\dfrac{\\pi}{2}+n*2*\\pi"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"v"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0.26 + n*\\pi","1.31 + n*\\pi"]}}
security
report
code
security
report
code
Högerledet kan vi skriva om med trigonometriska ettan. sin(v) = sin^2(v) + cos^2(v) ⇔ sin(v) = 1 Vi får då ekvationen sin(v) = 1 som vi löser med metoden för sinusekvationer.
De två lösningsmängderna är identiska och den fullständiga lösningen på ekvationen är alltså v = π2+n*2π.
Högerledet liknar uttrycket för sinus för dubbla vinkeln. Om vi multiplicerar båda leden med 2 kan vi skriva om högerledet.
Vi har nu ekvationen sin(2v) = 12 som vi kan lösa med metoden för sinusekvationer.
Den fullständiga lösningen på ekvationen får vi av lösningsmängderna v ≈ 0.26 + n * π och v ≈ 1.31 + n * π.
security
report
code
Stämmer det att
cos(v)/sin(v) + sin(v)/cos(v) = 2/sin(2v)?
Motivera!
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
För att undersöka om likheten stämmer vill vi försöka skriva om vänsterledet till samma uttryck som högerledet. Högerledet är bara en term, så vi börjar med att slå ihop bråken. För att göra det måste de ha samma nämnare.
Nu vill vi förenkla bråket. Täljaren kan förenklas med trigonometriska ettan, och om bråket förlängs med 2 kan nämnaren förenklas med sinus för dubbla vinkeln.
Uttrycket vi har kommit fram till är alltså samma sak som står i högerledet. Vi har visat att likheten stämmer.
security
report
code
Formler för dubbla vinkeln
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll