body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

4

Kurs 4 Visa detaljer

8. Formler för dubbla vinkeln

Kapitel 1

8.

Formler för dubbla vinkeln

Formler för dubbla vinkeln är en del av trigonometri och handlar om vad som händer med sinus- och cosinusvärdena när en vinkel dubbleras. Det är inte så enkelt att värdena också dubbleras, men det går att hitta den dubblerade vinkelns sinus- och cosinusvärden. Dessa formler är användbara för att förenkla och lösa olika matematiska problem och ekvationer. De hjälper till att förstå sambandet mellan olika trigonometriska funktioner och hur de förändras när vinklarna de representerar förändras.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Formler för dubbla vinkeln

Sida av 5

Vad händer med sinus- och cosinusvärdena när en vinkel dubbleras? Kommer värdena också dubbleras? En titt bland standardvinklarna visar att det inte är riktigt så enkelt, men det går ändå att hitta den dubblerade vinkelns sinus- och cosinusvärden med hjälp av

sin (v)

och

cos (v) .

Bevis

Sinus för dubbla vinkeln

Sinusvärdet av dubbla vinkeln $2 v$ kan delas upp som dubbla produkten av vinkelns sinus- och cosinusvärden.

Bevis

sin (2 v) = 2 sin (v) cos (v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om produkten

2 v

som additionen

v + v .

sin (2 v)

ProdToSumTwoTerms

$2 a = a + a$

sin (v + v)

$sin (u + v) = sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v)$

sin (v) cos (v) + cos (v) sin (v)

Ordningen spelar ingen roll när man multiplicerar tal, så

cos (v) sin (v) \ddot{a} r samma sak som sin (v) cos (v) .

De två termerna är därför samma och kan läggas ihop, på samma sätt som

x + x

förenklas till

2 x .

sin (v) cos (v) + cos (v) sin (v)

Omarrangera faktorer

sin (v) cos (v) + sin (v) cos (v)

SumToProdTwoTerms

$a + a = 2 a$

2 sin (v) cos (v)

Sinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas som

sin (2 v) = 2 sin (v) cos (v) .

Q.E.D.

Beräkna dubbla vinkelns sinusvärde

fullscreen

En vinkel $v$ har sinusvärdet $0.8$ och cosinusvärdet $0.6 .$ Utan att räkna ut vinkeln, bestäm sinusvärdet av $2 v .$

Visa Lösning

Sinus för dubbla vinkeln kan beräknas med formeln

sin (2 v) = 2 sin (v) cos (v) .

Man använder alltså

sin (v)

och

cos (v) .

Dessa är givna i uppgiften:

sin (v) cos (v) = 0.8 = 0.6 .

Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna

sin (2 v) .

sin (2 v) = 2 sin (v) cos (v)

$sin (v) = 0.8$ och $cos (v) = 0.6$

sin (2 v) = 2 \cdot 0.8 \cdot 0.6

Multiplicera faktorer

sin (2 v) = 0.96

Dubbla vinkelns sinusvärde är i det här fallet

0.96 .

Bevis

Cosinus för dubbla vinkeln

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln

2 v

kan delas upp som differensen mellan

cos^{2} (v)

och

sin^{2} (v) .

Bevis

cos (2 v) = cos^{2} (v) - sin^{2} (v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för cosinus. Den kan användas om man först skriver om produkten

2 v

som additionen

v + v .

cos (2 v)

ProdToSumTwoTerms

$2 a = a + a$

cos (v + v)

$cos (u + v) = cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v)$

cos (v) cos (v) - sin (v) sin (v)

ProdToPowTwoFac

$a \cdot a = a^{2}$

cos^{2} (v) - sin^{2} (v)

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas om som

cos (2 v) = cos^{2} (v) - sin^{2} (v) .

Q.E.D.

Genom att byta ut antingen

cos^{2} (v)

eller

sin^{2} (v)

via trigonometriska ettan kan man hitta ytterligare två varianter av formeln.

$cos (2 v) = 1 - 2 sin^{2} (v)$
$cos (2 v) = 2 cos^{2} (v) - 1$

Förenkla med dubbla vinkeln

fullscreen

Visa att

\frac{sin ( v ) cos ( v )}{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )} = \frac{tan ( 2 v )}{2}

genom att förenkla vänsterledet.

Visa Lösning

Nämnaren i vänsterledet matchar precis uttrycket i formeln för cosinus av dubbla vinkeln:

cos (2 v) = cos^{2} (v) - sin^{2} (v) .

Regeln kan därför användas "baklänges" för att byta ut nämnaren mot det mer kompakta uttrycket

cos (2 v) .

\frac{sin ( v ) cos ( v )}{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}

CosDoubleAngleRev

$cos^{2} (v) - sin^{2} (v) = cos (2 v)$

\frac{sin ( v ) cos ( v )}{cos ( 2 v )}

Täljaren kan också skrivas om. Notera att den nästan matchar uttrycket som används i formeln för sinus av dubbla vinkeln:

sin (2 v) = 2 sin (v) cos (v) .

För att matchningen ska stämma helt överens förlänger vi bråket med

2 .

\frac{sin ( v ) cos ( v )}{cos ( 2 v )}

Förläng med $2$

\frac{2 sin ( v ) cos ( v )}{2 cos ( 2 v )}

SinDoubleAngleRev

$2 sin (v) cos (v) = sin (2 v)$

\frac{sin ( 2 v )}{2 cos ( 2 v )}

Nu innehåller uttrycket sinus delat på cosinus. Kom ihåg definitionen av tangens:

tan (v) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )} .

I det här fallet är det

2 v

istället för

v,

men så länge sinus och cosinus använder samma vinkel fungerar omvandlingen. Vinkeln kommer då vara

2 v

även för tangens.

\frac{sin ( 2 v )}{2 cos ( 2 v )}

$\frac{a}{b \cdot c} = \frac{a / c}{b}$

\frac{sin ( 2 v ) / cos ( 2 v )}{2}

$\frac{sin ( v )}{cos ( v )} = tan (v)$

\frac{tan ( 2 v )}{2}

Alltså är

\frac{sin ( v ) cos ( v )}{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )} = \frac{tan ( 2 v )}{2} .

Q.E.D.

Formler för dubbla vinkeln

Uppgift 3.1

Skriv om

sin (3 x)

så att det är helt uttryckt i

sin (x) .

Vi skriver om 3x till 2x + x så att vi sedan kan använda additionsformeln för sinus på uttrycket.

Vi kan nu skriva om uttrycken sin(2x) och cos(2x) med hjälp av formlerna för dubbla vinkeln.

Uttrycket har nu endast sin(x) och cos(x), vi är alltså inte långt ifrån färdiga. Vi använder trigonometriska ettan för att skriva om cos^2(x).

Vi har nu helt skrivit om uttrycket så det är uttryckt i endast sin(x) samt förenklat det fullständigt.

Stämmer det att

sin (A) + sin (B) = 2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2}) ?

Motivera.

För att undersöka om likheten gäller utgår vi från högerledet och försöker skriva om det till samma sak som står i vänsterledet. Vi börjar med faktorn sin( A+B2) och skriver om den med additionsformeln för sinus.

Pga. att uttryck i den här lösningen blir väldigt stora inför vi några andra variabler här. sin( A2) = s_A^() sin( B2) = s_B^() cos( A2) = c_A^() cos( B2) = c_B^() Med dessa variabler ger utvecklingen ovan att sin(A+B/2) = s_A^() c_B^() + c_A^() s_B^(). Nu gör vi motsvarande på den andra faktorn, cos( A-B2), som utvecklas med subtraktionsformeln för cosinus.

Efter omskrivningarna har vi nu hittat att sin(A+B/2) & = s_A^() c_B^() + c_A^() s_B^() cos(A-B/2) & = c_A^() c_B^() + s_A^() s_B^(). Med detta kan det ursprungliga högerledet utvecklas.

Nu finns två termer med faktorerna s_A c_A och två med s_B c_B. Genom att bryta ut de gemensamma faktorerna bildas uttryck i parenteserna som kan förenklas med trigonometriska ettan.

Nu kan de tillfälliga variablerna bytas tillbaka och parenteserna utvecklas. Då kan vi till slut förenkla med hjälp av dubbla vinkeln för sinus.

Vi har kommit fram till samma uttryck som i vänsterledet och har alltså visat att likheten gäller.

Formler för dubbla vinkeln

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.