Formler för dubbla vinkeln

Vad händer med sinus- och cosinusvärdena när en vinkel dubbleras? Kommer värdena också dubbleras? En titt bland standardvinklarna visar att det inte är riktigt så enkelt, men det går ändå att hitta den dubblerade vinkelns sinus- och cosinusvärden med hjälp av

sin (v)

och

cos (v) .

Bevis

Sinus för dubbla vinkeln

Sinusvärdet av dubbla vinkeln $2 v$ kan delas upp som dubbla produkten av vinkelns sinus- och cosinusvärden.

Bevis

sin (2 v) = 2 sin (v) cos (v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om produkten

2 v

som additionen

v + v .

sin (2 v)

ProdToSumTwoTerms

$2 a = a + a$

sin (v + v)

SinAdd

$sin (u + v) = sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v)$

sin (v) cos (v) + cos (v) sin (v)

Ordningen spelar ingen roll när man multiplicerar tal, så

cos (v) sin (v) \ddot{a} r samma sak som sin (v) cos (v) .

De två termerna är därför samma och kan läggas ihop, på samma sätt som

x + x

förenklas till

2 x .

sin (v) cos (v) + cos (v) sin (v)

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

sin (v) cos (v) + sin (v) cos (v)

SumToProdTwoTerms

$a + a = 2 a$

2 sin (v) cos (v)

Sinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas som

sin (2 v) = 2 sin (v) cos (v) .

Q.E.D.

Beräkna dubbla vinkelns sinusvärde

fullscreen

Uppgift

En vinkel $v$ har sinusvärdet $0.8$ och cosinusvärdet $0.6 .$ Utan att räkna ut vinkeln, bestäm sinusvärdet av $2 v .$

Visa Lösning

Lösning

Sinus för dubbla vinkeln kan beräknas med formeln

sin (2 v) = 2 sin (v) cos (v) .

Man använder alltså

sin (v)

och

cos (v) .

Dessa är givna i uppgiften:

sin (v) cos (v) = 0.8 = 0.6 .

Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna

sin (2 v) .

sin (2 v) = 2 sin (v) cos (v)

SubstituteII

$sin (v) = 0.8$ , $cos (v) = 0.6$

sin (2 v) = 2 \cdot 0.8 \cdot 0.6

Multiply

Multiplicera faktorer

sin (2 v) = 0.96

Dubbla vinkelns sinusvärde är i det här fallet

0.96 .

Bevis

Cosinus för dubbla vinkeln

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln

2 v

kan delas upp som differensen mellan

cos^{2} (v)

och

sin^{2} (v) .

Bevis

cos (2 v) = cos^{2} (v) - sin^{2} (v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för cosinus. Den kan användas om man först skriver om produkten

2 v

som additionen

v + v .

cos (2 v)

ProdToSumTwoTerms

$2 a = a + a$

cos (v + v)

CosAdd

$cos (u + v) = cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v)$

cos (v) cos (v) - sin (v) sin (v)

ProdToPowTwoFac

$a \cdot a = a^{2}$

cos^{2} (v) - sin^{2} (v)

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas om som

cos (2 v) = cos^{2} (v) - sin^{2} (v) .

Q.E.D.

Genom att byta ut antingen

cos^{2} (v)

eller

sin^{2} (v)

via trigonometriska ettan kan man hitta ytterligare två varianter av formeln.

$cos (2 v) = 1 - 2 sin^{2} (v)$
$cos (2 v) = 2 cos^{2} (v) - 1$

Förenkla med dubbla vinkeln

fullscreen

Uppgift

Visa att $\frac{sin ( v ) cos ( v )}{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )} = \frac{tan ( 2 v )}{2}$ genom att förenkla vänsterledet.

Visa Lösning

Lösning

Nämnaren i vänsterledet matchar precis uttrycket i formeln för cosinus av dubbla vinkeln:

cos (2 v) = cos^{2} (v) - sin^{2} (v) .

Regeln kan därför användas "baklänges" för att byta ut nämnaren mot det mer kompakta uttrycket

cos (2 v) .

\frac{sin ( v ) cos ( v )}{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )}

CosDoubleAngleRev

$cos^{2} (v) - sin^{2} (v) = cos (2 v)$

\frac{sin ( v ) cos ( v )}{cos ( 2 v )}

Täljaren kan också skrivas om. Notera att den nästan matchar uttrycket som används i formeln för sinus av dubbla vinkeln:

sin (2 v) = 2 sin (v) cos (v) .

För att matchningen ska stämma helt överens förlänger vi bråket med

2 .

\frac{sin ( v ) cos ( v )}{cos ( 2 v )}

ExpandFrac

Förläng med $2$

\frac{2 sin ( v ) cos ( v )}{2 cos ( 2 v )}

SinDoubleAngleRev

$2 sin (v) cos (v) = sin (2 v)$

\frac{sin ( 2 v )}{2 cos ( 2 v )}

Nu innehåller uttrycket sinus delat på cosinus. Kom ihåg definitionen av tangens:

tan (v) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )} .

I det här fallet är det

2 v

istället för

v,

men så länge sinus och cosinus använder samma vinkel fungerar omvandlingen. Vinkeln kommer då vara

2 v

även för tangens.

\frac{sin ( 2 v )}{2 cos ( 2 v )}

$\frac{a}{b \cdot c} = \frac{a / c}{b}$

\frac{sin ( 2 v ) / cos ( 2 v )}{2}

SinCosToTan

$\frac{sin ( v )}{cos ( v )} = tan (v)$

\frac{tan ( 2 v )}{2}

Alltså är

\frac{sin ( v ) cos ( v )}{cos ^{2} ( v ) - sin ^{2} ( v )} = \frac{tan ( 2 v )}{2} .

Q.E.D.

Formler för dubbla vinkeln

Bevis

Sinus för dubbla vinkeln

Bevis

Exempel

Beräkna dubbla vinkelns sinusvärde

Bevis

Cosinus för dubbla vinkeln

Bevis

Exempel

Förenkla med dubbla vinkeln