Formler för dubbla vinkeln

Sinus för dubbla vinkeln kan beräknas med formeln $$\sin (2v)=2\sin (v)\cos (v).$$ Man använder alltså $\sin (v)$ och $\cos (v).$ Dessa är givna i uppgiften: $$\begin{array}{rl}\sin (v)& =0.8\\ \cos (v)& =0.6.\end{array}$$ Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna $\sin (2v).$ Dubbla vinkelns sinusvärde är i det här fallet $0.96.$

Nämnaren i vänsterledet matchar precis uttrycket i formeln för cosinus av dubbla vinkeln: $$\text{cos(2v)=cos2(v)−sin2(v)}.$$ Regeln kan därför användas "baklänges" för att byta ut nämnaren mot det mer kompakta uttrycket $\cos (2v).$ Täljaren kan också skrivas om. Notera att den nästan matchar uttrycket som används i formeln för sinus av dubbla vinkeln: $$\text{sin(2v)=2sin(v)cos(v)}.$$ För att matchningen ska stämma helt överens förlänger vi bråket med $2.$ Nu innehåller uttrycket sinus delat på cosinus. Kom ihåg definitionen av tangens: $$\text{tan(v)=cos(v)sin(v)}.$$ I det här fallet är det $2v$ istället för $v,$ men så länge sinus och cosinus använder samma vinkel fungerar omvandlingen. Vinkeln kommer då vara $2v$ även för tangens. Alltså är $$\frac{\sin (v)\cos (v)}{{\cos }^2(v)-{\sin }^2(v)}=\frac{\tan (2v)}{2}.$$