Formler för dubbla vinkeln

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Vad händer med sinus- och cosinusvärdena när en vinkel dubbleras? Kommer värdena också dubbleras? En titt bland standardvinklarna visar att det inte är riktigt så enkelt, men det går ändå att hitta den dubblerade vinkelns sinus- och cosinusvärden med hjälp av sin(v)\sin(v) och cos(v).\cos(v).
Bevis

Sinus för dubbla vinkeln

Sinusvärdet av dubbla vinkeln 2v2v kan delas upp som dubbla produkten av vinkelns sinus- och cosinusvärden.

Bevis

sin(2v)=2sin(v)cos(v)\sin(2v)=2\sin(v)\cos(v)
Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om produkten 2v2v som additionen v+v.v+v.
sin(2v)\sin(2v)
sin(v+v)\sin(v+v)
sin(v)cos(v)+cos(v)sin(v)\sin(v)\cos(v) + \cos(v)\sin(v)
Ordningen spelar ingen roll när man multiplicerar tal, så cos(v)sin(v) r samma sak som a¨sin(v)cos(v). \cos(v)\sin(v)\quad \text{ är samma sak som } \quad \sin(v)\cos(v). De två termerna är därför samma och kan läggas ihop, på samma sätt som x+xx+x förenklas till 2x.2x.
sin(v)cos(v)+cos(v)sin(v)\sin(v)\cos(v) + \cos(v)\sin(v)
sin(v)cos(v)+sin(v)cos(v)\sin(v)\cos(v) + \sin(v)\cos(v)
2sin(v)cos(v)2\sin(v)\cos(v)
Sinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas som sin(2v)=2sin(v)cos(v). \sin(2v)=2\sin(v)\cos(v).
Q.E.D.
Uppgift


En vinkel vv har sinusvärdet 0.80.8 och cosinusvärdet 0.6.0.6. Utan att räkna ut vinkeln, bestäm sinusvärdet av 2v.2v.

Lösning
Sinus för dubbla vinkeln kan beräknas med formeln sin(2v)=2sin(v)cos(v).\sin(2v) = 2\sin(v)\cos(v). Man använder alltså sin(v)\sin(v) och cos(v).\cos(v). Dessa är givna i uppgiften: sin(v)=0.8cos(v)=0.6.\begin{aligned} \sin(v) &= 0.8 \\ \cos(v) &= 0.6. \end{aligned} Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna sin(2v).\sin(2v).
sin(2v)=2sin(v)cos(v)\sin(2v) = 2\sin(v)\cos(v)
sin(2v)=20.80.6\sin(2v) = 2\cdot{\color{#0000FF}{0.8}}\cdot{\color{#009600}{0.6}}
sin(2v)=0.96\sin(2v) = 0.96
Dubbla vinkelns sinusvärde är i det här fallet 0.96.0.96.
Visa lösning Visa lösning
Bevis

Cosinus för dubbla vinkeln

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln 2v2v kan delas upp som differensen mellan cos2(v)\cos^2(v) och sin2(v).\sin^2(v).

Bevis

cos(2v)=cos2(v)sin2(v)\cos(2v)=\cos^2(v)-\sin^2(v)
Beviset för detta utgår från additionsformeln för cosinus. Den kan användas om man först skriver om produkten 2v2v som additionen v+v.v+v.
cos(2v)\cos(2v)
cos(v+v)\cos(v+v)
cos(v)cos(v)sin(v)sin(v)\cos(v)\cos(v) - \sin(v)\sin(v)
cos2(v)sin2(v)\cos^2(v) - \sin^2(v)
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas om som cos(2v)=cos2(v)sin2(v). \text{$\cos(2v)=\cos^2(v)-\sin^2(v)$}.
Q.E.D.
Genom att byta ut antingen cos2(v)\cos^2(v) eller sin2(v)\sin^2(v) via trigonometriska ettan kan man hitta ytterligare två varianter av formeln.

cos(2v)=12sin2(v)\cos(2v)=1- 2\sin^2(v)
cos(2v)=2cos2(v)1\cos(2v)=2\cos^2(v)-1

Uppgift


Visa att sin(v)cos(v)cos2(v)sin2(v)=tan(2v)2 \dfrac{\sin(v)\cos(v)}{\cos^2(v)-\sin^2(v)} = \dfrac{\tan(2v)}{2} genom att förenkla vänsterledet.

Lösning
Nämnaren i vänsterledet matchar precis uttrycket i formeln för cosinus av dubbla vinkeln: cos(2v)=cos2(v)sin2(v). \text{$\cos(2v)=\cos^2(v)-\sin^2(v)$}. Regeln kan därför användas "baklänges" för att byta ut nämnaren mot det mer kompakta uttrycket cos(2v).\cos(2v).
sin(v)cos(v)cos2(v)sin2(v)\dfrac{\sin(v)\cos(v)}{\cos^2(v)-\sin^2(v)}
sin(v)cos(v)cos(2v)\dfrac{\sin(v)\cos(v)}{\cos(2v)}
Täljaren kan också skrivas om. Notera att den nästan matchar uttrycket som används i formeln för sinus av dubbla vinkeln: sin(2v)=2sin(v)cos(v). \text{$\sin(2v)=2\sin(v)\cos(v)$}. För att matchningen ska stämma helt överens förlänger vi bråket med 2.2.
sin(v)cos(v)cos(2v)\dfrac{\sin(v)\cos(v)}{\cos(2v)}
2sin(v)cos(v)2cos(2v)\dfrac{2\sin(v)\cos(v)}{2\cos(2v)}
sin(2v)2cos(2v)\dfrac{\sin(2v)}{2\cos(2v)}
Nu innehåller uttrycket sinus delat på cosinus. Kom ihåg definitionen av tangens: tan(v)=sin(v)cos(v). \text{$\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}$}. I det här fallet är det 2v2v istället för v,v, men så länge sinus och cosinus använder samma vinkel fungerar omvandlingen. Vinkeln kommer då vara 2v2v även för tangens.
sin(2v)2cos(2v)\dfrac{\sin(2v)}{2\cos(2v)}
\PutDenomIIRev
sin(2v)/cos(2v)2\dfrac{\sin(2v)/\cos(2v)}{2}
tan(2v)2\dfrac{\tan(2v)}{2}
Alltså är sin(v)cos(v)cos2(v)sin2(v)=tan(2v)2.\dfrac{\sin(v)\cos(v)}{\cos^2(v)-\sin^2(v)} = \dfrac{\tan(2v)}{2}.
Q.E.D.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}