Utforska Faktorisering i Matte 2a med Mathleaks

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 x \cdot 2 x^{2}$
$8 x^{2}$	$2 x \cdot 4 x$

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
$8 x^{2}$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

Utgå från uttrycket $12 x^{3} + 28 x .$

Faktorisera båda termerna så långt som möjligt. Bryt sedan ut faktorn

4 x .

Faktorisera uttrycket endast så mycket som behövs för att kunna bryta ut

4 x .

Att faktorisera så långt som möjligt innebär att man delar upp termerna i så små faktorer som möjligt: 2 * 2 * 3* x * x * x+2 * 2 * 7 * x. När vi nu ska bryta ut 4x måste vi hitta denna faktor i båda termerna. Vi vet att 4x=2 * 2 * x, så vi bryter ut detta och förenklar.

När vi brutit ut 4x får vi alltså uttrycket 4x(3x^2 + 7).

Här ska vi bara faktorisera så mycket som är nödvändigt för att kunna bryta ut 4x. Vi försöker därför faktorisera termerna så att 4x direkt blir en faktor. För första termen, 12x^3, använder vi då att 12=4*3 och att x^3=x* x^2. Vi tänker på samma sätt för andra termen.

Vi får förstås samma resultat: 4x(3x^2 + 7).

Bryt ut den största gemensamma faktorn.

4 x + 10

20 x^{2} + 12 x

5 x^{2} - 2 x + 3 x y

Eftersom både 4 och 10 är jämna tal kan vi bryta ut faktorn 2.

2x och 5 delar inga faktorer så inget mer kan brytas ut.

20 och 12 är jämna tal så faktorn 2 kan brytas ut från båda. De innehåller också faktorn x så vi börjar med att bryta ut termen 2x.

Vi kan faktorisera ytterligare. 10 och 6 också är jämna tal, så vi kan bryta ut ytterligare en tvåa.

5x och 3 delar inga faktorer så inget mer kan brytas ut.

Termerna i uttrycket har delar faktorn x. Vi bryter ut det.

Ingen av termerna i parentesen har någon gemensam faktor så nu kommer vi inte längre.

Bryt ut största möjliga faktor i uttrycken.

5 x + 25

4 a + 4 b

81 x - 27 y

För att hitta den största möjliga faktorn som kan brytas ut faktoriserar vi båda termer och identifierar vilka faktorer som är gemensamma.

Term	Dela upp i faktorer
5x	5* x
25	5* 5

När båda termer har brutits ner i faktorer ser vi att båda innehåller en 5:a så vi kan bryta ut denna ur uttrycket.

Vi gör på samma sätt igen och börjar med att bryta ner termerna i faktorer.

Term	Dela upp i faktorer
4a	2* 2* a
4b	2* 2* b

När båda termer har brutits ner i faktorer ser vi att båda innehåller två 2:or som vi kan bryta ut ur uttrycket. Vi multiplicerar dock ihop dem först så att vi bryter ut talet 4.

Vi bryter ner termerna i faktorer.

Term	Dela upp i faktorer
81x	3 * 3 * 3 * 3 * x
27y	3 * 3 * 3 * y

När båda termer bryts ner i faktorer ser vi att båda innehåller tre 3:or så vi kan bryta ut dessa i uttrycket. För att göra saker lite enklare att hantera multiplicerar först vi ihop dem till talet 27.

Bryt ut största möjliga faktor.

x^{3} - 5 x

9 x - 6 y + 12

Båda termer innehåller faktorn x, så vi bryter ut den.

När vi ska faktorisera ett uttryck börjar vi med att undersöka termerna för att se om de har någon faktor gemensam. 9, 6 och 12 är alla delbara med 3 så vi kan bryta ut en trea.

Bryt ut största möjliga faktor i uttrycket

- 3 x^{2} + 9 x .

Beräkna uttryckets värde när

x = - 5 .

För att hitta den största möjliga faktorn som kan brytas ut delar vi upp båda termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma. Vi ser minustecknet som faktorn - 1.

Term	Dela upp i faktorer
- 3x^2	- 1 * 3 * x * x
9x	3* 3 * x

Vi ser att de gemensamma faktorerna är 3 och x, så vi bryter ut 3x.

Nu sätter vi in x=- 5 i uttrycket och förenklar.

Du har uttrycket

6 (a - b + 8) - 40 - 5 a + 5 b .

Förenkla uttrycket genom att multiplicera in sexan.

Vi kommer att distribuera faktorn 6 till varje term inom parentesen. Därefter kommer vi att kombinera termer av samma slag för att förenkla uttrycket.

Uttrycket förenklades till a-b+8.

Bryt ut

5

10 x + 5 .

Bryt ut

x

x - x^{2} .

Vi börjar med att dela upp termerna i faktorer. För talet 5 kan det verka som att 5 är den enda faktorn, men det finns även en faktor 1 i alla tal. Oftast brukar man inte skriva ut den när man delar upp tal och uttryck i faktorer, men i det här fallet måste vi göra det för att se vad som blir kvar när vi bryter ut femman.

Det faktoriserade uttrycket blir 5(2x + 1) och vi kan se att det blir en etta kvar där femman fanns tidigare.

Nu när vi bryter ut x ur x - x^2 måste vi tänka på samma sätt som i förra uppgiften, alltså att faktorn 1 finns i termen x.

Vi ser igen att när vi bryter ut en hel term blir 1 kvar, och det faktoriserad uttrycket är x(1-x).

Luigi sitter och räknar på uppgifter om faktorisering. Plötsligt hör han hur hans kompis Mario som sitter bredvid honom frågar läraren: Går det att faktorisera så här?. Läraren svarar: Jo, det går, men oftast vill vi ha heltal och det har du ju inte här .Luigi skymtar delar av det som Mario skrivit:

2 x^{2} + 5 x + 10 =

Luigi funderar på vad hans kompis kan ha skrivit. Vad kan Mario ha brutit ut ur uttrycket?

Vi kan t.ex. bryta ut faktorn 2 vilket gör att både första och sista termen inuti parentesen blir heltal: 2x^2+5x+10=2(x^2+ +5). Men hur blir det med mittentermen 5x? Multiplicerar vi in 2 i parentesen ska vi få 5x. Låt oss då kalla parentesens mittenterm för m och ställa upp ekvationen 2* m=5x. Vi löser ut m för att bestämma mittentermen.

Mittentermen ska vara 52x. Nu kan vi färdigställa faktoriseringen: 2(x^2+5/2x+5). På samma sätt skulle vi kunna bryta ut 5, vilket skulle ge heltal framför den andra och tredje termen innanför parentesen. Om man löser ut den första termen på samma sätt som ovan får vi att det faktoriserade uttrycket då blir 5(2/5x^2+x+2).

Bryt ut den största möjliga faktorn ur uttrycket.

7 x^{2} y^{2} - 28 x y^{2} + 49 x^{3} y

4 n m^{2} - 12 n^{2} - 16 n m

För att bryta ut den största möjliga faktorn delar vi upp samtliga termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga utbrytbara faktorn.

Term	Dela upp i faktorer
7x^2y^2	7* x* x * y* y
28xy^2	7* 4 * x * y * y
49x^3z	7 * 7 * x * x * x * y

7, x och y finns i alla termer så vi kan bryta ut 7xy.

Samma sak en gång till. Vi delar upp termerna i faktorer och identifierar de som är gemensamma för alla.

Term	Dela upp i faktorer
4nm^2	4* n* m* m
12n^2	3* 4* n* n
16nm	4* 4 * n * m

Den största gemensamma faktorn är alltså 4n.

Ange alla gemensamma faktorer som kan brytas ut ur nedanstående uttryck.

12 a^{2} b + 30 a b - 60 a^{3}

50 x^{2} - 75 x y + 42 y^{2}

För att identfiera vad som kan brytas ut delar vi upp samtliga termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma för alla termer. Det räcker alltså inte att en faktor återfinns i två av termerna utan den måste finnas i alla om den ska brytas ut.

Term	Dela upp i faktorer
12a^2b	2 * 2 * 3 * a * a * b
30ab	2 * 3 * 5 * a * b
60a^3	2* 2* 3 * 5 * a * a* a

Vi ser att 2, 3 och a är faktorer som finns i alla tre termer och dessa kan brytas ut. Men kombinationer av dessa kan också brytas ut: 2 * a=2a, 2* 3=6, 3 * a=3a, 2 * 3 * a=6a Svaret är alltså att faktorerna 2, 3, a, 2a, 6, 3a och 6a kan brytas ut ur uttrycket.

Vi gör samma sak igen och delar upp termerna i faktorer.

Term	Dela upp i faktorer
50x^2	5* 5* 2* x* x
75xy	5* 5* 3* y* x
42y^2	2* 3* 7* y* y

Tittar vi i tabellen ser vi att det inte finns någon faktor som är gemensam för alla tre termer och därför kan vi inte bryta ut något ur uttrycket.

Faktorisering

Förkunskaper

Faktorisering

Bryta ut

Faktorisera uttryck

Ledtråd

Lösning

Bryt ut given faktor

Ledtråd

Lösning

Bryt ut största möjliga faktor

Ledtråd

Lösning

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Faktorisera de kvadratiska uttrycken

Faktorisering

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	27 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.