Utforska Faktorisering i Matte 2a med Mathleaks

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 x \cdot 2 x^{2}$
$8 x^{2}$	$2 x \cdot 4 x$

Term

Faktorisera

4 x^{3}

2 x \cdot 2 x^{2}

8 x^{2}

2 x \cdot 4 x

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
$8 x^{2}$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

Term

Faktorisera

4 x^{3}

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x

8 x^{2}

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 x \cdot 2 x^{2}$
$8 x^{2}$	$2 x \cdot 4 x$

Term

Faktorisera

4 x^{3}

2 x \cdot 2 x^{2}

8 x^{2}

2 x \cdot 4 x

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
$8 x^{2}$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

Term

Faktorisera

4 x^{3}

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x

8 x^{2}

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 x \cdot 2 x^{2}$
$8 x^{2}$	$2 x \cdot 4 x$

Term

Faktorisera

4 x^{3}

2 x \cdot 2 x^{2}

8 x^{2}

2 x \cdot 4 x

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
$8 x^{2}$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

Term

Faktorisera

4 x^{3}

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x

8 x^{2}

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x

Nedan står ett uttryck som har utvecklats med konjugat- eller kvadreringsreglerna. Vad ska stå istället för symbolerna?

y^{2} - △ = (♢ + 7) (y - ♡)

9 x^{2} + △ + 25 = (♢ + ♡)^{2}

64 z^{2} - 32 z + △ = (♢ - ♡)^{2}

Uttrycket liknar faktorisering med konjugatreglen: a^2-b^2=(a+b)(a-b). Vi löser uppgiften enklast genom att titta på uttrycket och resonera oss fram: y^2-△=(◊ +7)(y-♡). Eftersom högerledet är konjugat måste termerna vara samma, dvs. första termen ska vara y och andra 7. Det ger oss att ◊=y och ♡=7. Triangeln motsvarar första termen i kvadrat, så eftersom 7^2=49 får vi att △=49, ◊=y, och ♡=7.

Här har vi ett uttryck som påminner om första kvadreringsregeln baklänges: a^2+2ab+b^2=(a + b)^2. Vi resonerar oss fram till en symbol i taget. 9x^2+△+25=(◊+♡)^2. Vi ser med hjälp av första termen i vänsterledet att a^2=9x^2, så ◊=sqrt(9x^2)=3x eftersom rutan står för a. Tredje termen i vänsterledet ger oss att b^2=25, vilket innebär att b=♡=5. Nu kan vi bestämma triangeln, eftersom vi vet att den står för 2ab.

Sammanfattningsvis blir symbolerna △=30x, ◊=3x, och ♡=5.

Slutligen har vi något som liknar andra kvadreringsregeln, a^2-2ab+b^2=(a - b)^2: 64z^2-32z+△=(◊-♡)^2. Vi börjar med att ta reda på a, genom att vi vet att 64z^2=a^2. Det ger oss att a=sqrt(64z^2)=8z. Nu vet vi att ◊=8z. Med hjälp av detta kan vi ta reda på b, eftersom vi vet att 2ab=32z.

Eftersom △=b^2=4 får vi alltså △=4, ◊=8z, och ♡=2.

Ange alla gemensamma faktorer som kan brytas ut ur nedanstående uttryck.

12 a^{2} b + 30 a b - 20 a^{3}

50 x^{2} - 75 x y + 42 y^{2}

För att identfiera vad som kan brytas ut delar vi upp samtliga termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma för alla termer. Det räcker alltså inte att en faktor återfinns i två av termerna utan den måste finnas i alla om den ska brytas ut.

Term	Dela upp i faktorer
12a^2b	2 * 2 * 3 * a * a * b
30ab	2 * 3 * 5 * a * b
60a^3	2* 2* 3 * 5 * a * a* a

Vi ser att 2, 3 och a är faktorer som finns i alla tre termer och dessa kan brytas ut. Men kombinationer av dessa kan också brytas ut: 2 * a=2a, 2* 3=6, 3 * a=3a, 2 * 3 * a=6a Svaret är alltså att faktorerna 2, 3, a, 2a, 6, 3a och 6a kan brytas ut ur uttrycket.

Vi gör samma sak igen och delar upp termerna i faktorer.

Term	Dela upp i faktorer
50x^2	5* 5* 2* x* x
75xy	5* 5* 3* y* x
42y^2	2* 3* 7* y* y

Tittar vi i tabellen ser vi att det inte finns någon faktor som är gemensam för alla tre termer och därför kan vi inte bryta ut något ur uttrycket.

Bryt ut den största möjliga faktorn ur uttrycket.

7 x^{2} y^{2} - 28 x y^{2} + 49 x^{3} y

4 n m^{2} - 12 n^{2} - 16 n m

För att bryta ut den största möjliga faktorn delar vi upp samtliga termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga utbrytbara faktorn.

Term	Dela upp i faktorer
7x^2y^2	7* x* x * y* y
28xy^2	7* 4 * x * y * y
49x^3z	7 * 7 * x * x * x * y

7, x och y finns i alla termer så vi kan bryta ut 7xy.

Samma sak en gång till. Vi delar upp termerna i faktorer och identifierar de som är gemensamma för alla.

Term	Dela upp i faktorer
4nm^2	4* n* m* m
12n^2	3* 4* n* n
16nm	4* 4 * n * m

Den största gemensamma faktorn är alltså 4n.

Luigi sitter och räknar på uppgifter om faktorisering. Plötsligt hör han hur hans kompis Mario som sitter bredvid honom frågar läraren: Går det att faktorisera så här?. Läraren svarar: Jo, det går, men oftast vill vi ha heltal och det har du ju inte här .Luigi skymtar delar av det som Mario skrivit:

2 x^{2} + 5 x + 10 =

Luigi funderar på vad hans kompis kan ha skrivit. Vad kan Mario ha brutit ut ur uttrycket?

Vi kan t.ex. bryta ut faktorn 2 vilket gör att både första och sista termen inuti parentesen blir heltal: 2x^2+5x+10=2(x^2+ +5). Men hur blir det med mittentermen 5x? Multiplicerar vi in 2 i parentesen ska vi få 5x. Låt oss då kalla parentesens mittenterm för m och ställa upp ekvationen 2* m=5x. Vi löser ut m för att bestämma mittentermen.

Mittentermen ska vara 52x. Nu kan vi färdigställa faktoriseringen: 2(x^2+5/2x+5). På samma sätt skulle vi kunna bryta ut 5, vilket skulle ge heltal framför den andra och tredje termen innanför parentesen. Om man löser ut den första termen på samma sätt som ovan får vi att det faktoriserade uttrycket då blir 5(2/5x^2+x+2).

Använd faktorisering för att bestämma vilken konstant som $A$ representerar.

4 x + 8 = A (x + B)

9 x^{2} - 12 x + 21 = 3 (3 x^{2} + A x + B)

I högerledet har vi ett faktoriserat uttryck som ska vara lika med summan i vänsterledet. Vi ser att faktorn 4 finns i alla termer i vänsterledet, så vi bryter ut den så att även vänsterledet är faktoriserat.

Vänster- och högerledet har nu samma form vi kan identifiera vad A och B måste vara med inspektionsmetoden. A står utanför parentesen och måste därför vara lika med 4, medan B står innanför, vilket betyder att det är lika med 2. Svaret är alltså A = 4.

Högerledet är en produkt där den ena faktorn är 3. Kan vi bryta ut en trea i vänsterledet? Ja, 9, 12 och 21 ingår alla i treans multiplikationstabell.

Med inspektionsmetoden kan vi genom att jämföra termerna som har med x att göra samt konstanttermerna dra slutsatsen att A=-4

Faktorisera uttrycket

25 + y^{2} + 10 y .

När man faktoriserar brukar man oftast bryta ut en gemensam faktor. Vårt uttryck har dock inga gemensamma faktorer, men tittar vi närmare på det ser vi att y^2+10y+25 liknar a^2+2ab+b^2. Om vi kan skriva om vårt uttryck på formen a^2+2ab+b^2 kan vi faktorisera det genom att använda första kvadreringsregeln baklänges: a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. Vi skriver upp uttrycken under varandra och jämför: & y^2+10y+ 25 & a^2+2ab+ b^2. Första och sista termen stämmer med första kvadreringsregeln, eftersom 25 kan skrivas som 5^2. Alltså är a=y och b=5.

Men, kan mittentermen 10y skrivas som 2ab? Ja, stoppar vi in uttrycken för a och b får vi 2ab=2 * y * 5 = 10y.

Nu när vi konstaterat att uttrycket är skrivet på samma form som första kvadreringsregeln behöver vi bara utföra själva faktoriseringen genom att sätta in a och b. Uttrycket kan faktoriseras till (y+5)^2.

	6 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Faktorisering

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Faktorisering

Rekommenderade uppgifter