2. Faktorisering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
2.
Faktorisering
Faktorisering i matte 2a innebär att skriva ett tal eller uttryck som en multiplikation. Det kan innebära att dela upp det i faktorer. När vi faktoriserar, delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt. Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 27 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Faktorisering
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Faktorisering
- Bryta ut
- Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Faktorisering
Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex. 30 = 2 * 3 * 5 eller 4x^3 = 2 * 2 * x * x * x. Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex. 2 + 2 + 2 = 3 * 2. Ett tal som har faktoriserats så att alla faktorer är primtal sägs ha primtalfaktoriserats.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bryta ut
Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket x^2 + 2x variabeln x. Bryts den ut får man resultatet x(x + 2). Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Faktorisera uttryck
Faktorisera uttrycket 20x^2y^3 så långt det går.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2 \\times 2 \\times 5 \\times x \\times x \\times y \\times y \\times y"]}}
Ledtråd
Skriv om varje potens som en produkt. Vad är primtalsfaktoriseringen av 20?
Lösning
Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.
20x^2y^3
PowToProdThreeFac
a^3=a* a* a
20x^2 * y* y* y
PowToProdTwoFac
a^2=a* a
20 * x * x * y* y* y
Rewrite
Skriv 20 som 4* 5
4* 5* x* x * y* y* y
Rewrite
Skriv 4 som 2* 2
2* 2* 5* x* x * y* y* y
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bryt ut given faktor
Bryt ut 2x ur uttrycket 4x^3+8x^2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x(2x^2+4x)"]}}
Lösning
Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut 2x ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en 4:a, som kan skrivas 2*2, samt x^3, som kan skrivas x* x^2. Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x^3 | 2x* 2x^2 |
| 8x^2 | 2x* 4x |
Om vi bryter ut 2x ur termerna återstår alltså 2x^2 respektive 4x. Det ger resultatet 2x(2x^2+4x).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bryt ut största möjliga faktor
Bryt ut största möjliga faktor ur 4x^3+8x^2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x^2(x+2)"]}}
Ledtråd
Hitta den största gemensamma faktorn mellan båda termerna i det givna uttrycket.
Lösning
Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x^3 | 2* 2* x* x* x |
| 8x^2 | 2* 2* 2* x* x |
Båda termer innehåller två 2:or och två x. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 2* 2* x* x eller skrivet som en produkt: 4x^2.
4x^3+8x^2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
2* 2* x* x* x+2* 2* 2* x * x
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
2* 2* x* x * x+2* 2* x* x * 2
Multiply
Multiplicera faktorer
4x^2 * x+4x^2* 2
FactorOut
Bryt ut 4x^2
4x^2(x+2)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna
Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.
a^2-b^2 = (a+b)(a-b)
I uttrycket x^2 - 16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x^2 - 4^2, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4).
a^2± 2ab + b^2 = (a ± b)^2
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Faktorisera de kvadratiska uttrycken
Faktorisera det givna kvadratiska uttrycket antingen som konjugerade binom eller som kvadraten av ett binom. Parenteserna och kvadratpotensen kan skrivas med (, ), och x^2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Faktorisering
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x(3x^2+7)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x(3x^2+7)"]}}
security
report
code
security
report
code
Att faktorisera så långt som möjligt innebär att man delar upp termerna i så små faktorer som möjligt: 2 * 2 * 3* x * x * x+2 * 2 * 7 * x. När vi nu ska bryta ut 4x måste vi hitta denna faktor i båda termerna. Vi vet att 4x=2 * 2 * x, så vi bryter ut detta och förenklar.
När vi brutit ut 4x får vi alltså uttrycket 4x(3x^2 + 7).
Här ska vi bara faktorisera så mycket som är nödvändigt för att kunna bryta ut 4x. Vi försöker därför faktorisera termerna så att 4x direkt blir en faktor. För första termen, 12x^3, använder vi då att 12=4*3 och att x^3=x* x^2. Vi tänker på samma sätt för andra termen.
Vi får förstås samma resultat: 4x(3x^2 + 7).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2(2x + 5)","(2x + 5)2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x(5x + 3)","(5x + 3)4x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x(5x - 2 + 3y)","(5x - 2 + 3y)x"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom både 4 och 10 är jämna tal kan vi bryta ut faktorn 2.
2x och 5 delar inga faktorer så inget mer kan brytas ut.
20 och 12 är jämna tal så faktorn 2 kan brytas ut från båda. De innehåller också faktorn x så vi börjar med att bryta ut termen 2x.
Vi kan faktorisera ytterligare. 10 och 6 också är jämna tal, så vi kan bryta ut ytterligare en tvåa.
5x och 3 delar inga faktorer så inget mer kan brytas ut.
Termerna i uttrycket har delar faktorn x. Vi bryter ut det.
Ingen av termerna i parentesen har någon gemensam faktor så nu kommer vi inte längre.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5(x+5)","(x+5)5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4(a+b)","(a+b)4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["27(3x-y)","(3x-y)27"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den största möjliga faktorn som kan brytas ut faktoriserar vi båda termer och identifierar vilka faktorer som är gemensamma.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 5x | 5* x |
| 25 | 5* 5 |
När båda termer har brutits ner i faktorer ser vi att båda innehåller en 5:a så vi kan bryta ut denna ur uttrycket.
Vi gör på samma sätt igen och börjar med att bryta ner termerna i faktorer.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 4a | 2* 2* a |
| 4b | 2* 2* b |
När båda termer har brutits ner i faktorer ser vi att båda innehåller två 2:or som vi kan bryta ut ur uttrycket. Vi multiplicerar dock ihop dem först så att vi bryter ut talet 4.
Vi bryter ner termerna i faktorer.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 81x | 3 * 3 * 3 * 3 * x |
| 27y | 3 * 3 * 3 * y |
När båda termer bryts ner i faktorer ser vi att båda innehåller tre 3:or så vi kan bryta ut dessa i uttrycket. För att göra saker lite enklare att hantera multiplicerar först vi ihop dem till talet 27.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x(x^2-5)","(x^2-5)x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3(3x - 2y + 4)","(3x - 2y + 4)3"]}}
security
report
code
security
report
code
Båda termer innehåller faktorn x, så vi bryter ut den.
När vi ska faktorisera ett uttryck börjar vi med att undersöka termerna för att se om de har någon faktor gemensam. 9, 6 och 12 är alla delbara med 3 så vi kan bryta ut en trea.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3x(-x +3)","(-x +3)3x","3x(3-x)","(3-x)3x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-120"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den största möjliga faktorn som kan brytas ut delar vi upp båda termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma. Vi ser minustecknet som faktorn - 1.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| - 3x^2 | - 1 * 3 * x * x |
| 9x | 3* 3 * x |
Vi ser att de gemensamma faktorerna är 3 och x, så vi bryter ut 3x.
Nu sätter vi in x=- 5 i uttrycket och förenklar.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Du har uttrycket 6(a-b+8)-40-5a+5b. Förenkla uttrycket genom att multiplicera in sexan.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["a-b+8"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kommer att distribuera faktorn 6 till varje term inom parentesen. Därefter kommer vi att kombinera termer av samma slag för att förenkla uttrycket.
Uttrycket förenklades till a-b+8.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5(2x + 1)","(2x + 1)5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x(1 - x)","(1 - x)x"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att dela upp termerna i faktorer. För talet 5 kan det verka som att 5 är den enda faktorn, men det finns även en faktor 1 i alla tal. Oftast brukar man inte skriva ut den när man delar upp tal och uttryck i faktorer, men i det här fallet måste vi göra det för att se vad som blir kvar när vi bryter ut femman.
Det faktoriserade uttrycket blir 5(2x + 1) och vi kan se att det blir en etta kvar där femman fanns tidigare.
Nu när vi bryter ut x ur x - x^2 måste vi tänka på samma sätt som i förra uppgiften, alltså att faktorn 1 finns i termen x.
Vi ser igen att när vi bryter ut en hel term blir 1 kvar, och det faktoriserad uttrycket är x(1-x).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Luigi sitter och räknar på uppgifter om faktorisering. Plötsligt hör han hur hans kompis Mario som sitter bredvid honom frågar läraren: Går det att faktorisera så här?
. Läraren svarar: Jo, det går, men oftast vill vi ha heltal och det har du ju inte här
.Luigi skymtar delar av det som Mario skrivit:
2x^2+5x+10=
Luigi funderar på vad hans kompis kan ha skrivit. Vad kan Mario ha brutit ut ur uttrycket?
{"type":"multichoice","form":{"alts":["2","x^2","2x^2","5","x","5x","10"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,3]}
security
report
code
security
report
code
Vi kan t.ex. bryta ut faktorn 2 vilket gör att både första och sista termen inuti parentesen blir heltal: 2x^2+5x+10=2(x^2+ +5). Men hur blir det med mittentermen 5x? Multiplicerar vi in 2 i parentesen ska vi få 5x. Låt oss då kalla parentesens mittenterm för m och ställa upp ekvationen 2* m=5x. Vi löser ut m för att bestämma mittentermen.
Mittentermen ska vara 52x. Nu kan vi färdigställa faktoriseringen: 2(x^2+5/2x+5). På samma sätt skulle vi kunna bryta ut 5, vilket skulle ge heltal framför den andra och tredje termen innanför parentesen. Om man löser ut den första termen på samma sätt som ovan får vi att det faktoriserade uttrycket då blir 5(2/5x^2+x+2).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7xy(xy -4y+7x^2)","(xy -4y+7x^2)*7xy"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["m"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4n(m^2-3n-4m)","(m^2-3n-4m)*4n"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bryta ut den största möjliga faktorn delar vi upp samtliga termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga utbrytbara faktorn.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 7x^2y^2 | 7* x* x * y* y |
| 28xy^2 | 7* 4 * x * y * y |
| 49x^3z | 7 * 7 * x * x * x * y |
7, x och y finns i alla termer så vi kan bryta ut 7xy.
Samma sak en gång till. Vi delar upp termerna i faktorer och identifierar de som är gemensamma för alla.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 4nm^2 | 4* n* m* m |
| 12n^2 | 3* 4* n* n |
| 16nm | 4* 4 * n * m |
Den största gemensamma faktorn är alltså 4n.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
security
report
code
security
report
code
För att identfiera vad som kan brytas ut delar vi upp samtliga termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma för alla termer. Det räcker alltså inte att en faktor återfinns i två av termerna utan den måste finnas i alla om den ska brytas ut.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 12a^2b | 2 * 2 * 3 * a * a * b |
| 30ab | 2 * 3 * 5 * a * b |
| 60a^3 | 2* 2* 3 * 5 * a * a* a |
Vi ser att 2, 3 och a är faktorer som finns i alla tre termer och dessa kan brytas ut. Men kombinationer av dessa kan också brytas ut: 2 * a=2a, 2* 3=6, 3 * a=3a, 2 * 3 * a=6a Svaret är alltså att faktorerna 2, 3, a, 2a, 6, 3a och 6a kan brytas ut ur uttrycket.
Vi gör samma sak igen och delar upp termerna i faktorer.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 50x^2 | 5* 5* 2* x* x |
| 75xy | 5* 5* 3* y* x |
| 42y^2 | 2* 3* 7* y* y |
Tittar vi i tabellen ser vi att det inte finns någon faktor som är gemensam för alla tre termer och därför kan vi inte bryta ut något ur uttrycket.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Faktorisering
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll