2. Faktorisering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
2.
Faktorisering
Faktorisering i matte 2a innebär att skriva ett tal eller uttryck som en multiplikation. Det kan innebära att dela upp det i faktorer. När vi faktoriserar, delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt. Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Faktorisering
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Faktorisering
- Bryta ut
- Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna
Förkunskaper
Koncept
Faktorisering
Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex. 30=2⋅3⋅5 eller 4x3=2⋅2⋅x⋅x⋅x. Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex. 2+2+2=3⋅2. Ett tal som har faktoriserats så att alla faktorer är primtal sägs ha primtalfaktoriserats.
Metod
Bryta ut
Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket x2+2x variabeln x. Bryts den ut får man resultatet x(x+2). Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.
I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är 2x kan man bryta ut 2, x eller båda.
Exempel
Faktorisera uttryck
Faktorisera uttrycket 20x2y3 så långt det går.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2 \\times 2 \\times 5 \\times x \\times x \\times y \\times y \\times y"]}}
Ledtråd
Skriv om varje potens som en produkt. Vad är primtalsfaktoriseringen av 20?
Lösning
Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.
20x2y3
PowToProdThreeFac
a3=a⋅a⋅a
20x2⋅y⋅y⋅y
PowToProdTwoFac
a2=a⋅a
20⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Rewrite
Skriv 20 som 4⋅5
4⋅5⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Rewrite
Skriv 4 som 2⋅2
2⋅2⋅5⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Exempel
Bryt ut given faktor
Bryt ut 2x ur uttrycket 4x3+8x2.
Om vi bryter ut 2x ur termerna återstår alltså 2x2 respektive 4x. Det ger resultatet
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x(2x^2+4x)"]}}
Lösning
Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut 2x ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en 4:a, som kan skrivas 2⋅2, samt x3, som kan skrivas x⋅x2. Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x3 | 2x⋅2x2 |
| 8x2 | 2x⋅4x |
2x(2x2+4x).
Exempel
Bryt ut största möjliga faktor
Bryt ut största möjliga faktor ur 4x3+8x2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x^2(x+2)"]}}
Ledtråd
Hitta den största gemensamma faktorn mellan båda termerna i det givna uttrycket.
Lösning
Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x3 | 2⋅2⋅x⋅x⋅x |
| 8x2 | 2⋅2⋅2⋅x⋅x |
Båda termer innehåller två 2:or och två x. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 2⋅2⋅x⋅x eller skrivet som en produkt: 4x2.
4x3+8x2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
2⋅2⋅x⋅x⋅x+2⋅2⋅2⋅x⋅x
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
2⋅2⋅x⋅x⋅x+2⋅2⋅x⋅x⋅2
Multiply
Multiplicera faktorer
4x2⋅x+4x2⋅2
FactorOut
Bryt ut 4x2
4x2(x+2)
Regel
Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna
Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.
I uttrycket x2−16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x2−42, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen
a2−b2=(a+b)(a−b)
x2−42=(x+4)(x−4).
a2±2ab+b2=(a±b)2
Övning
Faktorisera de kvadratiska uttrycken
Faktorisera det givna kvadratiska uttrycket antingen som konjugerade binom eller som kvadraten av ett binom. Parenteserna och kvadratpotensen kan skrivas med ( , ) , och x2.
Faktorisering
Uppgift 4.1
Faktorisera 2x2+2x+3x+3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["(2x+3)*(x+1)","(x+1)*(2x+3)"]}}
security
report
code
security
report
code
Det finns ingen gemensam faktor som kan brytas ut från alla fyra termerna. Däremot kan vi notera att 2x^2 och 2x delar faktorn 2x. Vi ser även att 3x och 3 delar faktorn 3. Vi börjar med att faktorisera dessa.
Nu har vi endast två termer och då ser vi att dessa båda innehåller (x+1). Det betyder att vi kan bryta ut den.
security
report
code
Förenkla 5b(a−b)+b(b−a) så långt det går genom att använda faktorisering.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4b(a-b)","-4b(b-a)","(a-b)4b","(b-a)(-4b)"]}}
security
report
code
security
report
code
Om vi tittar på uttrycket ser vi att faktorerna innanför parenteserna påminner om varandra. 5b (a-b)+b (b-a). I första parentesen subtraheras b från a och i andra parentesen är det tvärtom. Hur kan vi skriva om en av parenteserna så att de matchar varandra? Vi försöker skriva om den andra parentesen.
Vi kan alltså byta plats på a och b, men då får vi ett minustecken framför parentesen. Vi sätter in det i uttrycket.
Nu har vi skrivit om den första parentesen så att den matchar den andra. Eftersom termerna delar faktorn (a-b) kan vi bryta ut denna.
Vi förenklade uttrycket till 4b(a-b). Vi hade också kunnat skriva om den första parentesen så att den såg ut som den andra. Då hade vi fått förenklingen - 4b(b-a), vilket är samma sak.
security
report
code
Bryt ut 144 ur uttrycket 712v+56w+288.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["v"],"constants":["w"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["144(\\dfrac{v}{84}+ \\dfrac{w}{120}+ 2)","(\\dfrac{v}{84}+ \\dfrac{w}{120}+ 2)*144"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill på något sätt få fram faktorn 144. 288 är dubbelt så stort som 144 så det kan vi skriva som 144*2. För att få faktorn 144 i bråken måste vi förlänga dem. Det första bråket kan förlängas med 12 för att få 144 i täljaren.
Det är kanske inte uppenbart hur man får fram 144 det andra bråket, men börja med att förlänga med 2. Då får vi 12 i täljaren och kan sedan förlänga med 12.
Nu kan vi bryta ut 144.
security
report
code
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{2}(16x^2 - 40x+ 200)","(16x^2 - 40x+ 200)(\\dfrac{1}{2})"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2}{3}(90x^3 - 6x+15)","(90x^3 - 6x+15)(\\dfrac{2}{3})"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{8}(4x^2 - 2x+8)","(4x^2 - 2x+8)(\\dfrac{1}{8})"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bryta ut 12 skriver vi om talen som bråk genom att förlänga dem med 2. Vi kan därefter faktorisera de tre termerna.
Nu innehåller alla tre termer faktorn 12. Vi bryter ut denna.
Vi gör samma sak igen men nu förlänger vi med 3. Då får vi ett bråk med nämnaren 3 och genom att skriva om täljaren som två faktorer där den ena är 2 kan vi bryta ut 23.
Vi skriver om termerna som bråk och förlänger så att de får nämnaren 8. Därefter bryter vi ut 18.
security
report
code
Faktorisering
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll