Faktorisering

I högerledet har vi ett faktoriserat uttryck som ska vara lika med summan i vänsterledet. Vi ser att faktorn 4 finns i alla termer i vänsterledet, så vi bryter ut den så att även vänsterledet är faktoriserat.

Vänster- och högerledet har nu samma form vi kan identifiera vad A och B måste vara med inspektionsmetoden. A står utanför parentesen och måste därför vara lika med 4, medan B står innanför, vilket betyder att det är lika med 2. Svaret är alltså A = 4.

Högerledet är en produkt där den ena faktorn är 3. Kan vi bryta ut en trea i vänsterledet? Ja, 9, 12 och 21 ingår alla i treans multiplikationstabell.

Med inspektionsmetoden kan vi genom att jämföra termerna som har med x att göra samt konstanttermerna dra slutsatsen att A=-4

Vi bryter ut största möjliga faktor i både nämnare och täljare. Både 8 och 12 är delbara med 4 så vi kan bryta ut en fyra i täljaren. Vidare finns även x i båda termer, så den största gemensamma faktorn är 4x. Vi bryter ut den.

I nämnaren har vi ett x i båda termer så vi bryter ut det.

Nu ser vi att faktorerna x och (2x-3) finns både i täljaren och nämnaren, vilket innebär att de kan förkortas bort.

Uttrycket förenklades till 4.

Vi gör samma sak igen, dvs. bryter ut den största möjliga faktorn i täljare och nämnare och förkortar. I täljaren kan vi bryta ut 6ab och i nämnaren 4a^2b^2.

Uttrycket förenklades till 32ab.

Vi börjar med att multiplicera in 2x^2 i parentesen och förenkla täljaren.

Nu kan vi bryta ut x^3 i täljaren.

Om vi tittar på uttrycket ser vi att faktorerna innanför parenteserna påminner om varandra. 5b (a-b)+b (b-a). I första parentesen subtraheras b från a och i andra parentesen är det tvärtom. Hur kan vi skriva om en av parenteserna så att de matchar varandra? Vi försöker skriva om den andra parentesen.

Vi kan alltså byta plats på a och b, men då får vi ett minustecken framför parentesen. Vi sätter in det i uttrycket.

Nu har vi skrivit om den första parentesen så att den matchar den andra. Eftersom termerna delar faktorn (a-b) kan vi bryta ut denna.

Vi förenklade uttrycket till 4b(a-b). Vi hade också kunnat skriva om den första parentesen så att den såg ut som den andra. Då hade vi fått förenklingen - 4b(b-a), vilket är samma sak.

För att bryta ut 12 skriver vi om talen som bråk genom att förlänga dem med 2. Vi kan därefter faktorisera de tre termerna.

Nu innehåller alla tre termer faktorn 12. Vi bryter ut denna.

Vi gör samma sak igen men nu förlänger vi med 3. Då får vi ett bråk med nämnaren 3 och genom att skriva om täljaren som två faktorer där den ena är 2 kan vi bryta ut 23.

Vi skriver om termerna som bråk och förlänger så att de får nämnaren 8. Därefter bryter vi ut 18.

Vad vet vi om talen? I det första talet har X platsvärdet tio och Y platsvärdet ett. I det andra talet är det tvärtom. Y står nu på tiotalsplatsen och X på entalsplatsen. Vi kan använda detta för att skriva om summan som (X * 10+Y * 1)+(Y* 10 + X* 1). Om vi nu kan visa att det går att bryta ut ett tal från uttrycket kan vi alltid dividera med denna faktor. Vi förenklar och faktoriserar.

Eftersom vi kan bryta ut 11 från talet kan vi alltid dividera summan med detta tal oavsett värde på X och Y. Pröva gärna med ett eget exempel, t.ex. talet 23. Byter vi plats på siffrorna får vi 32. Summan 23+32 är 55, vilket ger heltalet 5 då det divideras med 11.

Vad vet vi om talen? I det första talet har X platsvärdet hundra, Y har värdet tio och Z är entalet. I nästa tal är det tvärtom. Z står nu på hundratalsplatsen och X på entalsplatsen. Vi kan använda detta för att skriva om differensen som (X * 100+Y * 10+Z * 1)-(Z* 100 + Y* 10+X* 1). Om vi nu kan visa att det går att bryta ut ett tal från uttrycket kan vi alltid dividera med denna faktor. Vi förenklar och faktoriserar.

Eftersom vi kan bryta ut 99 från talet kan vi alltid dividera differensen med detta tal oavsett värde på X, Y och Z. Prova gärna med ett eget tal, t.ex. talet 123. Byter vi plats på hundra- och entalssiffran får vi 321. Vi får då differensen 123-321=-198 som ger heltalet -2 då det divideras med 99. Observera alltså att även ett negativt tal kan vara delbart med 99.

Låt oss försöka lösa ut y i ekvationen. Vänsterledet består av två kvadrater och en term som innehåller en tvåa. Det är ju ganska likt första kvadreringsregeln: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Denna kan vi därför använda för att faktorisera vänsterledet.

Vad betyder då detta? Det betyder att summan av x och y är lika med -3 eller 3. Det ger oss två fall: x+y=3 och x+y=-3. Om vi löser ut y ur båda ekvationer får vi y=- x +3 och y=- x-3. Detta är två olika räta linjer som båda är lösningar till sambandet.