body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Matematik 2a /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Faktorisering
Bryta ut
Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Förkunskaper

Koncept

Faktorisering

Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex.

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

eller

4 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x .

Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex.

2 + 2 + 2 = 3 \cdot 2 .

Ett tal som har faktoriserats så att alla faktorer är primtal sägs ha primtalfaktoriserats.

Metod

Bryta ut

Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket

x^{2} + 2 x

variabeln

x .

Bryts den ut får man resultatet

x (x + 2) .

Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.

Ett applet som visar faktorisering av algebraiska uttryck: bryta ner termer i faktorer, identifiera största gemensamma faktor och skriva om uttrycket som en produkt av denna faktor och de återstående termerna inom parentes.

I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är

2 x

kan man bryta ut

2,

x

eller båda.

Exempel

Faktorisera uttryck

Faktorisera uttrycket

20 x^{2} y^{3}

så långt det går.

Ledtråd

Skriv om varje potens som en produkt. Vad är primtalsfaktoriseringen av $20$ ?

Lösning

Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.

20 x^{2} y^{3}

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

20 x^{2} \cdot y \cdot y \cdot y

PowToProdTwoFac

$a^{2} = a \cdot a$

20 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Rewrite

Skriv $20$ som $4 \cdot 5$

4 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Rewrite

Skriv $4$ som $2 \cdot 2$

2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Exempel

Bryt ut given faktor

Bryt ut

2 x

ur uttrycket

4 x^{3} + 8 x^{2} .

Ledtråd

Skriv varje term i det givna uttrycket som en faktor som inkluderar $2 x .$

Lösning

Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut $2 x$ ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en $4 : a,$ som kan skrivas $2 \cdot 2,$ samt $x^{3},$ som kan skrivas $x \cdot x^{2} .$ Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 x \cdot 2 x^{2}$
$8 x^{2}$	$2 x \cdot 4 x$

Om vi bryter ut

2 x

ur termerna återstår alltså

2 x^{2}

respektive

4 x .

Det ger resultatet

2 x (2 x^{2} + 4 x) .

Exempel

Bryt ut största möjliga faktor

Bryt ut största möjliga faktor ur

4 x^{3} + 8 x^{2} .

Ledtråd

Hitta den största gemensamma faktorn mellan båda termerna i det givna uttrycket.

Lösning

Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
$8 x^{2}$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

Båda termer innehåller två $2 : or$ och två $x .$ Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså $2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$ eller skrivet som en produkt: $4 x^{2} .$

4 x^{3} + 8 x^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot 2

Multiply

Multiplicera faktorer

4 x^{2} \cdot x + 4 x^{2} \cdot 2

FactorOut

Bryt ut $4 x^{2}$

4 x^{2} (x + 2)

Regel

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

I uttrycket

x^{2} - 16

kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså

x^{2} - 4^{2},

och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen

x^{2} - 4^{2} = (x + 4) (x - 4) .

$a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}$

Övning

Faktorisera de kvadratiska uttrycken

Faktorisera det givna kvadratiska uttrycket antingen som konjugerade binom eller som kvadraten av ett binom. Parenteserna och kvadratpotensen kan skrivas med $(,$ $),$ och $x^{2} .$

Appletet genererar slumpmässigt algebraiska uttryck som innehåller parenteser och uppmanar till den korrekta förenklingen av uttrycket.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning