Logga in
| 8 sidor teori |
| 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
Skriv om varje potens som en produkt. Vad är primtalsfaktoriseringen av 20?
Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.
a3=a⋅a⋅a
a2=a⋅a
Skriv 20 som 4⋅5
Skriv 4 som 2⋅2
Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut 2x ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en 4:a, som kan skrivas 2⋅2, samt x3, som kan skrivas x⋅x2. Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.
Term | Faktorisera |
---|---|
4x3 | 2x⋅2x2 |
8x2 | 2x⋅4x |
Hitta den största gemensamma faktorn mellan båda termerna i det givna uttrycket.
Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.
Term | Faktorisera |
---|---|
4x3 | 2⋅2⋅x⋅x⋅x |
8x2 | 2⋅2⋅2⋅x⋅x |
Båda termer innehåller två 2:or och två x. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 2⋅2⋅x⋅x eller skrivet som en produkt: 4x2.
Dela upp i faktorer
Omarrangera faktorer
Multiplicera faktorer
Bryt ut 4x2
a2−b2=(a+b)(a−b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
Faktorisera det givna kvadratiska uttrycket antingen som konjugerade binom eller som kvadraten av ett binom. Parenteserna och kvadratpotensen kan skrivas med ( , ) , och x2.
Förenkla bråket så långt som möjligt genom att faktorisera.
Termerna 11b och b^2 delar faktorn b. Vi kan alltså bryta ut ett b i nämnaren och stryka ett b i täljaren.
Faktorn 10a^2 kan skrivas om som 5a* 2a. Vi kan alltså bryta ut 5a i täljaren och förkorta jämnt mot 5a i nämnaren.
Eftersom 64 kan skrivas som produkten 8* 8 kan vi bryta ut 8 i täljaren. I nämnaren kan första termen skrivas som produkten 2* 8 och därför kan 2 brytas ut.
Faktorn (8+x) finns i både täljaren och nämnaren så denna kan förkortas. Vi kan även förkorta 8 med 2.
Vi kommer att distribuera faktorn 6 till varje term inom parentesen. Därefter kommer vi att kombinera termer av samma slag för att förenkla uttrycket.
Uttrycket förenklades till a-b+8.
Nedanstående band är av olika längd. Till höger om banden står uttryck som beskriver bandens längd.
Genom att dela uttrycket för det blå bandets längd med uttrycket för det gröna bandets längd kan vi bestämma förändringsfaktorn mellan längderna: 8a^2+40a/5a^2+25a. Hur kan vi beräkna detta utan att veta vad a är? Jo, vi kan faktorisera täljare och nämnare och förkorta. Faktorn a finns i alla termer så vi börjar med att bryta ut den.
Både 8 och 40 ingår i åttans multiplikationstabell, och 5 och 25 ingår femmans. Det betyder att vi kan bryta ut en åtta i täljaren och en femma i nämnaren.
Förändringsfaktorn är 1,6. Detta betyder att det blå bandet är 60 % längre än det gröna.
Nu vill vi veta vilken förändringsfaktor som det röda bandets längd ska multipliceras med för att ge det gröna bandet längd. Återigen använder vi formeln för att beräkna förändringsfaktorn.
5a^2+25a/9a^2+45a
Vi förenklar högerledet i ekvationen.
Förändringsfaktorn är 0,56. Det gröna bandets längd är med andra ord 56 % av det röda, vilket är samma sak som att det gröna bandet är bandet 44 % kortare än det röda.
Förkorta bråket så långt det går.
Vi bryter ut största möjliga faktor i både nämnare och täljare. Både 8 och 12 är delbara med 4 så vi kan bryta ut en fyra i täljaren. Vidare finns även x i båda termer, så den största gemensamma faktorn är 4x. Vi bryter ut den.
I nämnaren har vi ett x i båda termer så vi bryter ut det.
Nu ser vi att faktorerna x och (2x-3) finns både i täljaren och nämnaren, vilket innebär att de kan förkortas bort.
Uttrycket förenklades till 4.
Vi gör samma sak igen, dvs. bryter ut den största möjliga faktorn i täljare och nämnare och förkortar. I täljaren kan vi bryta ut 6ab och i nämnaren 4a^2b^2.
Uttrycket förenklades till 32ab.
Vad vet vi om talen? I det första talet har X platsvärdet tio och Y platsvärdet ett. I det andra talet är det tvärtom. Y står nu på tiotalsplatsen och X på entalsplatsen. Vi kan använda detta för att skriva om summan som (X * 10+Y * 1)+(Y* 10 + X* 1). Om vi nu kan visa att det går att bryta ut ett tal från uttrycket kan vi alltid dividera med denna faktor. Vi förenklar och faktoriserar.
Eftersom vi kan bryta ut 11 från talet kan vi alltid dividera summan med detta tal oavsett värde på X och Y. Pröva gärna med ett eget exempel, t.ex. talet 23. Byter vi plats på siffrorna får vi 32. Summan 23+32 är 55, vilket ger heltalet 5 då det divideras med 11.
Vad vet vi om talen? I det första talet har X platsvärdet hundra, Y har värdet tio och Z är entalet. I nästa tal är det tvärtom. Z står nu på hundratalsplatsen och X på entalsplatsen. Vi kan använda detta för att skriva om differensen som (X * 100+Y * 10+Z * 1)-(Z* 100 + Y* 10+X* 1). Om vi nu kan visa att det går att bryta ut ett tal från uttrycket kan vi alltid dividera med denna faktor. Vi förenklar och faktoriserar.
Eftersom vi kan bryta ut 99 från talet kan vi alltid dividera differensen med detta tal oavsett värde på X, Y och Z. Prova gärna med ett eget tal, t.ex. talet 123. Byter vi plats på hundra- och entalssiffran får vi 321. Vi får då differensen 123-321=-198 som ger heltalet -2 då det divideras med 99. Observera alltså att även ett negativt tal kan vara delbart med 99.
Låt oss försöka lösa ut y i ekvationen. Vänsterledet består av två kvadrater och en term som innehåller en tvåa. Det är ju ganska likt första kvadreringsregeln: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Denna kan vi därför använda för att faktorisera vänsterledet.
Vad betyder då detta? Det betyder att summan av x och y är lika med -3 eller 3. Det ger oss två fall: x+y=3 och x+y=-3. Om vi löser ut y ur båda ekvationer får vi y=- x +3 och y=- x-3. Detta är två olika räta linjer som båda är lösningar till sambandet.