2. Faktorisering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
2.
Faktorisering
Faktorisering i matte 2a innebär att skriva ett tal eller uttryck som en multiplikation. Det kan innebära att dela upp det i faktorer. När vi faktoriserar, delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt. Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Faktorisering
Sida av 6
Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex. 30=2⋅3⋅5 eller 4x3=2⋅2⋅x⋅x⋅x. Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex. 2+2+2=3⋅2.
Exempel
Faktorisera uttryck
Faktorisera uttrycket 20x2y3 så långt det går.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2 \\times 2 \\times 5 \\times x \\times x \\times y \\times y \\times y"]}}
Ledtråd
Skriv om varje potens som en produkt. Vad är primtalsfaktoriseringen av 20?
Lösning
Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.
20x2y3
PowToProdThreeFac
a3=a⋅a⋅a
20x2⋅y⋅y⋅y
PowToProdTwoFac
a2=a⋅a
20⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Rewrite
Skriv 20 som 4⋅5
4⋅5⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Rewrite
Skriv 4 som 2⋅2
2⋅2⋅5⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Metod
Bryta ut
Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket x2+2x variabeln x. Bryts den ut får man resultatet x(x+2). Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.
I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är 2x kan man bryta ut 2, x eller båda.
Exempel
Bryt ut given faktor
Bryt ut 2x ur uttrycket 4x3+8x2.
Om vi bryter ut 2x ur termerna återstår alltså 2x2 respektive 4x. Det ger resultatet
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x(2x^2+4x)"]}}
Lösning
Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut 2x ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en 4:a, som kan skrivas 2⋅2, samt x3, som kan skrivas x⋅x2. Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x3 | 2x⋅2x2 |
| 8x2 | 2x⋅4x |
2x(2x2+4x).
Exempel
Bryt ut största möjliga faktor
Bryt ut största möjliga faktor ur 4x3+8x2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x^2(x+2)"]}}
Ledtråd
Hitta den största gemensamma faktorn mellan båda termerna i det givna uttrycket.
Lösning
Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x3 | 2⋅2⋅x⋅x⋅x |
| 8x2 | 2⋅2⋅2⋅x⋅x |
Båda termer innehåller två 2:or och två x. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 2⋅2⋅x⋅x eller skrivet som en produkt: 4x2.
4x3+8x2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
2⋅2⋅x⋅x⋅x+2⋅2⋅2⋅x⋅x
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
2⋅2⋅x⋅x⋅x+2⋅2⋅x⋅x⋅2
Multiply
Multiplicera faktorer
4x2⋅x+4x2⋅2
FactorOut
Bryt ut 4x2
4x2(x+2)
Regel
Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna
Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.
I uttrycket x2−16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x2−42, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen
a2−b2=(a+b)(a−b)
x2−42=(x+4)(x−4).
a2±2ab+b2=(a±b)2
Faktorisering
Övningar
Utgå från uttrycket 12x3+28x.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x(3x^2+7)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x(3x^2+7)"]}}
security
report
code
security
report
code
Att faktorisera så långt som möjligt innebär att man delar upp termerna i så små faktorer som möjligt: 2 * 2 * 3* x * x * x+2 * 2 * 7 * x. När vi nu ska bryta ut 4x måste vi hitta denna faktor i båda termerna. Vi vet att 4x=2 * 2 * x, så vi bryter ut detta och förenklar.
När vi brutit ut 4x får vi alltså uttrycket 4x(3x^2 + 7).
Här ska vi bara faktorisera så mycket som är nödvändigt för att kunna bryta ut 4x. Vi försöker därför faktorisera termerna så att 4x direkt blir en faktor. För första termen, 12x^3, använder vi då att 12=4*3 och att x^3=x* x^2. Vi tänker på samma sätt för andra termen.
Vi får förstås samma resultat: 4x(3x^2 + 7).
security
report
code
Bryt ut den största gemensamma faktorn.
4x+10
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2(2x + 5)","(2x + 5)2"]}}
20x2+12x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x(5x + 3)","(5x + 3)4x"]}}
5x2−2x+3xy
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x(5x - 2 + 3y)","(5x - 2 + 3y)x"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom både 4 och 10 är jämna tal kan vi bryta ut faktorn 2.
2x och 5 delar inga faktorer så inget mer kan brytas ut.
20 och 12 är jämna tal så faktorn 2 kan brytas ut från båda. De innehåller också faktorn x så vi börjar med att bryta ut termen 2x.
Vi kan faktorisera ytterligare. 10 och 6 också är jämna tal, så vi kan bryta ut ytterligare en tvåa.
5x och 3 delar inga faktorer så inget mer kan brytas ut.
Termerna i uttrycket har delar faktorn x. Vi bryter ut det.
Ingen av termerna i parentesen har någon gemensam faktor så nu kommer vi inte längre.
security
report
code
Bryt ut största möjliga faktor i uttrycken.
5x+25
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5(x+5)","(x+5)5"]}}
4a+4b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4(a+b)","(a+b)4"]}}
81x−27y
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["27(3x-y)","(3x-y)27"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den största möjliga faktorn som kan brytas ut faktoriserar vi båda termer och identifierar vilka faktorer som är gemensamma.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 5x | 5* x |
| 25 | 5* 5 |
När båda termer har brutits ner i faktorer ser vi att båda innehåller en 5:a så vi kan bryta ut denna ur uttrycket.
Vi gör på samma sätt igen och börjar med att bryta ner termerna i faktorer.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 4a | 2* 2* a |
| 4b | 2* 2* b |
När båda termer har brutits ner i faktorer ser vi att båda innehåller två 2:or som vi kan bryta ut ur uttrycket. Vi multiplicerar dock ihop dem först så att vi bryter ut talet 4.
Vi bryter ner termerna i faktorer.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 81x | 3 * 3 * 3 * 3 * x |
| 27y | 3 * 3 * 3 * y |
När båda termer bryts ner i faktorer ser vi att båda innehåller tre 3:or så vi kan bryta ut dessa i uttrycket. För att göra saker lite enklare att hantera multiplicerar först vi ihop dem till talet 27.
security
report
code
Bryt ut största möjliga faktor.
x3−5x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x(x^2-5)","(x^2-5)x"]}}
9x−6y+12
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3(3x - 2y + 4)","(3x - 2y + 4)3"]}}
security
report
code
security
report
code
Båda termer innehåller faktorn x, så vi bryter ut den.
När vi ska faktorisera ett uttryck börjar vi med att undersöka termerna för att se om de har någon faktor gemensam. 9, 6 och 12 är alla delbara med 3 så vi kan bryta ut en trea.
security
report
code
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3x(-x +3)","(-x +3)3x","3x(3-x)","(3-x)3x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-120"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den största möjliga faktorn som kan brytas ut delar vi upp båda termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma. Vi ser minustecknet som faktorn - 1.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| - 3x^2 | - 1 * 3 * x * x |
| 9x | 3* 3 * x |
Vi ser att de gemensamma faktorerna är 3 och x, så vi bryter ut 3x.
Nu sätter vi in x=- 5 i uttrycket och förenklar.
security
report
code
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5(2x + 1)","(2x + 1)5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x(1 - x)","(1 - x)x"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att dela upp termerna i faktorer. För talet 5 kan det verka som att 5 är den enda faktorn, men det finns även en faktor 1 i alla tal. Oftast brukar man inte skriva ut den när man delar upp tal och uttryck i faktorer, men i det här fallet måste vi göra det för att se vad som blir kvar när vi bryter ut femman.
Det faktoriserade uttrycket blir 5(2x + 1) och vi kan se att det blir en etta kvar där femman fanns tidigare.
Nu när vi bryter ut x ur x - x^2 måste vi tänka på samma sätt som i förra uppgiften, alltså att faktorn 1 finns i termen x.
Vi ser igen att när vi bryter ut en hel term blir 1 kvar, och det faktoriserad uttrycket är x(1-x).
security
report
code
Faktorisering
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll