Utforska Faktorisering i Matte 2a med Mathleaks

Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex.

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

eller

4 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x

. Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex.

2 + 2 + 2 = 3 \cdot 2

Faktorisera uttryck

fullscreen

Faktorisera uttrycket $20 x^{2} y^{3}$ så långt det går.

Visa Lösning

Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.

20 x^{2} y^{3}

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

20 x^{2} \cdot y \cdot y \cdot y

PowToProdTwoFac

$a^{2} = a \cdot a$

20 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Rewrite

Skriv $20$ som $4 \cdot 5$

4 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Rewrite

Skriv $4$ som $2 \cdot 2$

2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Metod

Bryta ut

Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket $x^{2} + 2 x$ variabeln $x$ . Bryts den ut får man resultatet $x (x + 2)$ . Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.

I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är

2 x

kan man bryta ut

2

x

eller båda.

Bryt ut given faktor

fullscreen

Bryt ut $2 x$ ur uttrycket $4 x^{3} + 8 x^{2} .$

Visa Lösning

Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut $2 x$ ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en $4$ :a, som kan skrivas $2 \cdot 2,$ samt $x^{3},$ som kan skrivas $x \cdot x^{2} .$ Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 x \cdot 2 x^{2}$
$8 x^{2}$	$2 x \cdot 4 x$

Om vi bryter ut

2 x

ur termerna återstår alltså

2 x^{2}

respektive

4 x .

Det ger resultatet

2 x (2 x^{2} + 4 x) .

Bryt ut största möjliga faktor

fullscreen

Bryt ut största möjliga faktor ur $4 x^{3} + 8 x^{2} .$

Visa Lösning

Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
$8 x^{2}$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

Båda termer innehåller två 2:or och två $x$ . Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså $2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$ eller skrivet som en produkt: $4 x^{2} .$

4 x^{3} + 8 x^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot 2

Multiply

Multiplicera faktorer

4 x^{2} \cdot x + 4 x^{2} \cdot 2

FactorOut

Bryt ut $4 x^{2}$

4 x^{2} (x + 2)

Regel

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer. I uttrycket $x^{2} - 16$ kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså $x^{2} - 4^{2}$ , och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen

x^{2} - 4^{2} = (x + 4) (x - 4) .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Faktorisera uttryck

Exempel

Bryt ut given faktor

Exempel

Bryt ut största möjliga faktor