Faktorisering

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex. 30=23530 = 2 \cdot 3 \cdot 5 eller 4x3=22xxx4x^3 = 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x. Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex. 2+2+2=322 + 2 + 2 = 3 \cdot 2.
Uppgift

Faktorisera uttrycket 20x2y320x^2y^3 så långt det går.

Lösning

Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.

20x2y320x^2y^3
20x2yyy20x^2 \cdot y\cdot y\cdot y
20xxyyy20 \cdot x \cdot x \cdot y\cdot y\cdot y
45xxyyy4\cdot 5\cdot x\cdot x \cdot y\cdot y\cdot y
225xxyyy2\cdot 2\cdot 5\cdot x\cdot x \cdot y\cdot y\cdot y
Visa lösning Visa lösning
Metod

Bryta ut

Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket x2+2xx^2 + 2x variabeln xx. Bryts den ut får man resultatet x(x+2)x(x + 2). Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.

4x+2y4x+2y

3a29a3a^2-9a

7ab+4b7ab+4b

6x+606x+60

-4x+4\text{-} 4x+4

12x+24y12x+24y


I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är 2x2x kan man bryta ut 22, xx eller båda.
Uppgift

Bryt ut 2x2x ur uttrycket 4x3+8x2.4x^3+8x^2.

Lösning

Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut 2x2x ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en 44:a, som kan skrivas 22,2\cdot2, samt x3,x^3, som kan skrivas xx2.x\cdot x^2. Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.

Term Faktorisera
4x34x^3 2x2x2{\color{#0000FF}{2x}}\cdot 2x^2
8x28x^2 2x4x{\color{#0000FF}{2x}}\cdot 4x

Om vi bryter ut 2x2x ur termerna återstår alltså 2x22x^2 respektive 4x.4x. Det ger resultatet 2x(2x2+4x). 2x\left(2x^2+4x\right).

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bryt ut största möjliga faktor ur 4x3+8x2.4x^3+8x^2.

Lösning

Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.

Term Faktorisera
4x34x^3 22xxx{\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot x
8x28x^2 222xx{\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#0000FF}{2}}\cdot 2\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot {\color{#0000FF}{x}}

Båda termer innehåller två 2:or och två xx. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 22xx2\cdot 2\cdot x\cdot x eller skrivet som en produkt: 4x2.4x^2.

4x3+8x24x^3+8x^2
Dela upp i faktorer
22xxx+222xx2\cdot 2\cdot x\cdot x\cdot x+2\cdot 2\cdot 2\cdot x \cdot x
22xxx+22xx22\cdot 2\cdot x\cdot x \cdot x+2\cdot 2\cdot x\cdot x \cdot 2
4x2x+4x224x^2 \cdot x+4x^2\cdot 2
4x2(x+2)4x^2\left(x+2\right)
Visa lösning Visa lösning
Regel

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna


Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer. I uttrycket x216x^2 - 16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x242x^2 - 4^2, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen

x242=(x+4)(x4). x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4).

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}