body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1c Visa detaljer

4. Ekvationer

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1a , Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 3

Ekvationer

En ekvation är en likhet mellan två algebraiska uttryck där det finns minst en okänd variabel. Att lösa en ekvation innebär att hitta de värden som gör att likheten stämmer, dessa värden kallas rötter. Det finns olika metoder för att lösa ekvationer, som balansmetoden och inspektionsmetoden. Balansmetoden innebär att man gör likadana ändringar i ekvationens vänster- och högerled tills man får variabeln ensam i det ena eller det andra ledet. Inspektionsmetoden kan användas när vänster- och högerledet har samma struktur, vilket gör att man kan lösa en enklare ekvation istället. Efter att man löst en ekvation kan det vara bra att pröva sin lösning för att vara säker på att man har räknat rätt.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	11 sidor teori
	48 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Ekvationer

Sida av 11

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Ekvation
Ekvationlösning
Balansmetoden
Inspektionsmetoden

Teori

Ekvation

En ekvation är ett matematiskt påstående där uttrycken på båda sidor om likhetstecknet är lika mycket värda. De två sidorna kallas för ekvationens led: vänstra sidan kallas vänsterled och högra sidan kallas högerled.

2 x + 5 = 7 x - 4 v \ddot{a} nsterled ↓ h \ddot{o} gerled likhetstecken

Uttrycken i båda leden innehåller ofta ett eller flera obekanta tal, som brukar skrivas med bokstäver som $x,$ $y,$ $z,$ $a,$ $b$ och så vidare. Dessa bokstäver kallas för variabler i algebraiska uttryck, men i en ekvation har de obekanta talen ett bestämt värde — det är just det värdet vi vill ta reda på. Några exempel på olika ekvationer visas nedan.

Ekvationer med noll, en, två obekanta tal

Att lösa en ekvation betyder att man tar reda på vilket eller vilka värden de obekanta talen måste ha för att ekvationen ska stämma. I vissa fall kan det finnas flera olika värden som gör ekvationen sann.

Teori

Ekvationslösning

En lösning till en ekvation är det värde som det obekanta talet måste ha för att ekvationen ska stämma. Det betyder att båda sidor blir lika när vi sätter in lösningen i ekvationen. Titta på följande ekvation:

x + 1 = 4

Den här ekvationen har lösningen $x = 3,$ eftersom $3$ är det enda värdet på $x$ som gör att båda sidor blir lika. Det betyder att vänsterledet och högerledet är lika när vi byter ut det obekanta talet mot $3 .$

x + 1 = 4

Substitute

$x = 3$

3 + 1 = ? 4

AddTerms

Addera termer

4 = 4 ✓

Om man sätter in värden som inte är lösningar i ekvationen, blir högerledet inte lika med vänsterledet. Då använder man tecknet $\neq =,$ som betyder skilt från, eller inte lika med. Titta vad som händer om vi sätter in $x = 1$ i ekvationen.

x + 1 = 4

Substitute

$x = 1$

1 + 1 = ? 4

AddTerms

Addera termer

2 \neq = 4 \times

Alltså är

x = 1

inte en lösning till ekvationen.

Vissa ekvationer går inte att lösa – det finns helt enkelt inget värde som gör att båda sidor blir lika. Titta på följande exempel:

x = x + 1

Ett tal kan aldrig vara lika med sig självt plus $1$ — det är omöjligt. Därför har den här ekvationen ingen lösning. Men en ekvation kan också ha flera lösningar, eller till och med oändligt många lösningar. Det betyder att alla värden på det obekanta talet gör att båda sidor blir lika.

x + x = 2 x

Den här ekvationen är sann för alla värden på $x,$ eftersom uttrycket i vänsterled och högerled kan förenklas till samma sak.

x + x = 2 x ⟺ 2 x = 2 x

Extra

Ersättningsmängd

Ibland utgår man från en ersättningsmängd — en lista med möjliga lösningar — för att hitta vilka värden som faktiskt löser en ekvation. Man provar då att sätta in varje värde i ekvationen och ser om det stämmer. Titta på följande ekvation och dess ersättningsmängd:

Ekvation : Ers \ddot{a} ttningsm \ddot{a} ngd : x - 5 = 3 {5, 6, 7, 8}

I tabellen nedan provar vi att sätta in varje värde i ekvationen och ser om den stämmer.

$x$	Ersätta	Är båda sidor lika?
$5$	$5 - 5 = ? 3$	$0 \neq = 3 \times$
$6$	$6 - 5 = ? 3$	$1 \neq = 3 \times$
$7$	$7 - 5 = ? 3$	$2 \neq = 3 \times$
$8$	$8 - 5 = ? 3$	$3 = 3 ✓$

Som vi såg i tabellen är $3$ den enda lösningen till ekvationen.

Teori

Balansmetoden

En vanlig metod för att lösa ekvationer är balansmetoden. Den går ut på att man gör samma sak på båda sidor av ekvationen, så att balansen mellan vänsterled och högerled behålls. Titta på ekvationen nedan:

2 x - 4 = 10

I den här ekvationen kan vi ta bort subtraktionen i vänsterledet genom att addera $4$ i båda led.

2 x - 4 = 10

AddEqn

$VL + 4 = HL + 4$

2 x - 4 + 4 = 10 + 4

Förenkla vänsterled

2 x - 4 + 4 = 10 + 4

AddTerms

Addera termer

2 x = 14

Nästa steg är att dividera båda leden i ekvationen med $2,$ så att multiplikation med $2$ försvinner och $x$ blir ensamt.

2 x = 14

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

\frac{2 x}{2} = \frac{1 4}{2}

CancelCommonFac

Förkorta

\frac{2 x}{2} = \frac{1 4}{2}

SimpQuot

Förenkla kvot

x = \frac{1 4}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x = 7

Som vi har sett används de fyra räknesätten för att få det obekanta talet ensamt på ena sidan av ekvationen. Addition och subtraktion tar ut varandra, precis som multiplikation och division gör.

Addition Multiplikation ⇆ Subtraktion ⇆ Division

Teori

Inspektionsmetoden

Vissa ekvationer där vänster- och högerledet har samma struktur går att lösa med inspektionsmetoden. Det är en metod som kan göra uppgifter som är svåra att lösa med balansmetoden mycket enklare, men det är inte alltid den går att använda. För att det ska gå måste de två leden vara tillräckligt lika, exempelvis som i ekvationen

3^{x - 5} + 7 = 3^{2} + 7 .

I det här fallet är vänster- och högerledet identiska så när som på exponenten till trean. För att likheten ska gälla måste det som står i exponenterna vara lika, så det går lika bra att lösa den enklare ekvationen

x - 5 = 2 .

Namnet på metoden kommer från att man inspekterar de två leden och ser om det finns några likheter. Ibland kan det dock behövas några omskrivningar för att vänster- och högerledet faktiskt ska se så pass lika ut att inspektionsmetoden kan användas.

Exempel

Ställ upp en ekvation

Ida har köpt

8

bullar som hon och kollegan Hugo äter upp under en eftermiddag. Hugo är hungrig så han äter tre gånger så många bullar som Ida. Ställ upp en ekvation som beskriver antalet bullar som Hugo och Ida åt.

Ledtråd

Använd en variabel för att representera hur många kakor Ida åt. Hur många kakor åt Hugo? Summan av dessa uttryck ska vara lika med $8 .$

Lösning

Vi kallar antalet bullar som Ida åt för

x .

Hugo åt

3

gånger fler, vilket kan uttryckas som

3 x .

Tillsammans åt de alltså

x + 3 x

bullar. Eftersom de tillsammans åt alla bullarna ska summan vara lika med

8 .

Vi får då ekvationen

x + 3 x = 8 .

Exempel

Pröva en ekvations lösning

Albin har löst ekvationen

4 (x + 5) = 32

och fått roten

x = 3 .

Pröva lösningen och avgör om han har löst ekvationen korrekt.

Ledtråd

Ersätt Albins lösning i ekvationen. Fås ett sant påstående?

Lösning

För att kontrollera lösningen sätter man in

x = 3

i ursprungsekvationen och förenklar. Om likheten stämmer är roten korrekt!

4 (x + 5) = 32

Substitute

$x = 3$

4 (3 + 5) = ? 32

AddTerms

Addera termer

4 \cdot 8 = ? 32

Multiply

Multiplicera faktorer

32 = 32 ✓

Likheten är uppfylld, så

x = 3

är en giltig rot. Albin har löst ekvationen rätt!

Exempel

Ekvation med variabel i båda led

Lös ekvationen

8 x + 4 = 4 x - 8 .

Ledtråd

Använd balansmetoden.

Lösning

I den här ekvationen finns det termer med

x

både i vänster- och högerledet. Då måste man börja med att flytta över dem till samma sida och förenkla så att det bara finns en variabelterm kvar. Vi börjar med att subtrahera

4 x

på båda sidor för att bli av med den termen i högerledet.

8 x + 4 = 4 x - 8

SubEqn

$VL - 4 x = HL - 4 x$

8 x + 4 - 4 x = 4 x - 8 - 4 x

SimpTerms

Förenkla termer

4 x + 4 = - 8

Nu finns det bara en

x -

term kvar i ekvationen och vi kan nu fortsätta med att lösa ut

x .

4 x + 4 = - 8

SubEqn

$VL - 4 = HL - 4$

4 x + 4 - 4 = - 8 - 4

SimpTerms

Förenkla termer

4 x = - 12

DivEqn

$VL / 4 = HL / 4$

\frac{4 x}{4} = \frac{- 1 2}{4}

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 3

Ekvationen har alltså roten

- 3 .

Exempel

Lös ekvationen

\frac{x}{3} + \frac{7}{1 5} = \frac{3}{5} .

Svara med ett bråk.

Ledtråd

Använd balansmetoden.

Lösning

Vi börjar med att subtrahera

\frac{7}{1 5}

från båda led och förenklar därefter differensen i högerledet.

\frac{x}{3} + \frac{7}{1 5} = \frac{3}{5}

SubEqn

$VL - \frac{7}{1 5} = HL - \frac{7}{1 5}$

\frac{x}{3} = \frac{3}{5} - \frac{7}{1 5}

ExpandFrac

Förläng med $3$

\frac{x}{3} = \frac{9}{1 5} - \frac{7}{1 5}

SubFrac

Subtrahera bråk

\frac{x}{3} = \frac{9 - 7}{1 5}

SubTerm

Subtrahera term

\frac{x}{3} = \frac{2}{1 5}

Nu multiplicerar vi båda led med

3

för att lösa ut

x

i täljaren.

\frac{x}{3} = \frac{2}{1 5}

MultEqn

$VL \cdot 3 = HL \cdot 3$

\frac{3 x}{3} = \frac{6}{1 5}

SimpQuot

Förenkla kvot

x = \frac{6}{1 5}

ReduceFrac

Förkorta med $3$

x = \frac{2}{5}

Ekvationens lösning är

x = \frac{2}{5} .

Exempel

Ekvation med variabeln i nämnaren

Lös ekvationen

\frac{1 6}{x - 1} = 8 .

Ledtråd

Använd balansmetoden.

Lösning

I en ekvation där variabeln sitter i nämnaren kan man skriva om ekvationen genom att multiplicera båda led med uttrycket som finns i nämnaren.

\frac{1 6}{x - 1} = 8

MultEqn

$VL \cdot (x - 1) = HL \cdot (x - 1)$

16 = 8 (x - 1)

Distr

Multiplicera in $8$

16 = 8 x - 8

AddEqn

$VL + 8 = HL + 8$

24 = 8 x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

8 x = 24

DivEqn

$VL / 8 = HL / 8$

x = 3

Ekvationen har alltså roten

3 .

När man löser ekvationer där en variabel står i nämnaren kan man ibland få så kallade falska rötter. Vi kontrollerar detta genom att sätta in lösningen i ursprungsekvationen och förenkla. Om vänster- och högerleden är lika stora är lösningen giltig.

\frac{1 6}{x - 1} = 8

Substitute

$x = 3$

\frac{1 6}{3 - 1} = ? 8

SubTerm

Subtrahera term

\frac{1 6}{2} = ? 8

CalcQuot

Beräkna kvot

8 = 8

x = 3

är alltså en giltig lösning.

Övning

Lös ekvationer

Lös ekvationerna genom att använda balansmetoden. Om det behövs, avrunda svaret till två decimaler.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Ekvationer

Övningar

Betrakta följande ekvation.

3 x - 7 = 16 + x

Beräkna värdet av ekvationens vänsterled när

x = 12 .

Beräkna värdet av ekvationens högerled när

x = 12 .

Är

x = 12

en lösning till ekvationen?

Vi ersätter x med 12 i vänsterledet och beräknar.

Vänsterleder blir 29 när x = 12.

Vi ersätter x med 12 i högerledet och beräknar.

Högerleder blir 28 när x = 12.

x=12 är en lösning till ekvationen om båda led har samma värde när vi sätter in 12 istället för x. Men 28 är inte lika med 29 så x=12 kan inte vara en lösning till ekvationen.

Visa genom prövning att

x = 3

är en lösning till ekvationen

17 + 5 x = 47 - 4 x - 3 .

Vi sätter in värdet 3 istället för x i ekvationen. Om vänster- och högerledet är lika är x=3 en lösning till ekvationen.

Båda led är lika med 32, så x=3 är ekvationens lösning.

Lös ekvationen

x - 10 = 27

5 y = 20

\frac{z}{3} = 7

2 x + 6 = 5

Vi löser ekvationen genom att addera 10 till ekvationens båda led. På så sätt får vi x ensamt i vänstra ledet.

Ekvationens lösning är x=37.

I ekvationens vänstra led har vi fem stycken y, men vi är bara ute efter ett y. Därför kan vi lösa ekvationen genom att dividera båda led med 5.

I ekvationens vänstra led har vi en tredjedel av z. Multiplicerar vi ekvationens båda led med 3 får vi ett helt z i vänstra ledet.

Vi löser ekvationen genom att dra bort 6 från båda led. Därefter dividerar vi med 2.

x=-0,5 löser ekvationen.

Lös ekvationen.

\frac{1 5}{x} = 25

\frac{1 8}{2 x} = 6

I ekvationen står x i nämnaren. Vi löser den genom att först multiplicera båda led med x så att vi blir av med bråket. Eftersom x står i nämnaren i ursprungsekvationen får det inte vara 0.

Som tidigare är x i nämnaren. Denna gång löser vi ekvationen genom att först multiplicera båda led med 2x. På samma sätt som i förra deluppgiften får x inte vara 0 eftersom det står i nämnaren.

Lös ekvationen.

8 x - 3 = 21

- 7 + 4 x = 29

- 36 = - 5 y + 9

Vi lägger till 3 i båda led. Då får vi 8x ensamt i vänsterledet och därefter dividerar vi med 8 för att lösa ut x.

Vi löser ut 4x genom att addera 7 till båda led. Därefter delar vi med 4.

Vi subtraherar 9 för att få y ensamt i HL.

Är $x = 6$ en lösning till ekvationen?

2 x - 7 = - 1 + x

\frac{4 x}{8} + 9 = 7 + \frac{1 2}{x}

\frac{5 x - 2 x}{3} - 4 = \frac{x}{2} - \frac{3 x}{1 8}

Vi sätter in 6 istället för x och undersöker om likheten gäller.

Höger- och vänsterledet har samma värde så x=6 är en lösning till ekvationen.

På samma sätt som i den förra deluppgiften byter vi ut x mot 6. Sedan beräknar vi värdet av ekvationens vänstra och högra led var för sig.

Högerledet och vänsterledet är inte lika, så x=6 är inte en lösning.

Vi fortsätter på samma sätt och sätter in x=6 i ekvationen.

Båda led är lika med 2 när x=6, så detta är en lösning.

En rektangel har sidorna $x$ cm respektive och $(x + 7)$ cm.

Skriv ett matematiskt uttryck för rektangelns omkrets.

Rektangelns omkrets är

66

cm. Hur lång är den längsta sidan?

En rektangels omkrets kan bestämmas genom att addera dess fyra sidor. Summan av kortsidorna är x + x och långsidorna är (x + 7) + (x + 7). Adderas dessa får vi rektangelns omkrets.

Rektangelns omkrets kan skrivas 4x + 14.

Vi ska bestämma rektangelns sidlängder och då behöver vi först bestämma värdet på x. Tidigare tog vi fram ett uttryck för rektangelns omkrets. Den ska vara lika med 66 vilket ger en ekvation som vi kan lösa: 4x + 14 = 66. Vi löser ut x.

Rektangelns kortsida är 13 och långsidan är 13 +7 = 20.

Lös ekvationen.

3 x + 7 = 19

\frac{x}{4} - 10 = 3

1, 7 x - 6 = 164

I vänsterledet har vi termen 7 och för att bli av med den måste vi subtrahera båda led med 7. Därefter dividerar vi med 3.

x = 4 löser ekvationen.

Nu har vi -10 i vänsterledet och måste därför addera 10 i både led för att isolera x4.

Nu har vi isolerat x4 i vänsterledet och genom att multiplicera båda led med 4 kan vi isolera x.

x=52 löser ekvationen.

Vi löser ut 1,7x i vänsterledet genom att addera 6 till båda led och dividerar sedan med 1,7.

x=100 löser ekvationen.

Lös ekvationen med balansmetoden.

2 x + 4 = 36 - 2 x

- 5 y + 6 = - 3 y - 1

3 - 4 x = x - 21 + 7 x

Vi börjar med att samla alla x på samma sida om likhetstecknet. För att undvika negativa x är det praktiskt att addera 2x på båda sidor.

x=8 löser alltså ekvationen.

Även här vill vi samla y på ekvationens ena sida. Om vi vill undvika negativa y:n kan vi samla dem i högerledet genom att addera 5y till båda led.

Lösningen till ekvationen är y=3,5.

Vi börjar här med att förenkla högerledet. Därefter löser vi uppgiften på liknande sätt som i tidigare deluppgifter.

I det här fallet är x=2. Även här hade vi kunnat subtrahera 7x för att samla alla x i VL direkt och därefter dela med -12.

Lös ekvationen.

3 x + 6 = 24

\frac{y}{2} - 9 = 1

Vi subtraherar 6 från båda sidor i ekvationen och dividerar därefter båda led med 3.

Ekvationens lösning är x=6.

Vi adderar 9 till båda sidor av ekvationen och multiplicerar därefter leden med 2.

Ekvationens lösning är y=20.

Lös ekvationen.

5 x - 9 = \frac{8 x}{3} + 5

\frac{3 x}{2} + 8 = x - 10

Vi börjar med att samla alla x-termer i vänsterledet och alla konstanter i högerledet.

Nu har vi lagt ihop x-termerna i vänsterledet och konstanterna i högerledet. För att lösa ut x måste vi bli av med 3:an i nämnaren och 7:an i täljaren. Vi multiplicerar alltså med 3 och dividerar sedan med 7 (eller tvärtom).

x=6 löser ekvationen.

Då gör vi samma sak igen.

x=-36 löser ekvationen.

Lös ekvationen.

15, 8 = 2 x - 7, 2

Nationella provet HT16 1a

För att lösa ekvationen börjar vi med att lösa ut 2x genom att addera 7,2 till båda led. Därefter delar vi båda sidor med 2 för att få x ensamt.</

x=11,5 löser ekvationen.

Lös följande ekvation med inspektionsmetoden.

1 2^{x} = 1 2^{3}

4^{x - 7} = 4^{2}

5 \cdot 9^{10} = 5 \cdot 9^{2 x}

Vi ska använda inspektionsmetoden för att lösa ekvationen. Det innebär att vi jämför vänster- och högerled för att se vad som skiljer dem åt och sedan avgör vad x måste vara för att leden ska bli identiska. I ekvationen 12^x = 12^3 är det bara exponenterna som skiljer leden åt. Eftersom likheten stämmer endast som potenserna har samma värde måste x vara lika med 3. Ekvationens lösning är alltså x=3.

Vi gör på samma sätt igen och ser att det är exponenterna som skiljer sig även i ekvationen 4^(x-7) = 4^2. För att leden ska bli lika måste exponenterna vara det, så vi likställer dem och använder balansmetoden för att lösa ekvationen vi får då.

Genom att ersätta x med 9 får vi två potenser som är lika. Ekvationens lösning är därför x=9.

Även i denna ekvation är det exponenterna som skiljer sig: 5*9^(10)=5*9^(2x). Precis som i föregående deluppgift likställer vi exponenterna och löser ekvationen vi då får.

Ekvationen har alltså lösningen x=5.

Leo arbetade $2, 5$ timmar och tjänade $180$ kr. Hur mycket skulle han tjäna på $4, 5$ timmar med samma timlön?

Nationella provet VT12 1a

Vi kallar Leos timlön x kr. Om den multipliceras med 2,5 ska det bli 180 kr. Detta ger oss ekvationen x* 2,5=180. Vi löser ut x genom att dividera båda sidor med 2,5.

Leos timlön är alltså 72 kr så om han arbetade 4,5 timmar skulle han tjäna 4,5* 72=324 kr.

Lös ekvationen.

7 (x - 3) = 49

Nationella provet VT05 MaA

För att lösa ut x kan vi multiplicera in 7 i parentesen och sedan lösa ut x.

x=10 löser ekvationen.

Vilket av följande tal är en lösning till ekvationen

x^{2} + x - 12 = 0 ?

- 4, - 2, 0, 2, 4

Nationella provet VT05 MaA

Vi prövar vilket eller vilka av talen som är en lösning genom att sätta in ett i taget i ekvationen och undersöka om vänsterledet och högerledet blir lika stora. Om de blir lika stora är talet en lösning. Vi kan börja med x=-4.

Vi ser att vänsterledet och högerledet blir lika stora för x=-4, så det är en lösning till ekvationen. Vi gör samma sak för alla övriga tal och sammanfattar i nedanstående tabell.

x	x^2+x-12=0	VL? =HL
0	0^2+ 0-12? =0	- 12 ≠ 0
2	2^2+ 2-12? =0	- 6 ≠ 0
4	4^2+ 4-12? =0	8 ≠ 0

Nu ser vi att x=- 4 är det enda av de tillgängliga talen som löser ekvationen.

Du vet att

3 x + 4 y = 27

Hur mycket är då följande uttryck?

6 x + 8 y

Nationella provet VT02 MaA

Vi har en ekvation och ett algebraiskt uttryck. Ekvation:& 3x+4y=27 Algebraiskt uttryck:& 6x+8y Jämför vi variabeltermerna i ekvationen och uttrycket ser vi att 3x och 4y är hälften så stora som 6x och 8y. Genom att bryta ut en 2:a ur det algebraiska uttrycket får vi därmed en produkt där ena faktorn är identisk med vänsterledet i ekvationen.

Från ekvationen vet vi att 3x+4y är lika med 27 så genom att ersätta 3x+4y i det algebraiska uttrycket med detta värde och beräkna kan vi bestämma hur mycket 6x+8y är.

Det algebraiska uttryckets värde är 54.

Lös ekvationen

\frac{x - 0 , 2}{0 , 1} = 1

Nationella provet VT02 MaA

Vi löser ekvationen med balansmetoden. Då ska vi alltså få x ensamt på ena sidan genom att "flytta bort" allt annat. Tänk på att göra samma sak på båda sidor, annars bryts likheten!

x=0,3 löser alltså ekvationen.

Ekvationer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.