Bestämma primitiva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

När man bestämmer primitiva funktioner använder man de olika deriveringsreglerna "baklänges". På motsvarande sätt som D(f(x))D(f(x)) betyder att en funktion deriveras betyder D-1(f(x))D^{\text{-}1}(f(x)) att man bestämmer en primitiv funktion till f(x).f(x). Om man vill bestämma alla primitiva funktioner lägger man även till konstanten CC.
Regel

Primitiv funktion till potensfunktion

För att bestämma en primitiv funktion till en potensfunktion på formen f(x)=xnf(x)=x^n ökar man exponenten med 11 och dividerar med den nya exponenten.

Regel

D-1(xn)=xn+1n+1+CD^{\text{-1}}\left(x^n\right)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C
Regel

Primitiv funktion till exponentialfunktion med basen ee

För att bestämma en primitiv funktion till exponentialfunktioner med basen ee på formen f(x)=ekxf(x)=e^{kx} dividerar man dem med k.k.

Regel

D-1(ekx)=ekxk+CD^{\text{-1}}\left(e^{kx}\right)=\dfrac{e^{kx}}{k}+C
Regel

Primitiv funktion till exponentialfunktion

För att bestämma en primitiv funktion till en exponentialfunktion på formen f(x)=axf(x)=a^x dividerar man den med naturliga logaritmen av a,a, dvs. ln(a).\ln(a).

Regel

D-1(ax)=axln(a)+CD^{\text{-1}}\left(a^x\right)=\dfrac{a^x}{\ln(a)}+C
Uppgift

Bestäm en primitiv funktion till f(x)=x3ochg(x)=5. f(x)=x^3 \quad \text{och} \quad g(x) = 5.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Generella regler för primitiva funktioner

När man bestämmer en primitiv funktion använder man deriveringsreglerna baklänges. Generella regler för derivering gäller därför också när man bestämmer primitiva funktioner. T.ex. behandlas termerna var för sig.

Primitiv funktion term för term

På liknande sätt påverkas inte koefficienter – de följer med. Exempelvis påverkas inte 22:an när man bestämmer en primitiv funktion till f(x)=2e7x.f(x)=2e^{7x}.

Primitiv funktion koefficienter följer med
Uppgift

Bestäm alla primitiva funktioner till f(x)=8x32e4x. f(x)=8x^3-2e^{4x}.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en primitiv funktion F(x)F(x) till

a

f(x)=x2.f(x)=x^2.

b

f(x)=3x2.f(x)=3x^2.

c

f(x)=ex.f(x)=e^{x}.

d

f(x)=4e2x.f(x)=4e^{2x}.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en primitiv funktion F(x)F(x) till

a

f(x)=3x.f(x)=3x.

b

f(x)=2x5.f(x)=2x^5.

c

f(x)=1.f(x)=1.

d

f(x)=3x2+2.f(x)=3x^2+2.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en primitiv funktion F(x)F(x) till

a

f(x)=e5x.f(x)=e^{5x}.

b

g(x)=4e-2x.g(x)=4e^{\text{-} 2x}.

c

h(x)=52x.h(x)=5^{2x}.

d

p(x)=-424x.p(x)=\text{-} 4\cdot 2^{4x}.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm alla primitiva funktioner F(x)F(x) till

a

f(x)=10x48x.f(x)=10x^4-8x.

b

f(x)=4e2x3.f(x)=4e^{2x}-3.

c

f(x)=105x8x7.f(x)=10^{5x}-8x^7.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar grafen till funktionen f(x).f(x). Ge ett exempel på en primitiv funktion, F(x),F(x), till f(x).f(x).

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla och bestäm en primitiv funktion F(x)F(x) till

a

f(x)=3(1x)2.f(x)=3(1-x)^2.

b

f(x)=(x2)(x+2).f(x)=(x-2)(x+2).

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm alla primitiva funktioner F(x)F(x) till funktionerna. Svara i bråkform.

a

f(x)=-2x3.f(x)=\dfrac{\text{-} 2}{x^3}.

b

f(x)=x2.f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{2}.

c

f(x)=4e4x.f(x)=\dfrac{4}{e^{4x}}.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm alla primitiva funktioner till funktionerna.


a

f(t)=52t3f(t)=\dfrac{5}{\sqrt[3]{2t}}

b

g(s)=9s+2+1g(s)=9^{s+2}+1

c

h(v)=1e42vh(v)=\dfrac{1}{e^{4-2v}}

d

p(x)=(ex+6)2exp(x)=\dfrac{\left(e^x+6 \right)^2}{e^x}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

GG är en primitiv funktion till g(x)=2e3x4g(x)=2e^{3x}-4 och har en extrempunkt. Bestäm extrempunktens karaktär och xx-värde. Svara exakt.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen ff definieras som f(x)=g(x)h(x).f(x)=g(x)-h(x). Bestäm alla primitiva funktioner till ff om man vet att g(x)=2x3g(x)=2x-3 och h(x)=52x.h(x)=5-2x.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(t)=80f(t) = 80 beskriver en bils hastighet i km/h. Bestäm en primitiv funktion F(t)F(t) och förklara vad den beskriver.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Har f(x)=(-2)xf(x) = (\text{-} 2)^x någon primitiv funktion? Motivera ditt svar.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)f(x) som i sin tur är en primitiv funktion till f(x)=1x+1x2,x>0. f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^2}, \quad x > 0. Man vet att f(x)f(x) saknar konstantterm. Bestäm för vilket xx-värde som F(x)F(x) har en stationär punkt. Svara exakt.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm alla primitiva funktioner F(x)F(x) om du vet att f(x)=x3. f'(x)=\sqrt[3]{x}.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}