Bestämma primitiva funktioner

När man bestämmer primitiva funktioner använder man de olika deriveringsreglerna "baklänges". På motsvarande sätt som

D(f(x))

betyder att en funktion deriveras betyder

D^{\text{-}1}(f(x))

att man bestämmer en primitiv funktion till

f(x).

Om man vill bestämma alla primitiva funktioner lägger man även till konstanten

C

.

Regel

Primitiv funktion till potensfunktion

För att bestämma en primitiv funktion till en potensfunktion på formen $f(x)=x^n$ ökar man exponenten med $1$ och dividerar med den nya exponenten.

Regel
$D^{\text{-1}}\left(x^n\right)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C$

Samtliga primitiva funktioner till $x^5$ blir enligt regeln $\frac{x^6}{6}+C.$ Man kan visa det genom att derivera $F(x)=\frac{x^6}{6}+C.$ Om detta är en primitiv funktion ska derivatan bli $x^5.$ Värdet på konstanten $C$ spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir $0.$

F(x)=\dfrac{x^6}{6}+C

Derivera funktion

F'(x)=D\left(\dfrac{x^6}{6}\right)+D(C)

D(a) = 0

F'(x)=D\left(\dfrac{x^6}{6}\right)

D\left(\dfrac{x^n}{a}\right) = \dfrac{nx^{n-1}}{a}

F'(x)=\dfrac{6x^5}{6}

Förenkla kvot

F'(x)=x^5

Derivatan av $\frac{x^6}{6}$ är alltså $x^5,$ och därför är $\frac{x^6}{6}$ en primitiv funktion till $x^5.$ Regeln gäller för alla potensfunktioner där $n\neq \text{-}1.$

Regel

Primitiv funktion till exponentialfunktion med basen $e$

För att bestämma en primitiv funktion till exponentialfunktioner med basen $e$ på formen $f(x)=e^{kx}$ dividerar man dem med $k.$

Regel
$D^{\text{-1}}\left(e^{kx}\right)=\dfrac{e^{kx}}{k}+C$

Samtliga primitiva funktioner till $e^{3x}$ blir enligt regeln $\frac{e^{3x}}{3}+C.$ Man kan visa det genom att derivera $F(x)=\frac{e^{3x}}{3}+C.$ Då ska derivatan bli $e^{3x}.$

F(x)=\dfrac{e^{3x}}{3}+C

Derivera funktion

F'(x)=D\left(\dfrac{e^{3x}}{3}\right)+D(C)

D(a) = 0

F'(x)=D\left(\dfrac{e^{3x}}{3}\right)

D\left( \dfrac{e^{kx}}a \right) = \dfrac{ke^{kx}}a

F'(x)=\dfrac{3e^{3x}}{3}

Förenkla kvot

F'(x)=e^{3x}

Regeln gäller för $k\neq 0.$

Regel

Primitiv funktion till exponentialfunktion

För att bestämma en primitiv funktion till en exponentialfunktion på formen $f(x)=a^x$ dividerar man den med naturliga logaritmen av $a,$ dvs. $\ln(a).$

Regel
$D^{\text{-1}}\left(a^x\right)=\dfrac{a^x}{\ln(a)}+C$

Samtliga primitiva funktioner till $7^x$ kan alltså skrivas $\frac{7^x}{\ln(7)}+C.$ Man kan visa det genom att derivera $F(x)=\frac{7^x}{\ln(7)}+C.$ Derivatan ska då bli $7^x.$ Värdet på konstanten $C$ spelar ingen roll eftersom konstanter försvinner vid derivering.

F(x)=\dfrac{7^x}{\ln(7)}+C

Derivera funktion

F'(x)=D\left(\dfrac{7^x}{\ln(7)}\right)+D(C)

D(a) = 0

F'(x)=D\left(\dfrac{7^x}{\ln(7)}\right)

D\left(\dfrac{a^x}{C}\right)=\dfrac{a^x \cdot\ln(a)}{C}

F'(x)=\dfrac{7^x\cdot\ln(7)}{\ln(7)}

Förenkla kvot

F'(x)=7^x

Derivatan blev alltså $7^x.$ Regeln gäller för alla exponentialfunktioner där $a \gt 0$ och $a \neq 1.$

Bestäm en primitiv funktion

Uppgift

Bestäm en primitiv funktion till $f(x)=x^3 \quad \text{och} \quad g(x) = 5.$

Lösning

Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten $C,$ varken till $f(x)$ eller $g(x).$ Vi börjar med $f(x),$ som är en potensfunktion. Då ökar vi exponenten med $1$ samtidigt som vi dividerar med den nya exponenten.

f(x)=x^3

Bestäm en primitiv funktion

F(x)=D ^{\text{-}1}\left(x^3\right)

D^{\text{-}1}\left(x^n\right) = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1}

F(x)=\dfrac{x^{3+1}}{3+1}

Förenkla termer

F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}

En primitiv funktion till $f(x)$ är alltså $F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}.$ Nu tittar vi på funktionen $g(x) = 5,$ som är en konstant. Deriverar man en funktion på formen $ax$ får man bara kvar $a,$ så om man går åt andra hållet och bestämmer en primitiv funktion till en konstant, t.ex. $5,$ får man $5x.$ Man lägger alltså till ett $x$ efter konstanten.

g(x) = 5

Bestäm en primitiv funktion

G(x) = D ^{\text{-}1} (5)

D ^{\text{-}1}(a) = ax

G(x) = 5x

Till $g(x)$ är en primitiv funktion alltså $G(x) = 5x.$ För att undersöka om man har gjort rätt kan man derivera $F(x)$ och $G(x)$ för att sedan kontrollera att man får tillbaka den ursprungliga funktionen. Gör man det får man $F'(x)=x^3$ respektive $G'(x)=5,$ alltså $f(x)$ och $g(x),$ vilket betyder att vi har gjort rätt.

Visa lösning

Regel

Generella regler för primitiva funktioner

När man bestämmer en primitiv funktion använder man deriveringsreglerna baklänges. Generella regler för derivering gäller därför också när man bestämmer primitiva funktioner. T.ex. behandlas termerna var för sig.

På liknande sätt påverkas inte koefficienter – de följer med. Exempelvis påverkas inte $2$ :an när man bestämmer en primitiv funktion till $f(x)=2e^{7x}.$

Primitiv funktion koefficienter följer med

Bestäm alla primitiva funktioner

Uppgift

Bestäm alla primitiva funktioner till $f(x)=8x^3-2e^{4x}.$

Lösning

Vi tittar på en term i taget och använder lämpliga regler för att bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom vi ska bestämma alla primitiva funktion måste vi också komma ihåg att lägga till en konstant $C.$

f(x)=8x^3-2e^{4x}

Bestäm alla primitiva funktioner

F(x)=D ^{\text{-}1}\left(8x^3\right)-D ^{\text{-}1}\left(2e^{4x}\right)+C

D ^{\text{-}1}\left(ax^n\right)=\dfrac{ax^{n+1}}{n+1}

F(x)=\dfrac{8x^4}{4}-D ^{\text{-}1}\left(2e^{4x}\right)+C

D^{\text{-}1}\left(ae^{kx}\right) = \dfrac{ae^{kx}}{k}

F(x)=\dfrac{8x^4}{4}-\dfrac{2e^{4x}}{4}+C

Förenkla kvot

F(x)=2x^4-\dfrac{2e^{4x}}{4}+C

Förkorta med

2

F(x)=2x^4-\dfrac{e^{4x}}{2}+C

Samtliga primitiva funktioner är alltså $F(x)=2x^4-\frac{e^{4x}}{2}+C.$

Visa lösning

Bestämma primitiva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Primitiv funktion till potensfunktion

Regel

Primitiv funktion till exponentialfunktion med basen $e$

Regel

Primitiv funktion till exponentialfunktion

Regel

Exempel

Bestäm en primitiv funktion

Generella regler för primitiva funktioner

Exempel

Bestäm alla primitiva funktioner

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Integraler

Regel

Regel

Regel

Exempel

Bestäm en primitiv funktion

Exempel

Bestäm alla primitiva funktioner

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}