mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Integraler

Bestämma primitiva funktioner

När man bestämmer primitiva funktioner använder man de olika deriveringsreglerna "baklänges". På motsvarande sätt som betyder att en funktion deriveras betyder att man bestämmer en primitiv funktion till Om man vill bestämma alla primitiva funktioner lägger man även till konstanten .
Regel

Primitiv funktion till potensfunktion

För att bestämma en primitiv funktion till en potensfunktion på formen ökar man exponenten med och dividerar med den nya exponenten.

Regel

Samtliga primitiva funktioner till blir enligt regeln Man kan visa det genom att derivera Om detta är en primitiv funktion ska derivatan bli Värdet på konstanten spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir

Derivatan av är alltså och därför är en primitiv funktion till Regeln gäller för alla potensfunktioner där

Regel

Primitiv funktion till exponentialfunktion med basen

För att bestämma en primitiv funktion till exponentialfunktioner med basen på formen dividerar man dem med

Regel

Samtliga primitiva funktioner till blir enligt regeln Man kan visa det genom att derivera Då ska derivatan bli

Regeln gäller för .
Regel

Primitiv funktion till exponentialfunktion

För att bestämma en primitiv funktion till en exponentialfunktion på formen dividerar man den med naturliga logaritmen av dvs.

Regel

Samtliga primitiva funktioner till kan alltså skrivas Man kan visa det genom att derivera Derivatan ska då bli Värdet på konstanten spelar ingen roll eftersom konstanter försvinner vid derivering.

Derivatan blev alltså Regeln gäller för alla exponentialfunktioner där och

fullscreen
Uppgift

Bestäm en primitiv funktion till

Visa Lösning
Lösning
Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten varken till eller Vi börjar med som är en potensfunktion. Då ökar vi exponenten med samtidigt som vi dividerar med den nya exponenten.
En primitiv funktion till är alltså Nu tittar vi på funktionen som är en konstant. Deriverar man en funktion på formen får man bara kvar så om man går åt andra hållet och bestämmer en primitiv funktion till en konstant, t.ex. får man Man lägger alltså till ett efter konstanten.
En primitiv funktion till är alltså För att undersöka om man har gjort rätt kan man derivera och för att sedan kontrollera att man får tillbaka den ursprungliga funktionen. Gör man det får man respektive alltså och vilket betyder att vi har gjort rätt.


Regel

Generella regler för primitiva funktioner

När man bestämmer en primitiv funktion använder man deriveringsreglerna baklänges. Generella regler för derivering gäller därför också när man bestämmer primitiva funktioner. T.ex. behandlas termerna var för sig.

Primitiv funktion term för term

På liknande sätt påverkas inte koefficienter – de följer med. Exempelvis påverkas inte :an när man bestämmer en primitiv funktion till

Primitiv funktion koefficienter följer med
fullscreen
Uppgift

Bestäm alla primitiva funktioner till

Visa Lösning
Lösning
Vi tittar på en term i taget och använder lämpliga regler för att bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom vi ska bestämma alla primitiva funktion måste vi också komma ihåg att lägga till en konstant
Samtliga primitiva funktioner är alltså
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward