Innehållsförteckning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
1.
Asymptoter
Denna lektion ger en djupgående förståelse för asymptoter, ett viktigt koncept inom matematik. Den förklarar hur man kan avgöra om en funktion har en horisontell (vågrät) asymptot genom att undersöka funktionens beteende när x närmar sig oändligheten. Vertikala (lodräta) asymptoter uppstår när funktionens värde går mot oändligheten när x närmar sig ett specifikt värde. Lektionenen illustrerar dessa koncept med hjälp av praktiska exempel och grafiska representationer, vilket gör det lättare att förstå och tillämpa dessa koncept.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Asymptoter
Sida av 8
För att skissa grafen till en funktion behöver man ta reda på hur funktionen beter sig för olika x-värden. Nollställen och stationära punkter ger information om eventuella skärningspunkter med x-axeln och om funktionen "vänder" någonstans. Genom att undersöka så kallade asymptoter kan man få information om hur grafen beter sig när avståndet till origo blir väldigt stort.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Begrepp
Asymptot
En asymptot är en rät linje som grafen till en funktion närmar sig när avståndet från origo till en punkt på grafen ökar. Om asymptoten kan skrivas på formen y = kx + m kallas den en sned asymptot, där horisontella asymptoter är specialfallet k = 0. Kan asymptoten istället skrivas på formen x = a är den en vertikal asymptot, vilket inträffar där funktionen inte är definierad.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Begrepp
Horisontell asymptot
En horisontell asymptot är en vågrät linje som en funktion närmar sig då x går mot antingen positiva eller negativa oändligheten. Detta definieras formellt med hjälp av gränsvärden.
Funktionen f(x) har en horisontell asymptot y = m om
lim _(x→-∞)f(x) = m eller lim _(x→∞)f(x) = m.
Ett exempel på en funktion med en horisontell asymptot är f(x) = 12^x + 1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Begrepp
Vertikal asymptot
Om en funktion går mot ±∞ när den närmar sig ett x-värde a är x=a en vertikal asymptot.
Funktionen f(x) har en vertikal asymptot x=a om
I figuren visas funktionen f(x), som går mot oändligheten när x går mot 3. Den har därför den vertikala asymptoten x=3.
Funktionen och asymptoten kommer oändligt nära varandra men sammanfaller aldrig eftersom f(x) är odefinierad i x=3. Det är vanligt att en funktion som har en vertikal asymptot är odefinierad för asymptotens x-värde, men det finns undantag. Exempelvis har den styckvis definierade funktionen g(x)= 1/(x-3)^2+5, & x≠3 0, &x=3 både en asymptot och ett funktionsvärde i x=3.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm funktionens horisontella och vertikala asymptoter
Visa Lösning expand_more
Exempel
Horisontell asymptot
Man kan både avgöra om en funktion har en horisontell asymptot och vilken den i så fall är genom att undersöka funktionens beteende då x→±∞. Vi börjar med gränsvärdet lim _(x→∞) f(x) = lim _(x→∞) ( 1/x+1 - 2 ). När x går mot oändligheten gör även nämnaren x + 1 det. Eftersom täljaren är en konstant leder detta till att kvoten går mot 0.
lim _(x→∞) f(x) = lim _(x→∞) ( 1/x+1 - 2 )
To
x → ∞
lim _(x→∞) f(x) = 0 - 2
SubTerm
Subtrahera term
lim _(x→∞) f(x) = - 2
Funktionen har därmed den horisontella asymptoten y = - 2. Vi undersöker även gränsvärdet då x går mot negativa oändligheten för att bestämma om funktionen har en annan horisontell asymptot: lim _(x→- ∞) f(x) = lim _(x→- ∞) ( 1/x+1 - 2 ). Kvoten går mot 0 även här, eftersom nämnaren går mot negativa oändligheten.
lim _(x→- ∞) f(x) = lim _(x→- ∞) ( 1/x+1 - 2 )
To
x → - ∞
lim _(x→- ∞) f(x) = 0 - 2
SubTerm
Subtrahera term
lim _(x→- ∞) f(x) = - 2
Grafen till funktionen rör sig alltså asymptotiskt mot y = - 2 både då x går mot positiva och negativa oändligheten.
Exempel
Vertikal asymptot
Vertikala asymptoter uppkommer då funktionens värde sticker iväg mot antingen positiva eller negativa oändligheten när x närmar sig något specifikt värde. När x = - 1 är nämnaren 0 och funktionen därmed odefinierad. Vi undersöker därför funktionens beteende då x går mot - 1. Eftersom täljaren är en konstant och nämnaren går mot 0 kommer kvoten, och därmed funktionen, gå mot oändligheten. Vi bekräftar detta numeriskt.
| x | -0.9 | -0.99 | -0.999 | -0.9999 | → -1^+ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1/x+1 - 2 | 8 | 98 | 998 | 9998 | → ∞ |
Linjen x = - 1 är alltså en vertikal asymptot till f(x).
Exempel
Grafisk verifiering
Vi kan nu grafiskt verifiera att asymptoterna vi hittat stämmer. Det gör vi genom att rita upp funktionens graf samt asymptoterna med valfritt grafritande verktyg.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Sned asymptot
Om en asymptot inte är vertikal säger man att den är sned, vilket betyder att den kan skrivas på formen y = kx + m. Eftersom avståndet mellan asymptoten och funktionen avtar ju längre bort från origo man är kommer differensen mellan funktionsuttrycken att gå mot 0 när x går mot ∞ eller -∞.
lim _(x→ ∞)(f(x)-(kx+m))=0
lim _(x→ - ∞)(f(x)-(kx+m))=0
Det är inte ovanligt att kx + m i gränsvärdena ovan är samma räta linje. Det innebär att grafen närmar sig asymptoten både när man rör sig mot positiva och negativa oändligheten.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Ekvationen för en sned asymptot
Ekvationen för en sned asymptot är samma som för en rät linje, y = kx + m. Här visas regler och metoder för att beräkna k- och m-värden för asymptoter när x går mot ∞. För att bestämma asymptoter när x går mot negativa oändligheten byter man bara ut ∞ mot - ∞.
Regel
k-värdeFör att bestämma asymptotens k-värde dividerar man funktionen med x och låter x gå mot ∞.
k = lim _(x→ ∞) f(x)/x
Man kan visa detta genom att dela upp funktionen i två delar: en som beskriver en rät linje och en som går mot 0 när x går mot oändligheten.
Om funktionen f(x) har en sned asymptot, y = kx + m, kommer grafen bli mer och mer lik denna räta linje när man närmar sig oändligheten. Alla andra delar av funktionen blir alltså obetydligt små. Det betyder att man kan skriva funktionen som en summa av kx + m och ett uttryck, g(x), som för stora x-värden går mot 0.
f(x) = kx + m + g(x)
Om man delar båda led med x får man
f(x)/x = k + m/x + g(x)/x.
Den första termen, k, är en konstant och kommer inte att påverkas när x går mot ∞. Den andra termen är en konstant dividerad med x, och kommer att gå mot 0. Samma gäller för den sista termen, som redan innan den dividerades med x gick mot 0.
Regel
m-värdeNär man känner till k-värdet för en asymptot kan man använda det för att bestämma m-värdet. Det gör man genom att subtrahera kx från funktionen och sedan låta x gå mot oändligheten.
m = lim _(x→ ∞) ( f(x) - kx )
Det går att visa detta genom att göra samma uppdelning av funktionen som för k-värdet. Återigen skriver man f(x) som f(x) = kx + m + g(x), där g(x) är en funktion som går mot 0 när x går mot oändligheten. Om man flyttar över termen kx till vänsterledet blir uttrycket istället f(x) - kx = m + g(x). Låter man sedan x gå mot oändligheten får man konstanten m.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm funktionens asymptoter
Visa Lösning expand_more
Vi undersöker först om funktionen har någon vertikal asymptot och sedan om den har någon sned asymptot.
Exempel
Vertikal asymptot
Funktionen är inte definierad för x=-1, så vad händer när man närmar sig detta x-värde? Nämnaren närmar sig 0 och täljaren går mot 2(-1)^2+3(-1)+2=1. Täljaren går alltså mot en konstant och nämnaren mot 0. Om nämnaren blir mindre och mindre går kvoten mot oändligheten vilket vi kan bekräfta genom att undersöka gränsvärdet numeriskt.
| x | -0.9 | -0.99 | -0.999 | -0.9999 | → -1^+ |
|---|---|---|---|---|---|
| 2x^2+3x+2/x+1 | 9.2 | 99.02 | 999.002 | 9999.0002 | → ∞ |
Funktionsvärdet går mot oändligheten när x närmar sig -1 från höger. Skulle vi göra samma sak från vänster går den mot negativa oändligheten. Det betyder att x=-1 är en vertikal asymptot.
Exempel
Sned asymptot
Lutningen k för en eventuell sned asymptot ges av k=lim _(x→±∞)f(x)/x. Vi börjar med att dividera funktionsuttrycket med x och förenkla kvoten.
f(x)/x
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
.2x^2+3x+2/x+1 /x.
DivFracSL
.a/b /c.= a/b* c
2x^2+3x+2/x(x+1)
Distr
Multiplicera in x
2x^2+3x+2/x^2+x
Nu ska vi undersöka gränsvärdet för denna kvot när x går mot oändligheten. Vi förkortar bråket med x^2 eftersom den högsta graden i täljaren är 2.
k=lim _(x→± ∞)2x^2+3x+2/x^2+x
ReduceFrac
Förkorta med x^2
k=lim _(x→± ∞)(2x^2+3x+2)/x^2/(x^2+x)/x^2
WriteSumFrac
Dela upp bråk
k=lim _(x→± ∞)2x^2x^2+ 3xx^2+ 2x^2/x^2x^2+ xx^2
SimpQuot
Förenkla kvot
k=lim _(x→± ∞)2+ 3x+ 2x^2/1+ 1x
Oavsett om x går mot plus eller minus oändligheten kommer alla bråk i nämnaren och täljaren att gå mot 0.
Lutningen för den sneda asymptoten är alltså k=2. För att bestämma m-värdet beräknar vi m=lim _(x→±∞)(f(x)-kx). Vi börjar med att förenkla differensen.
f(x)-kx
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
2x^2+3x+2/x+1-2x
▼
Förenkla
NumberToFrac
a = (x+1)* a/(x+1)
2x^2+3x+2/x+1-2x(x+1)/x+1
Distr
Multiplicera in 2x
2x^2+3x+2/x+1-2x^2+2x/x+1
SubFrac
Subtrahera bråk
2x^2+3x+2-(2x^2+2x)/x+1
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
2x^2+3x+2-2x^2-2x/x+1
SimpTerms
Förenkla termerna
x+2/x+1
Nu beräknar vi gränsvärdet på samma sätt som när vi bestämde k: Vi förkortar bråket med termen som har högst grad, vilket i detta fall är x.
m=lim _(x→±∞)(f(x)-kx)
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
m=lim _(x→±∞)x+2/x+1
ReduceFrac
Förkorta med x
m=lim _(x→±∞)(x+2)/x/(x+1)/x
WriteSumFrac
Dela upp bråk
m=lim _(x→±∞)xx+ 2x/xx+ 1x
SimpQuot
Förenkla kvot
m=lim _(x→±∞)1+ 2x/1+ 1x
Bråken i täljaren och nämnaren går mot 0 både när x går mot ∞ och -∞.
Nu har vi både k- och m-värdet: k=2 och m=1. Man får dessa värden både när man går mot positiva och negativa oändligheten, så grafen närmar sig asymptoten y=2x+1 i båda riktningarna.
Nu är vi egentligen klara, men vi visar också asymptoterna tillsammans med grafen till funktionen. Det är inte nödvändigt för den här uppgiften, men kan vara intressant.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Asymptoter
Uppgift 2.1
Bestäm följande funktions vertikala asymptoter. y=5/x^2-7x+3 Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\dfrac{7-\\sqrt{37}}{2}","\\dfrac{7+\\sqrt{37}}{2}"]}}
security
report
code
security
report
code
En funktion har en vertikal asymptot om den går mot ∞ eller -∞ när x går mot ett specifikt värde. Vi ska avgöra vilka dessa x-värden är för funktionen y=5/x^2-7x+3, och använder att kvoten går mot oändligheten när nämnaren går mot 0. Vi börjar med att lösa ekvationen x^2-7x+3=0 för att bestämma de x-värden som gör att nämnaren är lika med 0.
För dessa x-värden är nämnaren alltså 0, och funktionen odefinierad. Låter man x gå mot dessa värden kommer nämnaren att gå mot 0, utan att faktiskt bli det, och då går funktionen mot ∞ eller -∞, beroende på om man kommer från höger eller vänster. Detta innebär att funktionen har de vertikala asymptoterna x=7-sqrt(37)/2 och x=7+sqrt(37)/2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["INFTY"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"lim _(x\u2192 2^+) f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["INFTY"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"lim _(x\u2192 2^-) f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\infty"]}}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Att x går mot 2^+ betyder att x närmar sig talet 2 från höger på tallinjen, dvs. större tal. När x≥2 är funktionen f(x)= (x-2)^2. Eftersom funktionen här är sammanhängande och definierad i x = 2 räcker det med att sätta in värdet x=2 för att se vad gränsvärdet blir.
Gränsvärdet är alltså 0 när x närmar sig 2 från höger.
När x närmar sig 2 från vänster, dvs. x < 2, är funktionen
f(x)=1/(x-2)^2.
Den här funktionen är inte sammanhängande eftersom den är odefinierad för x = 2. När x närmar sig 2 går nämnaren mot 0 medan täljaren förblir konstant — kvoten går alltså mot oändligheten. Vi bekräftar detta numeriskt genom att sätta in x allt närmare 2.
| x | 1,9 | 1,99 | 1,999 | →2^- |
|---|---|---|---|---|
| 1/(x-2)^2 | 100 | 10 000 | 1 000 000 | →∞ |
Om en funktion går mot oändligheten när ett visst x-värde närmas så existerar det inte något gränsvärde, det sägs ibland att funktionen då har ett oegentligt gränsvärde. Gränsvärdet lim _(x→ 2^-) f(x) existerar alltså inte.
En funktion har en vertikal asymptot om funktionen går mot oändligheten när något specifikt x-värde närmas. Från föregående deluppgifter vet vi att funktionen går mot oändligheten när x→2^- och att lim _(x→2^+) f(x)= 0. Det betyder att funktionen endast går mot oändligheten när x närmar sig 2 från ett håll. Enligt definitionen av vertikal asymptot räcker det dock att funktionen går mot oändligheten när x-värdet närmas från ena hållet. f(x) har alltså en vertikal asymptot x = 2, eftersom funktionen går mot oändligheten när x = 2 närmas från vänster.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm samtliga asymptoter till funktionen y=tan(x), där x är i radianer. Uttrycket får bero på n, som är ett heltal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{\\pi}{2}+n\\pi"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att bestämma eventuella vertikala asymptoter och vill därför avgöra om funktionen går mot ∞ eller -∞ när den närmar sig något visst x-värde. För att lättare kunna resonera kring detta skriver vi om tan(x) som kvoten mellan sin(x) och cos(x). tan(x)=sin(x)/cos(x) Funktionerna sin(x) och cos(x) går mot 0 för olika x-värden. Denna kvot går därför mot ∞ eller - ∞ när nämnaren går mot 0, vilket sker om man låter x gå mot de värden som gör att cos(x)=0. Vi löser denna cosinusekvation.
Nämnaren är alltså 0 för x-värdena -π/2 och π/2 samt alla x som ligger på avståndet n * 2π från dessa, där n är ett heltal. Eftersom skillnaden mellan dessa lösningar är π, och perioden är just 2π, kan vi istället skriva lösningsmängden som x = π/2 + n * π. När x närmar sig något av dessa värden går funktionen mot ∞ eller -∞, beroende på om värdet närmas från vänster eller höger. Funktionen y=tan(x) har alltså oändligt många vertikala asymptoter. Ritar vi funktionen ser vi att detta är rimligt.
För att funktionen ska ha några horisontella asymptoter måste funktionen närma sig ett visst y-värde när x går mot ∞ eller -∞. Detta sker aldrig eftersom y=tan(x) är periodisk och därför kommer uppvisa mönstret ovan oändligt långt åt både vänster och höger.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm samtliga asymptoter till följande funktion. Svara med asymptoternas ekvationer. f(x) = 27/x-2,5+2, & x < 15 [1em] 13/x+π-3, & x≥ 15
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false,"valueTypes":["Horisontell asymptot","Vertikal asymptot"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["y=2"]},{"type":0,"text":["y=-3"]},{"type":1,"text":["x=2,5"]}]}}
security
report
code
security
report
code
Vi undersöker om funktionen har horisontella och vertikala asymptoter var för sig.
Horisontella asymptoter
För att bestämma eventuella horisontella asymptoter beräknar vi gränsvärdena lim _(x→ - ∞)f(x) och lim _(x→ ∞)f(x). När vi beräknar gränsvärdet då x går mot negativa oändligheten måste vi använda funktionsuttrycket 27/x-2,5+2 eftersom det är så f(x) definieras för x-värden mindre än 15. Låter man x gå mot -∞ kommer även nämnaren gå mot -∞, vilket leder till att kvoten går mot 0 och hela uttrycket går mot 2. lim _(x→ - ∞)(27/x-2,5+2)=0+2=2 Detta innebär att funktionen f(x) har en horisontell asymptot för y=2. För att bestämma gränsvärdet när x går mot positiva oändligheten måste vi istället använda 13/x+π-3, eftersom funktionen är definierad på detta sätt för x större än eller lika med 15. När x går mot ∞ kommer kvoten att gå mot 0 och funktionen mot -3. lim _(x→ ∞)(13/x+π-3)=0-3=-3. Funktionen har alltså även den horisontella asymptoten y=-3.
Vertikala asymptoter
För att bestämma eventuella vertikala asymptoter undersöker vi om funktionen går mot ∞ eller -∞ när x går mot något specifikt värde. Vi börjar med att studera funktionen för x < 3,5 och utgår då från funktionsuttrycket 27/x-2,5+2. Uttrycket går mot ∞ eller -∞ endast om kvoten gör det. Detta sker då nämnaren går mot 0, vilket inträffar om x går mot 2,5. Funktionen har alltså en vertikal asymptot i x=2,5. Nu undersöker vi funktionen för x≥15: 13/x+π-3. Detta uttryck går också mot ∞ eller -∞ då nämnaren går mot 0, vilket i detta fall sker då x går mot -π. Men f(x) definieras av detta uttryck enbart för x-värden större än eller lika med 15, dvs. inte då x=- π. Funktionen har därför inte en vertikal asymptot för x=-π.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Den avtagande funktionen f(x) har en horisontell asymptot y = 4/3 när x går mot ∞. Bestäm gränsvärdet lim _(x→ ∞) f'(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"lim _(x\u2192 \u221e) f'(x) =","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill undersöka gränsvärdet lim _(x→ ∞) f'(x), alltså derivatan till funktionen när x går mot oändligheten. Vi vet att funktionen går mot den horisontella asymptoten y = 4/3 när x → ∞. Derivatan kan tolkas som funktionens lutning för ett visst x-värde, så om funktionen går mot en rät linje kommer derivatan att gå mot lutningen för denna linje. Eftersom asymptoten är horisontell har den lutningen 0, vilket då också måste vara det värde derivatan går mot när x går mot ∞. Vi få alltså lim _(x→ ∞) f'(x) = 0. I figuren nedan illustreras detta med ett exempel på en funktion som har asymptoten y = 4/3. Flera tangenter är utritade och man kan se att de planar ut mer och mer ju större x blir.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll