Asymptoter

En funktion har en vertikal asymptot om den går mot ∞ eller -∞ när x går mot ett specifikt värde. Vi ska avgöra vilka dessa x-värden är för funktionen y=5/x^2-7x+3, och använder att kvoten går mot oändligheten när nämnaren går mot 0. Vi börjar med att lösa ekvationen x^2-7x+3=0 för att bestämma de x-värden som gör att nämnaren är lika med 0.

För dessa x-värden är nämnaren alltså 0, och funktionen odefinierad. Låter man x gå mot dessa värden kommer nämnaren att gå mot 0, utan att faktiskt bli det, och då går funktionen mot ∞ eller -∞, beroende på om man kommer från höger eller vänster. Detta innebär att funktionen har de vertikala asymptoterna x=7-sqrt(37)/2 och x=7+sqrt(37)/2.

Att x går mot 2^+ betyder att x närmar sig talet 2 från höger på tallinjen, dvs. större tal. När x≥2 är funktionen f(x)= (x-2)^2. Eftersom funktionen här är sammanhängande och definierad i x = 2 räcker det med att sätta in värdet x=2 för att se vad gränsvärdet blir.

Gränsvärdet är alltså 0 när x närmar sig 2 från höger.

När x närmar sig 2 från vänster, dvs. x<2, är funktionen f(x)= 1(x-2)^2. Den här funktionen är inte sammanhängande eftersom den är odefinierad för x = 2. När x närmar sig 2 går nämnaren mot 0 medan täljaren förblir konstant — kvoten går alltså mot oändligheten. Vi bekräftar detta numeriskt genom att sätta in x allt närmare 2.

Om en funktion går mot oändligheten när ett visst x-värde närmas så existerar det inte något gränsvärde, det sägs ibland att funktionen då har ett oegentligt gränsvärde. Gränsvärdet lim _(x→ 2^-) f(x) existerar alltså inte.

En funktion har en vertikal asymptot om funktionen går mot oändligheten när något specifikt x-värde närmas. Från föregående deluppgifter vet vi att funktionen går mot oändligheten när x→2^- och att lim _(x→2^+) f(x)= 0. Det betyder att funktionen endast går mot oändligheten när x närmar sig 2 från ett håll. Enligt definitionen av vertikal asymptot räcker det dock att funktionen går mot oändligheten när x-värdet närmas från ena hållet. f(x) har alltså en vertikal asymptot x = 2, eftersom funktionen går mot oändligheten när x = 2 närmas från vänster.

Vi börjar med att bestämma eventuella vertikala asymptoter och vill därför avgöra om funktionen går mot ∞ eller -∞ när den närmar sig något visst x-värde. För att lättare kunna resonera kring detta skriver vi om tan(x) som kvoten mellan sin(x) och cos(x). tan(x)=sin(x)/cos(x) Funktionerna sin(x) och cos(x) går mot 0 för olika x-värden. Denna kvot går därför mot ∞ eller - ∞ när nämnaren går mot 0, vilket sker om man låter x gå mot de värden som gör att cos(x)=0. Vi löser denna cosinusekvation.

Nämnaren är alltså 0 för x-värdena - π2 och π2 samt alla x som ligger på avståndet n * 2π från dessa, där n är ett heltal. Eftersom skillnaden mellan dessa lösningar är π, och perioden är just 2π, kan vi istället skriva lösningsmängden som x = π/2 + n * π. När x närmar sig något av dessa värden går funktionen mot ∞ eller -∞, beroende på om värdet närmas från vänster eller höger. Funktionen y=tan(x) har alltså oändligt många vertikala asymptoter. Ritar vi funktionen ser vi att detta är rimligt.

För att funktionen ska ha några horisontella asymptoter måste funktionen närma sig ett visst y-värde när x går mot ∞ eller -∞. Detta sker aldrig eftersom y=tan(x) är periodisk och därför kommer uppvisa mönstret ovan oändligt långt åt både vänster och höger.

Vi undersöker om funktionen har horisontella och vertikala asymptoter var för sig.

Horisontella asymptoter

För att bestämma eventuella horisontella asymptoter beräknar vi gränsvärdena lim _(x→-∞)f(x) och lim _(x→∞)f(x). När vi beräknar gränsvärdet då x går mot negativa oändligheten måste vi använda funktionsuttrycket 27x-2.5+2 eftersom det är så f(x) definieras för x-värden mindre än 15. Låter man x gå mot -∞ kommer även nämnaren gå mot -∞, vilket leder till att kvoten går mot 0 och hela uttrycket går mot 2. lim _(x→-∞)(27/x-2.5+2)=0+2=2 Detta innebär att funktionen f(x) har en horisontell asymptot för y=2. För att bestämma gränsvärdet när x går mot positiva oändligheten måste vi istället använda 13x+π-3, eftersom funktionen är definierad på detta sätt för x större än eller lika med 15. När x går mot ∞ kommer kvoten att gå mot 0 och funktionen mot -3. lim _(x→∞)(13/x+π-3)=0-3=-3. Funktionen har alltså även den horisontella asymptoten y=-3.

Vertikala asymptoter

För att bestämma eventuella vertikala asymptoter undersöker vi om funktionen går mot ∞ eller -∞ när x går mot något specifikt värde. Vi börjar med att studera funktionen för x<3.5 och utgår då från funktionsuttrycket 27/x-2.5+2. Uttrycket går mot ∞ eller -∞ endast om kvoten gör det. Detta sker då nämnaren går mot 0, vilket inträffar om x går mot 2.5. Funktionen har alltså en vertikal asymptot i x=2.5. Nu undersöker vi funktionen för x≥15: 13/x+π-3. Detta uttryck går också mot ∞ eller -∞ då nämnaren går mot 0, vilket i detta fall sker då x går mot -π. Men f(x) definieras av detta uttryck enbart för x-värden större än eller lika med 15, dvs. inte då x=- π. Funktionen har därför inte en vertikal asymptot för x=-π.

Vi vill undersöka gränsvärdet lim _(x → ∞) f'(x), alltså derivatan till funktionen när x går mot oändligheten. Vi vet att funktionen går mot den horisontella asymptoten y = 4/3 när x → ∞. Derivatan kan tolkas som funktionens lutning för ett visst x-värde, så om funktionen går mot en rät linje kommer derivatan att gå mot lutningen för denna linje. Eftersom asymptoten är horisontell har den lutningen 0, vilket då också måste vara det värde derivatan går mot när x går mot ∞. Vi få alltså lim _(x → ∞) f'(x) = 0. I figuren nedan illustreras detta med ett exempel på en funktion som har asymptoten y = 43. Flera tangenter är utritade och man kan se att de planar ut mer och mer ju större x blir.