Asymptoter

För att para ihop funktioner och grafer kan vi utgå från att en funktion med vertikal asymptot, vilket alla givna grafer ser ut att ha, ofta är odefinierad för asymptotens x-värde. Vi undersöker därför om funktionerna är odefinierade för något x-värde och om någon graf har en vertikal asymptot för samma x. Vi kan börja med f(x)=1/x+1. När x=-1 är nämnaren i denna funktion 0, och eftersom nolldivision är otillåtet är funktionen odefinierad för detta x. Bland graferna ser vi att graf D har precis den vertikala asymptoten x=-1.

Funktionen f(x) ska alltså paras ihop med graf D. Vi fortsätter med g(x)=1/x-2-1. Denna funktion är odefinierad i x=2 eftersom nämnaren blir 0 då. Den enda grafen med vertikal asymptot i detta x-värde är graf C.

Vi parar därför ihop g(x) med graf C. Funktionen h(x)=1/x-1+1 har istället nämnaren 0 för x=1 och är därmed odefinierad för detta x. Vi ser att graf B har en matchande vertikal asymptot.

Funktionen h(x) hör alltså ihop med graf B. Nu återstår bara k(x)=1/x+2+1, och på grund av nolldivision ser vi att denna funktion är odefinierad i x=-2. Vi har bara en graf kvar att para ihop med: graf A. Den verkar passa bra.

Vi sammanfattar till sist hur funktionerna och graferna ska paras ihop. A → k(x) B → h(x) C → g(x) D → f(x)

Vertikala asymptoter uppkommer då funktionens värde går mot antingen positiva eller negativa oändligheten när x närmar sig ett specifikt värde. Vi ska bestämma vilket x-värde detta är för f(x)=80/9-x+1. Funktionen går mot ∞ eller -∞ när kvoten gör det. Om man dividerar en konstant med ett tal nära 0 kommer resultatet att bli ett stor positivt eller negativt tal. För x=9 är nämnaren exakt 0 och funktionen är odefinierad, men låter vi x gå mot 9 så kommer nämnaren bara väldigt nära 0. Det verkar alltså som att x=9 kan vara asymptoten vi söker. Om så är fallet kommer funktionen att gå mot ∞ eller -∞ när x går mot 9 från höger, vänster eller från båda hållen. Vi kan med en tabell undersöka vad som händer med funktionsvärdet när x går mot 9 från vänster genom att sätta in x-värden som är mindre än 9 och kommer närmare och närmare 9.

Funktionsvärdet går mot ∞ när x går mot 9 från vänster, så linjen x = 9är en vertikal asymptot tillf(x). Om vi hade valt att studera funktionsvärdet när x går mot 9 från höger hade vi istället fått att funktionen går mot -∞, men slutsatsen hade varit densamma. Ritar man grafen till funktionen med ett digitalt verktyg kan man också se att f(x) har en vertikal asymptot i x=9.

Här ska vi istället avgöra vilket värde man ska låta x gå mot för att funktionen g(x)=0,1/7x-0,7-10 ska gå mot positiva eller negativa oändligheten. Av samma anledning som i föregående deluppgift sker detta när nämnaren i kvoten går mot 0. Denna nämnare är lika med 0 för x=0,1, eftersom 7x-0,7=0 ⇔ x=0,1. Detta innebär att funktionen borde gå mot ∞ eller -∞ när x går mot 0,1 från höger eller vänster. Vi kontrollerar om detta stämmer när vi går från höger genom att sätta in x-värden som är större än 0,1 men som kommer närmare och närmare 0,1.

Funktionsvärdet går mot ∞ när x går mot 0,1 från höger, så x = 0,1är vertikal asymptot tillg(x). Studerar man funktionsvärdet när x går mot 0,1 från vänster får man att funktionen istället går mot -∞. Vi kan till sist rita upp grafen till g(x) för att bekräfta det vi har kommit fram till.

Till sist avgör vi vilket värde x ska gå mot för att funktionen h(x)=0,5/(x+5)^2-3 ska gå mot positiva eller negativa oändligheten. Vi löser uppgiften på samma sätt som i tidigare deluppgifter och börjar med att avgöra för vilket x nämnaren i funktionen är 0. Det gör vi genom att sätta nämnaren lika med 0 och lösa ekvationen.

Nämnaren är alltså 0 då x=-5, så funktionen bör gå mot ∞ eller -∞ när x går mot -5 från höger eller vänster. Vi kan undersöka om detta stämmer när vi går från vänster genom att sätta in x-värden mindre än -5 som kommer närmare och närmare -5.

Funktionsvärdet går mot ∞ när x går mot -5 från vänster, så x = -5är vertikal asymptot tillh(x). Undersöker man funktionsvärdet när x går mot -5 från höger får man att funktionen går mot ∞ även då. Detta ser man tydligt om man ritar grafen till funktionen.

Det finns mycket som kan leda till att en funktion inte är definierad för ett visst värde, men en vanlig anledning är nolldivision. Om det finns ett bråk i funktionsuttrycket och om nämnaren blir 0 för något x-värde kommer funktionen inte att vara definierad för det värdet. T.ex. är funktionen f(x) = 1/x-17 inte definierad för x = 17, vilket är det vi är ute efter. Det går dock att hitta oändligt många fler funktioner som är odefinierade för detta x genom att byta ut nämnaren mot något annat uttryck som är 0 när x = 17, t.ex. 17 - x eller 2x - 34.

Om en funktion går mot ∞ eller -∞ när man går mot något x-värde kommer funktionen att ha en vertikal asymptot i det värdet. Tittar vi på funktionen från förra uppgiften, f(x) = 1/x - 17, och sätter in några värden närmare och närmare 17 ser vi att funktionsvärdet blir större och större.

Om man istället närmar sig 17 från vänster går funktionsvärdet mot -∞ på samma sätt. Skulle man rita upp grafen ser den ut på följande sätt.

Ett exempel på en funktion som har den vertikala asymptoten x = 17 är alltså den som vi hittade i förra uppgiften: f(x) = 1/x - 17. Man bör notera att bara för att en funktion är odefinierad för ett visst värde behöver det inte betyda att den har en asymptot där. Det är heller inte så att alla vertikala asymptoter ligger på x-värden där funktionen är odefinierad. Det är dock ofta på det sättet.

För att bestämma en horisontell asymptot undersöker man vad funktionen går mot när man låter x går mot ∞ eller - ∞. Vi tittar alltså på gränsvärdet lim _(x→ ∞) ( 3 - 5/2x ). Eftersom nämnaren i bråket går mot oändligheten när x gör det kommer själva bråket att gå mot 0 och det enda vi får kvar är konstanttermen 3. Det blir på samma sätt om man låter x gå mot -∞. Funktionen går alltså mot 3 när x går mot oändligheten och vi får den horisontella asymptoten y = 3. Om man ritar upp funktionen kan man se att detta verkar stämma bra.

Vi gör på samma sätt med den här funktionen och undersöker hur den beter sig när x går mot ∞ och -∞. Det blir lite lättare att göra det om vi börjar med att skriva om den första termen. Den är en potens med negativ exponent, så vi kan skriva den som ett bråk. g(x) = 2^(- x) - 2/3 = 1/2^x - 2/3 Om vi nu låter x gå mot ∞ kommer nämnaren i första bråket att gå mot ∞ och själva bråket mot 0. Vi får då lim _(x→ ∞) ( 1/2^x - 2/3 ) = 0 - 2/3 = -2/3. När x → ∞ närmar sig alltså funktionen den horisontella asymptoten y = -2/3. Men vad händer om x går mot -∞? Då kommer x att vara negativ och exponenten i termen 2^(- x) blir positiv. Exponenten blir större och större allt eftersom x rör sig mot -∞, så första termen kommer bli oändligt stor. Det finns alltså ingen asymptot när x→ - ∞. Det kan vi även se om vi ritar ut grafen till funktionen.

Den här funktionen ser kanske jobbig ut, med x både i täljaren och nämnaren i det första bråket. Det visar sig dock inte vara så farligt om man börjar med att förenkla bråket lite. Om man bryter ut 4 ur täljaren ser man att det som blir kvar faktiskt är samma sak som står i nämnaren, vilket innebär att man kan förkorta bort det.

Vi har nu ett fall som är väldigt likt det vi hade i första deluppgiften. Låter vi x gå mot ∞ eller -∞ kommer 1/7x att gå mot 0 och det enda som blir kvar är konstanten. lim _(x→ ±∞)( 4 - 1/7x ) = 4 - 0 = 4. Funktionen går alltså mot den horisontella asymptoten y = 4. Vi kan även se detta grafiskt.

Den vertikala asymptoten är den lodräta linjen.

Den går genom x-värdet 1 så ekvationen är x=1.

Den sneda asymptoten är den andra streckade linjen.

Sneda asymptoter är räta linjer som kan skrivas på k-form. Linjen skär y-axeln när y=1 vilket betyder att m-värdet är 1. Vi bestämmer k-värdet genom att läsa av lutningen.

För varje steg i x-led går linjen 2 steg nedåt. Det innebär att linjen har lutningen x = -2. Asymptotens ekvation blir alltså y=-2x+1.

En sned asymptot är en rät linje som kan skrivas på formen y=kx+m. Lutningen k kan bestämmas med gränsvärdet k=lim _(x→ ∞)f(x)/x. Vi sätter in funktionsuttrycket och beräknar gränsvärdet.

Asymptotens lutning är alltså k=-1. Vi använder detta k-värde för att bestämma m-värdet: m=lim _(x→ ∞)(f(x)-kx). Vi sätter in k=- 1 och funktionsuttrycket.

Linjens m-värde är -4, så asymptotens ekvation är y=- x-4.

Vi gör på samma sätt och börjar med att bestämma k genom att dividera funktionsuttrycket med x och låta x gå mot oändligheten.

Lutningen är alltså k=2. Vi använder den för att beräkna asymptotens m-värde.

Nu har vi både k- och m-värdet för asymptoten och kan konstatera att den är y=2x-1.

För en sned asymptot skriven på formen y = kx + m bestämmer vi lutningen k med hjälp av gränsvärdet k = lim _(x→ ∞)f(x)/x. Vi sätter in vår funktion och beräknar gränsvärdet.

Vi bestämmer nu asymptotens m-värde med hjälp av k-värdet vi precis bestämt och gränsvärdet m = lim _(x→ ∞) (f(x) - kx). Vi sätter in funktionsuttrycket samt k = 2 och beräknar gränsvärdet på liknande sätt som tidigare.

Asymptotens m-värde är -3. Nu när vi har både k- och m-värdet kan vi ställa upp asymptotens ekvation: y = 2x - 3.

Vi kan känna igen detta gränsvärde som det vi använder för att bestämma en sned asymptots k-värde. Eftersom y = kx + m är en sned asymptot till f(x) då x → ∞ är gränsvärdet samma som asymptotens lutning. Vi får alltså att lim _(x→ ∞) f(x)/x = k.

Det här gränsvärdet är istället det vi använder för att bestämma m-värdet för en sned asymptot. Av samma anledning som i föregående deluppgift får vi därför att lim _(x→ ∞) (f(x)-kx) = m.

Nu ska vi beräkna differensen mellan funktionen och dess asymptot då x går mot oändligheten. Enligt definitionen av sned asymptot vet vi att avståndet mellan funktionen och dess sneda asymptot går mot 0 då x → ∞. Denna differens går alltså också mot 0, vilket ger lim _(x→ ∞) (f(x) - (kx + m)) = 0.

Vi kan börja med att konstatera att alla grafer har en vertikal asymptot utom en, graf B.

Den har enbart en sned asymptot, men verkar i övrigt vara helt sammanhängande. För att få en vertikal asymptot ska funktionsvärdena gå mot plus eller minus oändligheten när man närmar sig ett visst x-värde. I de givna funktionerna skulle det betyda att nämnaren går mot 0. Finns det någon funktion där detta inte är fallet? Ja, titta på p(x)=2x-4+6/(x-2)^2+1. Den första termen i nämnaren, (x-2)^2, blir som minst 0 eftersom det är en kvadrat, så hela nämnaren, (x-2)^2+1, är alltid minst 1. Det betyder att det inte finns något specifikt x-värde där funktionen går mot oändligheten. Den har alltså ingen vertikal asymptot och måste därför höra ihop med graf B: B→ p(x) Graf C är den enda grafen som har en horisontell asymptot.

Det betyder att när x går mot mot oändligheten ska funktionen gå mot ett specifikt värde och inte oändligheten. Vi noterar att alla bråk går mot 0 när x går mot oändligheten och att det endast finns ett funktionsuttryck där man, förutom i ett bråk, inte har någon term innehåller x: g(x)=1/(x+2)^2-4 När x går mot oändligheten går funktionen mot -4 vilket verkar stämma överens med graf C. Vi kan också se att g(x) går mot oändligheten när x närmar sig -2. Det innebär att x=-2 är en vertikal asymptot vilket också ser ut stämma överens med grafen. C→ g(x) Nu har vi två grafer kvar — båda har vertikala och sneda asymptoter. Graf D har en vertikal asymptot längs med y-axeln, dvs. x=0.

Vi kan notera att f(x)=x+2-3/x går mot ±∞ när x går mot 0 så f(x) har en vertikal asymptot x=0. Vidare går 3/x mot 0 när x går mot oändligheten så asymptoten är y=x+2. Den har positiv lutning vilket även asymptoten i koordinatsystemet har, medan asymptoten till graf A har negativ lutning. D→ f(x) Nu har vi bara graf A kvar.

Den bör höra ihop med h(x) men vi kan säkerställa detta genom att undersöka funktionsuttrycket. När x går mot oändligheten går 2/2x+3 mot 0 och kvar blir då -x/2 vilket är asymptoten. Den har negativ lutning och går genom origo. Detta stämmer väl överens med graf A eftersom den sneda streckade linjen både har negativ lutning och går genom origo: A→ h(x).