Asymptoter

I uppgiften står det att funktionen f(x) har en horisontell asymptot y = a. Det står dock inte hur funktionen går mot den. Funktioner går ofta mot samma asymptot när x går mot ∞ och -∞, men det måste inte vara så. Det finns funktioner med asymptoter bara åt ena hållet, eller till och med olika asymptoter till höger och vänster. T.ex. har funktionen e^x en asymptot för -∞ men inte för ∞.

Det är alltså möjligt att f(x) går mot oändligheten eller något annat tal än a när x går mot ∞, trots att funktionen har en asymptot. Då vet vi inte vad gränsvärdet lim _(x→ ∞) (f(x) - a ) kan bli. För att kunna bestämma det måste det stå i uppgiften att det är just när x→∞ som funktionen går mot asymptoten. I det fallet blir gränsvärdet 0, precis som Ioana påstår. Nu vet vi dock inte det, vilket innebär att det är Andrei som har rätt.

Vi börjar med att undersöka informationen vi fick om asymptoterna. Vi vet att det finns exakt en horisontell och exakt en vertikal asymptot, samt att dessa skär varandra i punkten (2,4). Baserat på detta vet vi att den horisontella asymptoten har y-värdet 4 och den vertikala asymptoten har x-värdet 2.

Vertikala asymptoter finns för de x-värden där funktionen går mot ∞ eller -∞. Vi vet att funktionen har formen f(x) = x + 3/x^2 + px + q + C, som går mot oändligheten när nämnaren i det rationella uttrycket går mot 0. Nämnaren är ett polynom av andra graden som med hjälp av faktorsatsen kan skrivas om som en multiplikation av två faktorer x-a och x-b, där a och b är nollställena för polynomet. x^2 + px + q = (x - a)(x - b) För att funktionen ska ha den vertikala asymptoten vid rätt x-värde måste nämnaren bli 0 när x = 2, så vi sätter a=2. Den andra faktorn skapar dock ett problem eftersom vi vet att funktionen bara har en vertikal asymptot. Nämnaren får alltså inte bli 0 för något annat värde än 2. Ett sätt att undvika detta är att sätta även b till 2. Då får vi bråket x + 3/(x-2)^2 = x + 3/x^2 - 4x + 4, med konstanterna p = -4 och q = 4. Det finns dock ett annat sätt att hindra nämnaren från att blir 0 för något annat värde, och det är att göra sig av med den andra faktorn helt. I nämnaren står det ju x + 3, och om vi ser till att den andra faktorn är lika med detta kan vi stryka dem mot varandra. Vi sätter in b =-3, vilket ger x + 3/(x-2)(x+3) = 1/x-2. För att bestämma p och q i det här fallet multiplicerar vi ihop faktorerna i nämnaren. Då får vi (x-2)(x+3) = x^2 + x - 6x, vilket ger p = 1 och q = -6. Nu har vi alltså bestämt två möjliga funktioner, så när som på konstanten C: f(x) = x+3/x^2-4x+4 + C och f(x) = x+3/x^2+x-6 + C. För att bestämma C i de två fallen undersöker vi vad som händer med funktionsuttrycken när man låter x gå mot ∞. Vi vet att det ska finnas en horisontell asymptot y=4, så funktionsuttrycken ska som helhet gå mot 4. Vi börjar med det första uttrycket.

Gränsvärdet ska vara 4, så vi får C = 4. Bestämmer vi motsvarande gränsvärde för den andra funktionen ser vi att vi får samma resultat där.

Vi får alltså de två funktionerna f(x) = x+3/x^2-4x+4 + 4 och f(x) = x+3/x^2+x-6 + 4.