Polynom och funktioner

Polynom

Teori

Polynom

Polynom är algebraiska uttryck som är summor av en viss sorts variabel- och konstanttermer. Ett exempel på ett polynom är 4x5+x39x84. 4x^5 + x^3 - 9x - 84. Detta polynom är skrivet på allmän form, alltså som en summa på så förenklad form som möjligt. För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste

En annan viktig egenskap är att uttrycket är definierat för alla reella x.x. Den största exponenten på en variabel anger polynomets grad, så exemplet ovan är ett femtegradspolynom eftersom den största exponenten är 5.5. Ordet polynom kommer från grekiskans poly, som betyder många, och latinets nomen, som betyder namn.

Exempel

Vilka uttryck är polynom?

Räknelagar för polynom

När två polynom p(x)p(x) och q(x)q(x) adderas, subtraheras eller multipliceras blir resultatet ett nytt polynom h(x)h(x) med ett gradtal som beror på ursprungspolynomen.

Regel

Addition och subtraktion: Graden för h(x)h(x) blir som mest högsta gradtalet för p(x)p(x) eller q(x)q(x)

Regel

Multiplikation: Graden för h(x)h(x) är summan av gradtalen för p(x)p(x) och q(x)q(x)

Multiplicera och faktorisera polynom

Om två eller flera polynom multipliceras med varandra kan man använda parentesmultiplikation för att skriva om det till allmän form. Om man exempelvis multiplicerar polynomen x3+4x^3+4 och 2x212x^2-1 får man (x3+4)(2x21)=2x5x3+8x24. \left(x^3+4\right)\left(2x^2-1\right)=2x^5-x^3+8x^2-4. Graden på resultatet bestäms av räknelagarna för polynom. Att faktorisera polynom till faktorform är lite mer omständligt. För detta finns flera olika metoder.

Bryta ut

Ett sätt att faktorisera är att identifiera en faktor som finns gemensam i alla termer och bryta ut denna, t.ex. termen 2x2x i följande uttryck 2x3+6x24x=2x(x2+3x2). 2x^3+6x^2-4x=2x\left(x^2+3x-2\right). Detta kan bl.a. användas i samband med nollproduktmetoden.

Faktorisera med konjugat- och kvadreringsregelerna

Genom att använda konjugatregeln baklänges går det ibland att skriva om ett andragradspolynom som en produkt av två förstagradspolynom.

a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b)

På motsvarande sätt kan man använda första och andra kvadreringsregeln baklänges för att faktorisera vissa andragradspolynom.

a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

a22ab+b2=(ab)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

Exempel

Faktorisera polynomet