Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Parallelltransversal

En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.

Transversal som skär två linjer utan rät vinkel

En parallelltransversal är parallell med någon av sidorna inuti en geometrisk figur. I triangeln är $D E$ en parallelltransversal eftersom den är parallell med basen.

Regel

Topptriangelsatsen

Om man drar en parallelltransversal i en triangel skapas en topptriangel.

Topptriangelsatsen säger att denna topptriangel är likformig med den stora triangeln. Av likformigheten följer att förhållandet mellan trianglarnas motsvarande sidor är samma.

Topptriangel som visar topptriangelsatsen

Förhållandet mellan baserna är alltså samma som mellan de vänstra respektive högra sidorna.

$\frac{D E}{A B} = \frac{C D}{A C} = \frac{C E}{B C}$

Satsen kan bevisas genom att använda att transversalen är parallell med en av sidorna.

Bestäm längden av sidan med topptriangelsatsen

fullscreen

Sidan $D E$ är en parallelltransversal. Bestäm längden av sträckan $C D$ och svara med en decimal. Måtten är i cm.

Visa Lösning

Vi kallar sträckan $C D$ för $x .$ Eftersom $D E$ är en parallelltransversal är topptriangeln $C D E$ likformig med triangeln $A B C .$

För likformiga trianglar är förhållandet mellan motsvarande sidor lika stort. Det betyder att vi kan ställa upp ekvationen

\frac{1 . 2 5}{3} = \frac{x}{x + 2 . 5} .

Vi löser sedan ekvationen.

\frac{1 . 2 5}{3} = \frac{x}{x + 2 . 5}

CrossMult

Korsmultiplicera

1.25 (x + 2.5) = 3 \cdot x

Distr

Multiplicera in $1.25$

1.25 \cdot x + 1.25 \cdot 2.5 = 3 \cdot x

Multiply

Multiplicera faktorer

1.25 x + 3.125 = 3 x

SubEqn

$VL - 1.25 x = HL - 1.25 x$

3.125 = 1.75 x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

1.75 x = 3.125

DivEqn

$VL / 1.75 = HL / 1.75$

x = \frac{3 . 1 2 5}{1 . 7 5}

UseCalc

Slå in på räknare

x = 1.78571 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

x \approx 1.8

Sträckan $C D$ är cirka 1.8 cm.

Regel

Transversalsatsen

En parallelltransversal i en triangel delar två av sidorna i delsträckor. I triangeln har parallelltransversalen $D E$ ritats in och bildat delsträckorna $A D,$ $C D,$ $C E$ och $B E .$

Enligt transversalsatsen är förhållandet mellan delsträckorna på ena sidan samma som för delsträckorna på den andra sidan.

$\frac{C D}{A D} = \frac{C E}{B E}$

Satsen kan bevisas med hjälp av topptriangelsatsen.

Bestäm längden med transversalsatsen

fullscreen

Sträckan

D E

är en parallelltransversal. Bestäm längden av

C E

och svara med en decimal.

Visa Lösning

Vi kallar den okända sidan $C E$ för $x .$ Eftersom $D E$ är en parallelltransversal delas den nedre och övre sidan i samma förhållande.

Om vi delar

x

med

10

blir alltså kvoten samma som om vi delar

4

med

12

\frac{x}{1 0} = \frac{4}{1 2} .

Nu löser vi ut

x .

\frac{x}{1 0} = \frac{4}{1 2}

MultEqn

$VL \cdot 10 = HL \cdot 10$

x = \frac{4 0}{1 2}