body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

3b

Kurs 3b Visa detaljer

6. Tolka integraler

Klar med uppgifterna

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 5

6.

Tolka integraler

Lektionen erbjuder en detaljerad förklaring av integraler och hur de används i olika verkliga situationer. Den primitiva funktionen används för att beräkna integralen, och exempel ges på hur integraler kan användas för att beräkna sträckor, volymer och andra förändringshastigheter. Det finns exempel på hur integraler används för att beräkna vattenflödet i en dusch, sträckan som en löpare springer, och antalet bakterier i en odling. Lektionen förklarar också hur integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, som att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Integralens enhet och tolkning diskuteras också, och det finns exempel på hur integraler kan användas för att beräkna körsträcka för en bil som ändrar sin hastighet.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Tolka integraler

Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Integraler som modeller
Samband mellan sträcka hastighet och acceleration
Samband mellan derivata och integral
Lösa problem med integral

Förkunskaper

Förklaring

Integraler som modeller

Integraler kan användas i många verkliga situationer där värden varierar. Det kan handla om att beräkna

körsträckan för en bil som ändrar sin hastighet,
area eller volym för föremål med olika bredd på olika ställen,
energi förbrukad av en lampa med varierande effekt (dvs. en dimmer).

Den vanliga formeln för att beräkna körsträcka är s = vt, där v är bilens fart och t tiden den kör. Men om bilen kör olika fort vid olika tidpunkter bör farten beskrivas som en funktion av tiden, v(t). Då beräknas körsträckan mellan tidpunkterna t_1 och t_2 istället med integralen s = ∫_(t_1)^(t_2) v(t) dt.

Man kan tänka på detta som samma formel s = vt, fast upprepad oändligt många gånger. Under ett oändligt kort tidsintervall dt hinner farten inte ändras. Då är hastigheten v(t) konstant, så bilen färdas sträckan v(t) dt på den tiden. Integralen summerar alla sådana delsträckor mellan t_1 och t_2, och på så sätt beräknas den totala sträckan.

Regel

Sträcka, hastighet och acceleration

Sambandet mellan sträcka, hastighet och acceleration är en väldigt vanlig tillämpning av integraler. Derivatan av sträcka är hastighet, och därför är sträcka integralen av hastighet. På samma sätt kan hastighet deriveras till acceleration, vilket innebär att hastighet beräknas som integralen av acceleration.

På samma sätt kan man utvidga den här kopplingen mellan derivata och integral i ett allmänt fall, för någon funktion f(x).

Tolkningen av en integral varierar från fall till fall, men en derivata beskriver en förändringshastighet och på motsvarande sätt kan en integral tolkas som en sammanlagd förändring. Om man har en modell för hur något förändras (t.ex. antal födslar per dag) kan man, med hjälp av integraler, beräkna hur mycket som förändrats (antal nyfödda på ett år).

Regel

Enhet för integral

Som hjälp för att tolka en integral i ett verkligt sammanhang kan man använda integralens enhet. Den hittar man genom att multiplicera enheterna på koordinataxlarna.

Regel

Integralens enhet= x-axelns enhet* y-axelns enhet

En bestämd integral kan tolkas som arean under en kurva. En sådan integral kan approximeras med en Riemannsumma, där arean under grafen delats in i staplar. Arean av en stapel är produkten av avståndet i x-led och y-led: Δ x * Δ y. Om man har enheter på x- och y-axeln, kommer integralens enhet därför att vara produkten av dessa. Om enheterna t.ex. är meter per sekund (m/s) och sekund (s) kommer stapelns bredd ha enheten s och stapelns höjd m/s.

Arean, som i det här fallet är integralen, kommer då att få enheten s* ms. Förenklas uttrycket får man enheten meter (m).

Metod

Lösa problem med integraler

Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen f(t)=0,5t-0,002t^2, där t är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och f(t) är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första 30 sekunderna med en integral.

1

Bestäm integrationsgränser

Man ska beräkna sträckan under de 30 första sekunderna dvs. på intervallet 0-30 sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är 0 och 30.

2

Ställ upp integralen

Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten 5.m /s. innebär t.ex. att sträckan ökar med 5 meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de 30 första sekunderna ges då av ∫_0^(30)(0,5t-0,002t^2) dt.

3

Beräkna integralen

För att beräkna integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till f(t).

f(t)=0,5t-0,002t^2

AntiderivativeOne

Bestäm en primitiv funktion

F(t)=D^(-1)(0,5t)-D^(-1)(0,002t^2)

D^(- 1)(ax) = ax^2/2

F(t)=0,5t^2/2-D^(-1)(0,002t^2)

AntideriveMonomCo

D^(- 1)(ax^n)=ax^(n+1)/n+1

F(t)=0,5t^2/2-0,002t^3/3

Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.

∫_0^(30)(0,5t-0,002t^2 ) d t

∫_a^b f(t) dt=[F(t)]_a^b

[0,5t^2/2-0,002t^3/3]_0^(30)

EnterIntLimitsGen

[F(t)]_0^(30)=F( 30)-F( 0)

0,5* 30^2/2-0,002* 30^3/3-(0,5* 0^2/2-0,002* 0^3/3)

Beräkna kvot & produkt

0,5* 30^2/2-0,002* 30^3/3

Beräkna potens

0,5*900/2-0,002*27 000/3

Förenkla kvot

0,5*450-0,002*9000

Multiplicera faktorer

225-18

Subtrahera term

207

Integralens värde är 207.

4

Besvara frågan i uppgiften

Eftersom integralens värde är 207 hinner cyklisten alltså 207 meter under de 30 första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut. f(t) har enheten m/s och t har enheten s. Det betyder att integralen får enheten m/s* s=m.

Exempel

Ställ upp och beräkna integralen

När Cassandra duschar varierar vattenflödet v(x) liter/min ur duschmunstycket enligt funktionen v(x)=-0,025x^2+0,25x+12, där x är antal minuter efter att hon vridit på vattnet. En dag testar hon att sätta i proppen i badkaret innan hon börjar duscha för att se hur mycket varmvatten hon gör av med. Om hon duschar i en kvart, hur många liter vatten bör då finnas i badkaret?

Ledtråd

Ställ upp en integral med den givna flödesfunktionen. Fundera på vilket tidsintervall som ska användas som gränser.

Lösning

Vi vill här summera en volym under en tid, vilket innebär att vi troligen kan lösa problemet med en integral.

Bestäm gränserna

Hon duschar i en kvart, dvs. i 15 minuter. Den undre integrationsgränsen är därför x=0 och den övre är x=15.

Ställ upp integralen

Funktionen v(x) beskriver hur många liter per minut som lämnar munstycket, och vi vill beräkna den totala volymen vatten som Cassandra gör av med. Eftersom flödeshastigheten förändras över tid kan vi integrera v(x) över denna tid för att hitta volymen: ∫_0^(15) (-0,025x^2+0,25x+12 ) dx.

Beräkna integralen

Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till v(x).

v(x)=-0,025x^2+0,25x+12

AntiderivativeOne

Bestäm en primitiv funktion

V(x)=D^(- 1)(-0,025x^2)+D^(- 1)(0,25x)+D^(- 1)(12)

AntideriveMonomCo

D^(- 1)(ax^n)=ax^(n+1)/n+1

V(x)=-0,025x^3/3+D^(- 1)(0,25x)+D^(- 1)(12)

D^(- 1)(ax) = ax^2/2

V(x)=-0,025x^3/3+0,25x^2/2+D^(- 1)(12)

AntideriveConst

D^(- 1)(a) = ax

V(x)=-0,025x^3/3+0,25x^2/2+12x

Nu kan vi använda integralkalkylens huvudsats för att beräkna integralen.

∫_0^(15)-0,025x^2+0,25x+12 d x

∫_a^b v(x) dx=[V(x)]_a^b

[-0,025x^3/3+0,25x^2/2+12x]_0^(15)

EnterIntLimitsGen

[V(x)]_0^(15)=V( 15)-V( 0)

-0,025* 15^3/3+0,25* 15^2/2+12* 15-(-0,025* 0^3/3+0,25* 0^2/2+12* 0)

Beräkna kvot & produkt

-0,025*15^3/3+0,25*15^2/2+12*15

Slå in på räknare

180

Besvara frågan i uppgiften

Integralen har värdet 180. Eftersom v(x) har enheten liter/min och x har enheten minuter kommer integralen att få enheten literminuter * minuter = liter. Cassandra gör alltså av med 180liter vatten när hon duschat i 15 minuter. Eftersom ett normalstort badkar rymmer ungefär 150 liter behöver hon dra ur proppen om hon inte vill att badkaret ska svämma över.

Tolka integraler

Uppgifter

När man lämnar blod flödar det med hastigheten 0,3.dl /min.. Xander, som ska lämna blod i morgon, är lite rädd. Hans storebror Philip, som har lämnat blod flera gånger och är väldigt duktig på matte, försöker lugna Xander genom att ställa upp en integral som beskriver vad som händer när man lämnar blod: ∫_0^(15) 0,3 dt=4,5.

Hur mycket blod ska Xander ge?

Hur lång tid tar blodgivningen?

Mängden blod som Xander ska ge är integralen av hastigheten som blodet flödar med per minut, dvs. 0,3.dl /min. under hela perioden som Xander ger blod. Vi ser att integralens värde är 4,5 vilket alltså betyder att Xander ska lämna 4,5 dl blod.

Från integralen ser vi att integrationsgränserna är 0 och 15 och eftersom tiden mäts i minuter måste detta innebära att blodgivningen tar 15 minuter.

Hastigheten v för ett plan som ska lyfta kan beskrivas med funktionen v(t)=5t .m /s. där t är tiden i sekunder. Starten tar 15 sekunder. Hur lång sträcka färdas planet de sista 5 sekunderna?

Eftersom starten tar 15 sekunder är de sista fem sekunderna mellan t=10 och t=15. Sträckan som planet har färdats får vi genom att beräkna integralen av hastigheten mellan dessa tider: ∫_(10)^(15)v(t) d t . Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till v(t).

Nu kan vi beräkna integralen mellan 10 och 15.

Planet färdas 312,5 meter de sista 5 sekunderna.

Micah springer sitt första maraton och hans hastighet under den första löptimmen kan beskrivas av funktionen v(t)=29t-14,5t^2, där t är tiden i timmar och v(t) är hastigheten i km/h.

Ställ upp en integral som beskriver hur långt Micah hinner de första 45 minuterna.

Beräkna hur långt han hinner de första 45 minuterna. Avrunda till en decimal.

Vi ska ställa upp en integral som beskriver den sträcka Micah hinner under de första 45 minuterna, och börjar med att bestämma integrationsgränserna. Den nedre gränsen bör vara t=0 och övre gränsen t=0,75, eftersom 45 min =0,75h. Integranden kommer vara hastighetsfunktionen v(t), eftersom sträckan Micah springer kan beskrivas som integralen av hans hastighet. Sträckan representeras alltså av integralen ∫_0^(0,75)(29t-14,5t^2 ) d t .

Vi tar reda på hur långt han hinner på 45 minuter genom att beräkna värdet på integralen vi nyss ställde upp. Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till v(t).

Nu använder vi V(t) för att beräkna integralens värde.

Integralens värde är 6,1. Eftersom v(t) har enheten km/h och t har enheten h kommer integralen att få enheten km/h * h = km. Micah springer alltså ca 6,1km under de första 45 minuterna.

Proppen dras ut ur ett badkar som är helt fyllt med vatten. Vattnet rinner ut med hastigheten f(t)=21-0,4t liter/minut och det tar 8 minuter för badkaret att tömmas. Hur många liter rymmer badkaret? Avrunda till hela liter.

Vi vet från uppgiften att vattnet rinner ut med hastigheten f(t)=21-0,4t och att badkaret töms på 8 minuter. Genom att beräkna integralen till f(t) mellan integrationsgränserna 0 och 8 kan vi bestämma den sammanlagda förändringen under denna tid, dvs. den totala mängden vatten som runnit ut ur badkaret. Vi ska alltså bestämma integralen ∫_0^8f(t) d t , och måste då först bestämma en primitiv funktion till f(t).

Nu beräknar vi integralen.

Badkaret rymmer ca 155 liter.

Den skickliga bartendern Glafkos jobbar på en bar i soliga Ayia Napa. Han är så pass skicklig att han faktiskt kan hälla upp öl med en konstant hastighet på 0,15 liter/sekund.

Ställ upp en integral som beskriver hur många liter Glafkos hinner hälla upp på 5 minuter.

Hur många halvlitersglas hinner Glafkos fylla på 5 minuter?

Hastigheten som Glafkos kan hälla upp öl med kan beskrivas med funktionen v=0,15, där v har enheten liter/sekund. För att beskriva antalet liter öl han kan hälla upp på 5 minuter ställer vi därför upp en integral med integranden 0,15 och integrationsgränserna s=0 respektive s=300, eftersom 5 minuter är lika med 300 sekunder: ∫_0^(300)0,15 d s . Vi väljer integrationsvariabeln s eftersom tidsenheten i detta sammanhang är just sekunder.

Genom att beräkna integralen vi ställde upp i föregående deluppgift kan vi bestämma hur många liter öl Glafkos kan hälla upp på 5 minuter, vilket är en bra start när vi vill ta reda på hur många halvlitersglas han kan fylla på samma tid. För att beräkna integralen måste vi först bestämma en primitiv funktion till integranden.

Nu använder vi V(s) för att beräkna integralens värde.

Integralens värde är 45. Eftersom v har enheten liter/sekund och s har enheten sekund kommer integralen att få enheten liter/sekund * sekund = liter. Glafkos kan alltså hälla upp 45 liter öl på 5 minuter. Varje liter kan delas upp på 2 halvlitersglas, vilket innebär att han kan fylla 45*2=90 st. halvliterglas på5min.

Förändringshastigheten för en bakterieodling efter t timmar kan beskrivas enligt funktionen f(t)=2,1* 2^(3t).bakterier /timme.. Hur många bakterier finns det efter ett dygn? Svara med två värdesiffror.

Vi vet att antalet bakterier förändras över tid enligt funktionen f(t). Om vi integrerar funktionen får vi reda på hur antalet bakterier förändras över ett visst tidsintervall. På ett dygn går det 24 timmar, vilket betyder att integrationsgränserna är 0 och 24: ∫_0^(24)2,1* 2^(3t) d t . För att beräkna integralen börjar vi med att ta fram en primitiv funktion till f(t).

Den här primitiva funktionen använder vi för att beräkna integralen.

Efter det första dygnet finns det alltså cirka 4,8*10^(21) bakterier i odlingen.

I ett laboratorium har man beställt ett prov med en viss isotop av grundämnet torium. Denna isotop är radioaktiv och sönderfaller med h(t) = 3,7e^(-0,37t) .g /år,. där t är antalet år efter att provet anlände. Hur många gram sönderfaller under det första året? Svara med en decimal.

Funktionen h(t) anger hur många gram av provet som sönderfaller per år vid en viss tidpunkt t, så integralen av h(t) på ett intervall kommer att vara den mängd torium som sönderfaller under den tidsperioden. För att kunna bestämma en sådan integral måste vi först bestämma en primitiv funktion till h(t).

Vi vill bestämma hur mycket som sönderfaller under det första året, alltså från t = 0 till t = 1, så vi ställer upp och beräknar integralen från 0 till 1 över funktionen h(t).

Under det första året har alltså ca 3,1 gram av provet sönderfallit.

Redigera lektion

≥

>

■2

■▢

e▢

7

8

9

×

÷■1

=

=

√▢

▢√

∫▢▢

4

5

6

+

−

≤

<

log

ln

log▢

1

2

3

()

∣

sin

cos

tan

0

.

π

x

y