5. Skala
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
3.
Skala
Skala inom matematik handlar om att göra en förminskning eller förstoring av ett objekt. Det kan vara en karta som är förminskad jämfört med verkligheten eller en bild på en insekt som är förstorad. Skala är ett mått på hur mycket man har förminskat eller förstorat. Det finns olika typer av skalor som längdskala, areaskala och volymskala. Längdskalan anger förhållandet mellan längden på en avbildning och objektets verkliga längd. Areaskala och volymskala definieras på liknande sätt. Skala kan anges med ett kolon, där längden i avbildningen anges till vänster om kolonet och motsvarande längd i verkligheten till höger. Det finns exempel på hur man kan använda skala för att bestämma verkliga längder och skalor på avbildningar.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 9 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Skala
Sida av 7
Om man ska rita av något kan det ibland vara oöverskådligt, och i vissa fall omöjligt eller meningslöst, att göra en exakt kopia. Då kan man göra en förminskning eller förstoring. Exempelvis är en karta förminskad jämfört med verkligheten medan en bild på en insekt antagligen är förstorad. 
Skala är ett mått på hur mycket man har förminskat eller förstorat. När man talar om skala menar man oftast längdskala, men det finns även area- och volymskala.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Skala
- Längd- area- och volymskala
Förkunskaper
Teori
Längd- area- och volymskala
En längdskala anger förhållandet mellan längden på en avbildning av ett objekt och objektets verkliga längd. Den kan definieras på följande sätt.
La¨ngdskalefaktor=Motsvarande la¨ngd i verklighetenLa¨ngd i avbildning
Om längdskalan t.ex. är 41 innebär det alltså att avbildningen är en fjärdedel så lång som det verkliga objektet.
Man kan även avgöra hur arean eller volymen i en avbildning förhåller sig till arean eller volymen av det verkliga objektet. Då talar man istället om areaskala respektive volymskala. De definieras på liknande sätt som längdskala.
Areaskalefaktor=Motsvarande area i verklighetenArea i avbildning
Volymskalefaktor=Motsvarande volym i verklighetenVolym i avbildning
Notation
SkalaEtt vanligt sätt att ange längd-, area- eller volymskala är genom att använda ett kolon. Följande majblomma, som i verkligheten är 4 cm hög, är t.ex. avbildad i längdskalan 1:4 vilket betyder samma sak som 41. Skalan utläses ett till fyra och betyder att 1 cm på bilden motsvarar 4 cm i verkligheten.
Generellt gäller det att längden i avbildningen anges till vänster om kolonet och motsvarande längd i verkligheten till höger om kolonet.
Avbildning:Verklighet
Även för area- och volymskala anges värdena för avbildningen till vänster om kolonet och de verkliga värdena till höger. Om talet till vänster är lägre än det till höger är avbildningen en förminskning medan det är en förstoring om om det vänstra talet är större än det högra.
Det är också möjligt att hitta längdskalefaktorn genom att känna till antingen areaskalefaktorn eller volymskalefaktorn med hjälp av följande relationer.
La¨ngdskalefaktorLa¨ngdskalefaktor=Areaskalefaktor=3Volymskalefaktor
Exempel
Bestäm den verkliga längden med skala
Nike är konstnär och har utmanat sig själv genom att rita av sitt bostadsområde under en helikoptertur.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m","answer":{"text":["45"]}}
Ledtråd
Skalafaktorn 1:3000 betyder att 1 centimeter i ritningen motsvarar 3000 centimeter i verkligheten.
Lösning
Vi vet att skalan är 1:3000. Det betyder att 1 cm på bilden motsvarar 3000 cm i verkligheten. I skissen ser vi att fotbollsplanens kortsida är 1,5 cm och att långsidan är 3 cm. Vi multiplicerar dessa längder med 3000 för att bestämma hur långa planens sidor är i verkligheten.
Kortsida: 1,5⋅3000=4500 cmLa˚ngsida: 3⋅3000=9000 cm
Till sist skriver vi om längderna till enheten meter, eftersom det är mer användbart i sammanhanget. Det gör vi genom att dividera med 100. Vi får då att kortsidan är 45 m lång och att långsidan är 90 m lång.
Exempel
Bestäm skalan
En röd blodkropp har diametern 8 mikrometer. I en lärobok förstoras en bild på den upp så att diametern blir 4 cm. Vad blir skalan på avbildningen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mrel\">:<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["5000"]}}
Ledtråd
Dividera längden i bilden med dess verkliga längd.
Lösning
Vi beräknar skalan genom att dividera längden på avbildningen med den verkliga längden. Men eftersom längderna är i olika enheter måste vi först skriva om dem till samma, t.ex. meter. 1 mikrometer är en miljondels meter vilket betyder att
5000 kan skrivas som ett bråk med nämnaren 1:
8 mikrometer=8⋅10−6 m.
Det går 100 cm på en meter så 4 cm är 1004=0,04 meter. Nu kan vi bestämma skalan.
Skala=La¨ngd i verklighetenLa¨ngd i avbildning
SubstituteValues
Sätt in värden
Skala=8⋅10−60,04
UseCalc
Slå in på räknare
Skala=5000
5000=15000.
Detta betyder att skalan är 5000 till 1, vilket brukar skrivas 5000:1.
Övning
Öva på att hitta längdskalefaktorn med hjälp av givna areor
Två figurer och deras area visas i följande applet. Använd den givna informationen för att hitta längdskalefaktorn från figuren till höger till figuren till vänster. Avrunda svaret till två decimaler.
Övning
Öva på att hitta längdskalefaktorn med hjälp av givna volymer
Appletet visar två kroppar och deras volymer. Använd den givna informationen för att hitta längdskalefaktorn från kroppen till höger till kroppen till vänster. Avrunda svaret till två decimaler.
Avslut
Sammanfattning
Denna lektion diskuterade skalafaktorer och hur de kan användas i olika scenarier. Den vanligaste skalafaktorn är längdskalafaktorn, som relaterar måttet på en sida av ett objekt till ett annat objekt som är likt det.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Skalafaktorn kan skrivas som kvoten av modellens längd och objektets faktiska längd.
La¨ngdskala=Faktisk la¨ngdLa¨ngden pa˚ modellen
Skalafaktorn kan också skrivas med ett kolon.
La¨ngden pa˚ modellen:Faktisk la¨ngd
Area — och volymskalafaktorer används också. De bestäms på liknande sätt som längdskalafaktorn, men med area eller volym istället.
AreaskalaVolymskala=Arealen i verklighetenArealen av modellen=Verklig volymModellens volym
Skalafaktorer används i stor utsträckning för att representera saker som antingen är för små eller för stora för att få plats i till exempel böcker eller på skärmar. De förekommer ofta i verkliga scenarier!
Skala
Övningar
Motsvarar detta en förminskning eller en förstoring?
1:40
{"type":"choice","form":{"alts":["F\u00f6rstoring","F\u00f6rminskning"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
5:1
{"type":"choice","form":{"alts":["F\u00f6rstoring","F\u00f6rminskning"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
3:4
{"type":"choice","form":{"alts":["F\u00f6rstoring","F\u00f6rminskning"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
När man uttrycker en skala med hjälp av kolon gäller det att längden i avbildningen anges till vänster om kolonet och motsvarande längd i verkligheten till höger om kolonet. Vi kan alltså tolka skalan 1:40 som att 1 le. (t.ex. cm) i avbildningen motsvarar 40 le. i verkligheten. Skalan representerar alltså en förminskning.
Skalan 5:1 betyder att 5 le. i avbildningen motsvarar 1 le. i verkligheten. Avbildningen är då en förstoring.
Skalan 3:4 representerar en förminskning, eftersom talet till vänster om kolonet är lägre är talet till höger. Mer specifikt motsvarar den en avbildning där 3 le. på bilden motsvarar 4 le. i verkligheten.
security
report
code
Ash har fotograferat följande snöflinga. Vilken bredd har den i verkligheten?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"mm","answer":{"text":["3"]}}
security
report
code
security
report
code
Skalan 10:1 betyder att 10 mm på bilden motsvarar 1 mm i verkligheten. Avbildningen är alltså en tio gångers förstoring av verkligheten. Vi ser att snöflingan är 30 mm i avbildningen vilket måste innebära att den är 30/10=3mm i verkligheten.
security
report
code
Dragi har en avbildning av kvarteret där han bor. I bilden har han mätt att den kortaste vägen mellan korsningarna Idrottsgatan/Klipparstigen och Yxgatan/Marmeladstigen är 7,5 cm. Hur lång är den kortaste vägen mellan dessa korsningar i verkligheten? Svara i meter.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m","answer":{"text":["105"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att identifiera vilka korsningar det är vi ska beräkna avståndet mellan. Det finns två olika sätt att ta sig mellan dem. Den kortaste av dessa, som går via Marmeladstigen och Klipparstigen, är markerad med rött.
Dragi har mätt att denna sträcka är 7,5 cm i bilden och vi använder den angivna skalan för att bestämma motsvarande sträcka i verkligheten. Skalan 1:1 400 innebär att 1 cm på bilden motsvarar 1 400 cm i verkligheten, så 7,5 cm motsvarar 7,5*1 400=10 500cm. Vi ska svara i meter så vi dividerar med 100 eftersom det går 100 cm på 1 m. 10 500/100=105 I verkligheten är den kortaste vägen mellan korsningarna Idrottsgatan/Klipparstigen och Yxgatan/Marmeladstigen alltså 105 m.
security
report
code
Ett företag har tryckt upp tröjor med sin logotyp.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"g\u00e5nger bredare","answer":{"text":["6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi söker längdskalan: Längdskala=Längd på avbildning/Motsvarande längd i verkligheten. Trycket är 18 cm brett och originalet är 3 cm så vi delar de med varandra.
Trycket är 6 alltså gånger längre i verkligheten.
security
report
code
Bilden visar Elicias vardagsrumsgolv.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m","answer":{"text":["22"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["26"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att beräkna hur långa de okända sidorna i avbildningen är. Vi kallar dem x och y.
Vi kan se att följande samband gäller.&x+2=5 &y+2=6 Vi löser nu ut variablerna för att bestämma längderna på de okända sidorna. &x+2=5 ⇔ x=3 &y+2=6 ⇔ y=4 Nu känner vi till alla sidlängder.
Omkretsen i avbildningen är alltså 6+3+2+2+4+5=22cm. Nu använder vi skalan för att avgöra hur lång omkretsen är i verkligheten. Skalan är 1:100 vilket innebär att 1 cm i bilden motsvarar 100 cm i verkligheten. En omkrets på 22 cm i bilden motsvarar alltså en omkrets på 22*100=2 200cm i verkligheten. Till sist omvandlar vi till meter genom att dividera med 100, eftersom det går 100 cm på 1 m. Det ger oss att den faktiska omkretsen på Elicias vardagsrum är 2 200/100=22m. Vi hade också kunnat lösa uppgiften genom att först bestämma varje sidas faktiska längd med hjälp av skalan och därefter beräknat omkretsen.
För att bestämma arean delar vi upp rummet i två rektanglar.
Skalan 1:100 ger att de markerade sidornas faktiska längder är 3 m, 2 m, 4 m och 5 m. Vi bestämmer arean av respektive rektangel genom att multiplicera dess bredd och längd. Liten rektangel:3*2=6m^2 Stor rektangel:5*4=20m^2 Vi adderar nu areorna för att få vardagsrummets totala area: 6+20=26m^2.
security
report
code
Skala
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll