Räta linjers egenskaper: Räta linjens ekvation och vinkelräta linjer

En rät linjes riktningskoefficient kan användas till mer än att beskriva lutningen. Det finns exempelvis särskilda samband mellan räta linjers

k

-värden som kan utnyttjas för att avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta.

Regel

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på $k$ -form innebär det att deras $k$ -värden, $k_{1}$ och $k_{2},$ är samma.

$k_{1} = k_{2}$

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma

m

-värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.

Är linjerna parallella?

fullscreen

Är den räta linjen som går igenom punkterna $(1, 2)$ och $(3, 8)$ parallell med linjen $y = 3 x + 5 ?$

Visa Lösning

För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma $k$ -värde. Den räta linjen $y = 3 x + 5$ har $k$ -värdet $3 .$ Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i $k$ -formeln.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePoints

Sätt in $(3, 8)$ & $(1, 2)$

k = \frac{8 - 2}{3 - 1}

SubTerms

Subtrahera termer

k = \frac{6}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

k = 3

Linjerna har alltså samma $k$ -värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika $m$ -värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in $k = 3$ samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex. $(1, 2),$ i räta linjens ekvation.

y = 3 x + m

SubstituteII

$x = 1$ och $y = 2$

2 = 3 \cdot 1 + m

Multiply

Multiplicera faktorer

2 = 3 + m

SubEqn

$VL - 3 = HL - 3$

- 1 = m

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

m = - 1

Ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna är alltså

y = 3 x - 1 .

Denna linje och

y = 3 x + 5

har samma

k

-värde men olika

m

-värden och är därmed parallella.

Regel

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln $9 0^{\circ}$ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter,

k_{1}

och

k_{2},

lika med

- 1 .

$k_{1} \cdot k_{2} = - 1$

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras

k

-värden. Om produkten blir

- 1

är de vinkelräta.

Är linjerna vinkelräta?

fullscreen

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Visa Lösning

Två linjer är vinkelräta om produkten av deras

k

-värden är

- 1 .

Vi kan läsa av att lutningarna är

- 2

och

0.4,

så det är bara att multiplicera dem:

- 2 \cdot 0.4 = - 0.8 .

Produkten blev inte

- 1,

så linjerna är inte vinkelräta.

Begrepp

Allmän form - rät linje

Alla linjer går inte att skriva på $k$ -form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala.

$a x + b y + c = 0$

Flera kombinationer av konstanterna

a

b

och

c

kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Löser man ut

y

får man linjen skriven på

k

-form.

Omvandla från allmän form till $k$ -form

fullscreen

Skriv den räta linjen $2 y + 8 - 4 x = 0$ på $k$ -form.

Visa Lösning

För att skriva om linjen till $k$ -form löser vi ut $y .$

2 y + 8 - 4 x = 0

AddEqn

$VL + 4 x = HL + 4 x$

2 y + 8 = 4 x

SubEqn

$VL - 8 = HL - 8$

2 y = 4 x - 8

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

y = 2 x - 4

Den räta linjen är alltså $y = 2 x - 4$ på $k$ -form.

Omvandla från $k$ -form till allmän form

fullscreen

Skriv linjen $y = 0.4 x - 7$ på allmän form.

Visa Lösning

När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med $10$ eftersom produkten av $10 \cdot 0.4$ är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.

y = 0.4 x - 7

MultEqn

$VL \cdot 10 = HL \cdot 10$

10 y = 4 x - 70

SubEqn

$VL - 4 x = HL - 4 x$

10 y - 4 x = - 70

AddEqn

$VL + 70 = HL + 70$

10 y - 4 x + 70 = 0

Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med

2 .

På allmän form skrivs linjen alltså

5 y - 2 x + 35 = 0 .

Regel

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast $k$ -form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt $(x_{1}, y_{1})$ som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

$y - y_{1} = k (x - x_{1})$

Sätter man in de kända koordinaterna $x_{1}$ och $y_{1}$ i enpunktsformen och löser ut $y$ får man linjen på $k$ -form.

Härledning

y - y_{1} = k (x - x_{1})

{{ article.displayTitle }}

Parallella linjer

Exempel

Är linjerna parallella?

Vinkelräta linjer

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Allmän form - rät linje

Exempel

Omvandla från allmän form till $k$ -form

Exempel

Omvandla från $k$ -form till allmän form

Enpunktsform

Härledning

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Är linjerna parallella?

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Exempel

Omvandla från allmän form till k-form

Exempel

Omvandla från k-form till allmän form

Härledning

Omvandla från allmän form till $k$ -form

Omvandla från $k$ -form till allmän form