body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2c

Kurs 2c Visa detaljer

6. Rotekvationer

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 2

6.

Rotekvationer

En rotekvation är en ekvation som innehåller en variabel under ett rottecken. När man löser dessa ekvationer är det ofta nödvändigt att kvadrera båda sidorna, vilket kan leda till falska rötter. Det är viktigt att kontrollera lösningarna genom att sätta in dem i ekvationen och se om vänster- och högerled blir lika stora. Lektionen förklarar hur man löser rotekvationer genom att skriva om dem så att det går att kvadrera bort roten och sedan pröva de rötter man får för att undvika falska rötter. Det finns också exempel och övningar för att hjälpa studenter att förstå och tillämpa konceptet.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Rotekvationer

Sida av 5

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Rotekvation
Lösa rotekvationer

Förkunskaper

Teori

Rotekvation

En rotekvation är en ekvation som innehåller minst en term där en variabel står under ett rottecken, t.ex.

x = 5 och x + 2 = x .

När man löser rotekvationer är det ofta nödvändigt att kvadrera båda leden, vilket kan leda till falska rötter, alltså rötter som inte är lösningar till ekvationen. Det är därför viktigt att kontrollera sina lösningar genom att sätta in lösningarna i ekvationen och undersöka om vänster- och högerled blir lika stora.

Metod

Lösa rotekvationer

När man löser rotekvationer, t.ex.

4 x + 13 - 2 = x,

börjar man med att skriva om dem så att det går att kvadrera bort roten. Det är sedan viktigt att pröva de rötter man får ut för att undvika falska rötter.

1

Lös ut rotuttrycket

Börja med att lösa ut rotuttrycket så att det står ensamt i höger- eller vänsterledet. Här adderas

2

till båda led.

4 x + 13 - 2 = x

$VL + 2 = HL + 2$

4 x + 13 = x + 2

2

Kvadrera båda led

Kvadrera båda led för att bli av med rottecknet.

4 x + 13 = x + 2

$VL^{2} = HL^{2}$

4 x + 13 = (x + 2)^{2}

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

4 x + 13 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}

Förenkla potens & produkt

4 x + 13 = x^{2} + 4 x + 4

3

Lös ekvationen med lämplig metod

När ekvationen inte längre innehåller ett rottecken kan den lösas med lämplig metod, t.ex. balansmetoden, nollproduktmetoden eller

p q

4 x + 13 = x^{2} + 4 x + 4

Omarrangera ekvation

x^{2} + 4 x + 4 = 4 x + 13

$VL - 4 x = HL - 4 x$

x^{2} + 4 = 13

$VL - 4 = HL - 4$

x^{2} = 9

$VL = HL$

x = \pm 9

Beräkna rot

x = \pm 3

4

Pröva rötterna

För att undersöka om någon av lösningarna är en falsk rot prövas de genom att sättas in i ursprungsekvationen.

4 x + 13 - 2 = x

$x = 3$

4 \cdot 3 + 13 - 2 = ? 3

Multiplicera faktorer

12 + 13 - 2 = ? 3

Addera termer

25 - 2 = ? 3

Beräkna rot

5 - 2 = ? 3

Subtrahera term

3 = 3

Roten

x = 3

löser ekvationen. Nu testas

x = - 3 .

4 x + 13 - 2 = x

$x = - 3$

4 \cdot (- 3) + 13 - 2 = ? - 3

Multiplicera faktorer

- 12 + 13 - 2 = ? - 3

Addera termer

1 - 2 = ? - 3

Beräkna rot

1 - 2 = ? - 3

Subtrahera term

- 1 \neq = - 3

Likheten gäller inte för

x = - 3,

som då är en falsk rot. Den enda lösningen till rotekvationen är

x = 3 .

Exempel

Lös rotekvationen

Lös ekvationen

x^{2} - 7 = 3 .

Ledtråd

Börja med att kvadrera båda sidor av ekvationen för att bli av med kvadratroten. Glöm inte att kontrollera för falska lösningar!

Lösning

För att lösa ekvationen börjar vi med att kvadrera båda led för att bli av med rottecknet. När det är gjort går det att lösa ut

x .

x^{2} - 7 = 3

$VL^{2} = HL^{2}$

x^{2} - 7 = 3^{2}

▼

Lös ut

x

Beräkna potens

x^{2} - 7 = 9

$VL + 7 = HL + 7$

x^{2} = 16

$VL = HL$

x = \pm 16

Beräkna rot

x = \pm 4

Nu har vi fått två rötter, men vi måste pröva dem för att vara säker på att ingen av dem är falsk. Vi börjar med $x = - 4 .$

x^{2} - 7 = 3

$x = - 4$

(- 4)^{2} - 7 = ? 3

▼

Beräkna vänsterled

Beräkna potens

16 - 7 = ? 3

Subtrahera term

9 = ? 3

Beräkna rot

3 = 3 ✓

Likheten stämmer, så $x = - 4$ är en giltig rot. Nu testar vi $x = 4 .$

x^{2} - 7 = 3

$x = 4$

4^{2} - 7 = ? 3

▼

Beräkna vänsterled

Beräkna potens

16 - 7 = ? 3

Subtrahera term

9 = ? 3

Beräkna rot

3 = 3 ✓

Även här gäller likheten, så både $x = - 4$ och $x = 4$ är lösningar till ekvationen. Det är alltså viktigt att alltid testa de svar man får till rotekvationer. Det kan finnas falska rötter, men det är inte garanterat att det är så.

Övning

Lös rotekvationer

Lös den ekvationen. Glöm inte att kontrollera eventuella falska lösningar om flera lösningar erhålls.

Lös rotekvationen

Rotekvationer

Vilka av följande ekvationer är rotekvationer?

A B C D E F x + 1 = 4 8 x - 4 = 25 x^{3} = 6 4^{\frac{1}{2}} x = x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{2} + 9 = 7 x^{2} + 9 x - 2 = 5

Vi ser direkt att ekvationerna sqrt(x+1)=4 och sqrt(x^2+9x-2)=5 har en variabel som står under ett rottecken, vilket gör dem till rotekvationer. En omskrivning av ekvationen x=x^(12)+3 till x=sqrt(x)+3 visar att även denna ekvation har det. Övriga ekvationer har endast tal under rottecken, så de är inte rotekvationer.

Minja och Efe har fått i uppdrag att komma på varsin rotekvation samt att lösa dessa. En av dem har dock gjort fel. Vem har gjort fel? Motivera ditt svar.

Rutat papper med rotekvationer

Vi tittar på deras ekvationer och lösningar en i taget.

Minjas ekvation

Hennes ekvation, sqrt(x+11)=sqrt(5), är en korrekt rotekvation eftersom hon har minst en variabel under ett rottecken. Hon har dessutom löst den på ett korrekt sätt genom att kvadrera båda led och kontrollerat sin lösning.

Efes ekvation

Efe har löst ekvationen korrekt och prövat sin lösning, men har inte gjort en rotekvation. Detta eftersom han inte har satt någon variabel under rottecken, endast tal. Därför är det Efe som gjort fel.

Pröva om rötterna $x = 16$ och $x = 25$ är lösningar till rotekvationerna.

x = 4

x + 20 = 9 x

x - 9 = x - 21

När vi prövar lösningar till ekvationer sätter vi in roten i ursprungsekvationen sqrt(x)=4 och undersöker om vänsterledet och högerledet blir samma. Vi börjar med x=16.

Roten x=16 löser ekvationen. Nu testar vi x=25.

Eftersom vänster- och högerledet inte blir lika är x=25 inte en lösning till ekvationen.

På motsvarande sätt prövar vi nu lösningarna i ekvationen x+20=9sqrt(x).

Roten x=16 löser ekvationen. Nu testar vi x=25.

Båda rötterna är alltså lösningar till rotekvationen x+20=9sqrt(x).

Vi gör slutligen på samma sätt med den sista ekvationen.

Här är x=16 inte en lösning. Kan x=25 vara det?

Jadå!

Lös ekvationen.

x = 0

3 = \frac{x}{3}

Vi kvadrerar båda led för att lösa ut x.

Nu prövar vi roten.

Likheten gäller, så x=0 är en rot till ekvationen.

Vi börjar med att lösa ut sqrt(x).

Vi får x=81, men eftersom vi kvadrerade ekvationen måste vi pröva vår rot.

Likheten gäller, så x=81 löser ekvationen.

Lös rotekvationen

x = 2, 3

grafiskt med din räknare.

För att lösa rotekvationen grafiskt hanterar vi uttrycken i vänster- respektive högerled som separata funktioner i samma koordinatsystem, dvs. y=sqrt(x) och y=2,3.

Skriv in funktioner i räknaren

För att göra en grafisk lösning med räknaren börjar vi med att trycka på knappen Y= och skriver sedan in funktionerna vid Y_1 och Y_2. För att ange x trycker vi på knappen X,T,θ,n och för att skriva ett rottecken trycker vi på sqrt() (2nd + x^2).

Rita funktionerna

För att rita funktionerna trycker vi på knappen GRAPH. Eventuellt måste vi justera inställningarna för koordinatsystemet.

Hitta skärningspunkten

Vi kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittas genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja intersect i listan.

När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER tre gånger väljer vi graferna som vi ska bestämma skärningspunkten mellan.

Skärningspunktens x-koordinat är ekvationens lösning. Alltså löser x = 5,29 ekvationen.

När vi löser rotekvationer algebraiskt måste vi kvadrera båda led, vilket kan ge upphov till falska rötter och därför prövar vi alltid lösningarna då. Men när vi gör en grafisk lösning kvadrerar vi inte, vilket gör att det inte kan uppkomma falska rötter. Därför är det inte nödvändigt att pröva roten.

Lös ekvationen.

x = 8

2 y = 12

x = - 9

Vi kvadrerar båda led för att lösa ut x.

För att vara säker på att roten är giltig måste vi pröva den genom att sätta in den i ursprungsekvationen.

Likheten stämmer, så x=8 löser ekvationen.

Vi börjar med att lösa ut sqrt(y) och kvadrerar sedan båda sidor.

Nu måste vi pröva roten.

Likheten gäller, så y=36 är en rot till ekvationen.

Vi fortsätter på samma sätt och kvadrerar båda led.

Nu måste vi pröva roten.

Likheten gäller inte. Roten vi fick fram är alltså falsk, så ekvationen saknar lösningar.

Lös rotekvationen.

x + 3 = 6

x + 2 = - 4

60 - 3 x = 9

Vi kan inte få x ensamt direkt eftersom det står under ett rottecken. Vi tillämpar balansmetoden och börjar med att få bort rottecknet genom att kvadrera båda led.

Vi har hittat en rot, x=33. För att kontrollera att den inte är falsk prövar vi den.

Likheten gäller så ekvationen har roten x=33.

Även här börjar vi med att kvadrera, och därefter förenklar vi.

Vi prövar nu vår rot.

Roten x=14 löser inte ursprungsekvationen. Detta kunde vi ha anat redan från början, eftersom kvadratroten ur ett tal aldrig kan bli negativt. Därför saknar ekvationen lösningar.

Vi gör likadant med den sista ekvationen.

Vi prövar om roten är giltig. Kom ihåg att multiplikation räknas före subtraktion enligt prioriteringsreglerna.

Eftersom insättning av x=-7 ger att VL = HL är det alltså en giltig rot till ekvationen.

Lös rotekvationen.

x + 4 = 7 - x

5 x - 16 = 2 x + 2

Vi kan inte få x ensamt direkt eftersom det står under ett rottecken. Vi använder balansmetoden och börjar med att få bort rottecknet genom att kvadrera båda led.

Vi prövar lösningen för att försäkra oss om att vi inte har fått en falsk rot.

Eftersom vi nu ser tydligt att vi har samma sak på båda sidor behöver vi inte beräkna ett värde på sqrt(5,5), utan vi kan stanna här och konstatera att x=1,5 är en giltig lösning till ekvationen.

Vi använder samma metod här.

Vi prövar lösningen för att försäkra oss om att vi inte har fått en falsk rot.

x=6 är en rot till ekvationen.

Rotekvationer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll