Rotekvationer

Algebraisk lösning

Vi använder metoden för att lösa rotekvationer, dvs. vi kvadrerar, löser den nya ekvationen och prövar rötterna. Eftersom vi vill använda pq-formeln skriver vi om ekvationen på pq-form.

Nu använder vi pq-formeln.

Nu prövar vi båda lösningarna i ursprungsekvationen.

x=-2 är en falsk rot. Vi testar den andra roten.

Ekvationen har roten x=1.

Grafisk lösning

Grafisk lösning innebär att vi ritar upp vänster- och högerled var för sig och undersöker skärningspunkterna. Vi ritar upp y_1=sqrt(x+3) och y_2=x+1. i samma koordinatsystem.

Graferna skär varandra i punkten (1,2) vilket innebär att lösningen till ekvationen sqrt(x+3)=x+1 är x=1.

Algebraisk lösning

Andragradsekvationen x+3=(x+1)^2 löste vi redan som ett delsteg i förra deluppgiften. Vi såg då att vi kunde skriva om den på pq-form till x^2+x-2=0, vilken hade lösningarna x=-2 och x=1.

Eftersom det här bara är en vanlig andragradsekvation behöver vi inte oroa oss över falska rötter, så båda rötter är lösningar till ekvationen.

Grafisk lösning

Vi gör en grafisk lösning på samma sätt här, genom att rita upp y_1=x+3 och y_2=(x+1)^2 i samma koordinatsystem.

Nu hittar vi två rötter. x=1 är fortfarande en rot men nu är även x=-2 det.

Vi flyttar först över det ena rotuttrycket så att båda står i vänsterledet och kvadrerar sedan båda led.

Nu löser vi ut det rotuttrycket som är kvar och kvadrerar igen.

Detta är en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln. Men först skriver vi om den till pq-form.

Nu använder vi pq-formeln.

Nu måste vi pröva rötterna.

Likheten gäller inte, så x=55 är en falsk rot. Nu prövar vi den andra.

Likheten stämmer så x=7 är en lösning till ekvationen.

Vi kvadrerar båda sidor direkt.

Nu kvadrerar vi en gång till.

Vi får två lösningar, men är båda giltiga? Det måste vi testa.

Likheten gäller så x=0 är en rot till ekvationen. Nu prövar vi den andra.

Likheten gäller, så även x=1 är en lösning till ekvationen.

Vi upphöjer båda led till 3 för att bli av med roten i vänsterledet. Vi utnyttjar sen första kvadreringsregeln och distributiva lagen för att utveckla högerledet.

Vi ser nu att x^3- och x-termerna tar ut varandra, vilket lämnar en andragradsfunktion som vi kan lösa.

Eftersom vi löst rotekvationen genom att upphöja till 3, inte till 2, behöver vi egentligen inte kontrollera våra rötter. Men det skadar aldrig att göra det, så för säkerhets skull sätter vi in rötterna i den ursprungliga ekvationen.

Det stämmer! Vi testar x = 1.

Även den andra roten stämmer. Lösningarna till rotekvationen är alltså x = - 1 och x = 1.

Vi börjar med att göra variabelbytet. Eftersom t = sqrt(x) vet vi att sqrt(x) ska bytas ut mot t, och kvadrerar vi sambandet mellan t och x får vi att t^2 = x, så x ska bytas ut mot t^2.

Vi har nu en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln.

Vi har nu löst ut t, men det är x vi är ute efter. Vi vet att t = sqrt(x), vilket innebär att vi direkt kan se att t = - 7 kommer att leda till en falsk rot. Det finns ju inget x vi kan sätta in under rottecknet som kommer att ge ett negativt resultat. Vi sätter istället in t = 3 och kvadrerar.

Vi kontrollerar vår lösning genom att sätta in den i originalekvationen.

Det stämmer! Ekvationen har alltså en lösning: x = 9.