Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
Du måste välja en bok innan du kan söka på sidnummer
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Falska och borttappade rötter

Förklaring

Hur uppkommer falska rötter och när kan man tappa rötter?

När man löser ekvationer med balansmetoden finns det några enstaka fall som kan leda till att man får falska rötter eller tappar bort lösningar.

Förklaring

Falska rötter

Om man kvadrerar ekvationer eller multiplicerar båda led med ett uttryck som innehåller variabeln bör man pröva sina rötter.

  • Kvadrering: Om man kvadrerar båda led i en ekvation, t.ex. x=4,x=4, gör man ju samma sak på båda sidor vilket innebär att likheten behålls, men man kan ändå få rötter som inte löser den ursprungliga ekvationen.

x=4x2=16x=±4\begin{aligned} x&=4 \\[1em] x^2&=16 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm 4 \end{aligned} Man får två lösningar, x=-4x=\text{-}4 och x=4,x=4, men bara en löser den översta ekvationen. Det finns alltså en risk att man inför lösningar som inte löser ursprungsekvationen när man kvadrerar båda led.


  • Multiplikation med variabeln: Om man har en ekvation med en variabel i nämnaren kan en falsk rot uppstå om man multiplicerar båda led med x.x. Ett exempel är ekvationen 2xx=0,\frac{2x}{x}=0, som saknar lösningar. Multiplicerar man båda led med xx kan det dock se ut som att x=0x = 0 är en lösning.

2xx=02x=0x=0\begin{aligned} \dfrac{2x}{x}&=0 \\[1em] 2x&=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0 \end{aligned} Prövar man x=0x=0 blir vänsterledet odefinierat eftersom man dividerar med 00. Det är egentligen redan underförstått att xx inte får vara 00 eftersom det står i nämnaren. När man multiplicerar upp xx:et försvinner dock det villkoret.

Förklaring

Borttappade rötter vid division med variabeln

I vissa ekvationer finns variabeln i alla termer t.ex. 3x2=3x.3x^2=3x. Det kan då vara lockande att dividera med x.x. 3x2=3x3x=3x=1\begin{aligned} 3x^2&=3x \\[1em] 3x&=3 \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \end{aligned} Men x=0x=0 är ju också en lösning till ursprungsekvationen. Varför försvinner den? När man dividerar med xx förutsätter man att xx inte är 00 eftersom nolldivision inte är tillåtet. Därför måste man vara försiktig när man delar båda led med ett uttryck som innehåller variabeln. Gör man det bör man undersöka för vilka värden som det uttryck man delade med är lika med 00 och undersöka om dessa är rötter till ursprungsekvationen.