Rotekvationer

En rotekvation är en ekvation som innehåller minst en term där en variabel står under ett rottecken, t.ex. $\sqrt{x} = 5 \quad \text{och} \quad \sqrt{x+2} = x.$

När man löser rotekvationer är det ofta nödvändigt att kvadrera båda leden, vilket kan leda till falska rötter, alltså rötter som inte är lösningar till ekvationen. Det är därför viktigt att kontrollera sina lösningar genom att sätta in lösningarna i ekvationen och undersöka om vänster- och högerled blir lika stora.

Metod

Lösa rotekvationer

När man löser rotekvationer, t.ex. $\sqrt{4x + 13} - 2 = x,$ börjar man med att skriva om dem så att det går att kvadrera bort roten. Det är sedan viktigt att pröva de rötter man får ut för att undvika falska rötter.

1

Lös ut rotuttrycket

Börja med att lösa ut rotuttrycket så att det står ensamt i höger- eller vänsterledet. Här adderas

2

till båda led.

\sqrt{4x + 13} - 2 = x

\text{VL}+2=\text{HL}+2

\sqrt{4x + 13} = x+2

2

Kvadrera båda led

Kvadrera båda led för att bli av med rottecknet.

\sqrt{4x + 13} = x + 2

\text{VL}^{2}=\text{HL}^{2}

4x + 13 = (x + 2)^2

Utveckla med första kvadreringsregeln

4x + 13 = x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2

Förenkla potens & produkt

4x + 13 = x^2 + 4x + 4

3

Lös ekvationen med lämplig metod

När ekvationen inte längre innehåller ett rottecken kan den lösas med lämplig metod, t.ex. balansmetoden, nollproduktmetoden eller

pq

-formeln.

4x + 13 = x^2 + 4x + 4

Omarrangera ekvation

x^2 + 4x + 4 = 4x + 13

\text{VL}-4x=\text{HL}-4x

x^2 + 4 = 13

\text{VL}-4=\text{HL}-4

x^2 = 9

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x=\pm\sqrt{9}

Beräkna rot

x = \pm 3

4

Pröva rötterna

För att undersöka om någon av lösningarna är en falsk rot prövas de genom att sättas in i ursprungsekvationen.

\sqrt{4x + 13} - 2 = x

x={\color{#0000FF}{3}}

\sqrt{4\cdot {\color{#0000FF}{3}} + 13} - 2 \stackrel{?}{=} {\color{#0000FF}{3}}

Multiplicera faktorer

\sqrt{12 + 13} - 2 \stackrel{?}{=} 3

Förenkla termer

\sqrt{25} - 2 \stackrel{?}{=} 3

Beräkna rot

5 - 2 \stackrel{?}{=} 3

Förenkla termer

3 = 3

Roten

x = 3

löser ekvationen. Nu testas

x = \text{-} 3.

\sqrt{4x + 13} - 2 = x

x={\color{#0000FF}{\text{-} 3}}

\sqrt{4\cdot ({\color{#0000FF}{\text{-} 3}}) + 13} - 2 \stackrel{?}{=} {\color{#0000FF}{\text{-} 3}}

Multiplicera faktorer

\sqrt{\text{-} 12 + 13} - 2 \stackrel{?}{=} \text{-} 3

Förenkla termer

\sqrt{1} - 2 \stackrel{?}{=} \text{-} 3

Beräkna rot

1 - 2 \stackrel{?}{=} \text{-} 3

Förenkla termer

\text{-} 1 \neq \text{-}3

Likheten gäller inte för

x=\text{-} 3

, som då är en falsk rot. Den enda lösningen till rotekvationen är

x=3

.

Lös rotekvationen

Uppgift

Lös ekvationen $\sqrt{x^2-7}=3.$

Lösning

För att lösa ekvationen börjar vi med att kvadrera båda led för att bli av med rottecknet. När det är gjort går det att lösa ut

x.

\sqrt{x^2-7}=3

\text{VL}^{2}=\text{HL}^{2}

x^2-7=3^2

Beräkna potens

x^2-7=9

\text{VL}+7=\text{HL}+7

x^2=16

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x=\pm\sqrt{16}

Beräkna rot

x=\pm4

Nu har vi fått två rötter, men vi måste pröva dem för att vara säker på att ingen av dem är falsk. Vi börjar med $x=\text{-}4.$

\sqrt{x^2-7}=3

x={\color{#0000FF}{\text{-}4}}

\sqrt{({\color{#0000FF}{\text{-}4}})^2-7}\stackrel{?}{=}3

Beräkna potens

\sqrt{16-7}\stackrel{?}{=}3

Förenkla termer

\sqrt{9}\stackrel{?}{=}3

Beräkna rot

3=3

Likheten stämmer, så $x=\text{-}4$ är en giltig rot. Nu testar vi $x=4.$

\sqrt{x^2-7}=3

x={\color{#0000FF}{4}}

\sqrt{{\color{#0000FF}{4}}^2-7}\stackrel{?}{=}3

Beräkna potens

\sqrt{16-7}\stackrel{?}{=}3

Förenkla termer

\sqrt{9}\stackrel{?}{=}3

Beräkna rot

3=3

Även här gäller likheten, så både $x=\text{-}4$ och $x=4$ är lösningar till ekvationen. Det är alltså viktigt att alltid testa de svar man får till rotekvationer. Det kan finnas falska rötter, men det är inte garanterat att det är så.

Visa lösning

Rotekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Lösa rotekvationer

1

2

3

4

Exempel

Lös rotekvationen

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Algebra och icke-linjära ekvationer

1

2

3

4

Exempel

Lös rotekvationen

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}