{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Algebra och icke-linjära ekvationer

Välj kurs
Matte 2c
Algebra och icke-linjära ekvationer
Rotekvationer

Rotekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En rotekvation är en ekvation som innehåller minst en term där en variabel står under ett rottecken, t.ex. x=5ochx+2=x. \sqrt{x} = 5 \quad \text{och} \quad \sqrt{x+2} = x.

När man löser rotekvationer är det ofta nödvändigt att kvadrera båda leden, vilket kan leda till falska rötter, alltså rötter som inte är lösningar till ekvationen. Det är därför viktigt att kontrollera sina lösningar genom att sätta in lösningarna i ekvationen och undersöka om vänster- och högerled blir lika stora.
Metod

Lösa rotekvationer

När man löser rotekvationer, t.ex. 4x+13−2=x, \sqrt{4x + 13} - 2 = x, börjar man med att skriva om dem så att det går att kvadrera bort roten. Det är sedan viktigt att pröva de rötter man får ut för att undvika falska rötter.

1

Lös ut rotuttrycket
Börja med att lösa ut rotuttrycket så att det står ensamt i höger- eller vänsterledet. Här adderas 22 till båda led.
4x+13−2=x\sqrt{4x + 13} - 2 = x
VL+2=HL+2\text{VL}+2=\text{HL}+2
4x+13=x+2\sqrt{4x + 13} = x+2

2

Kvadrera båda led
Kvadrera båda led för att bli av med rottecknet.
4x+13=x+2\sqrt{4x + 13} = x + 2
VL2=HL2\text{VL}^{2}=\text{HL}^{2}
4x+13=(x+2)24x + 13 = (x + 2)^2
Utveckla med första kvadreringsregeln
4x+13=x2+2⋅x⋅2+224x + 13 = x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2
Förenkla potens & produkt
4x+13=x2+4x+44x + 13 = x^2 + 4x + 4

3

Lös ekvationen med lämplig metod
När ekvationen inte längre innehåller ett rottecken kan den lösas med lämplig metod, t.ex. balansmetoden, nollproduktmetoden eller pqpq-formeln.
4x+13=x2+4x+44x + 13 = x^2 + 4x + 4
Omarrangera ekvation
x2+4x+4=4x+13x^2 + 4x + 4 = 4x + 13
VL−4x=HL−4x\text{VL}-4x=\text{HL}-4x
x2+4=13x^2 + 4 = 13
VL−4=HL−4\text{VL}-4=\text{HL}-4
x2=9x^2 = 9
VL=HL\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}
x=±9x=\pm\sqrt{9}
Beräkna rot
x=±3x = \pm 3

4

Pröva rötterna
För att undersöka om någon av lösningarna är en falsk rot prövas de genom att sättas in i ursprungsekvationen.
4x+13−2=x\sqrt{4x + 13} - 2 = x
x=3x={\color{#0000FF}{3}}
4⋅3+13−2=?3\sqrt{4\cdot {\color{#0000FF}{3}} + 13} - 2 \stackrel{?}{=} {\color{#0000FF}{3}}
Multiplicera faktorer
12+13−2=?3\sqrt{12 + 13} - 2 \stackrel{?}{=} 3
Förenkla termer
25−2=?3\sqrt{25} - 2 \stackrel{?}{=} 3
Beräkna rot
5−2=?35 - 2 \stackrel{?}{=} 3
Förenkla termer
3=33 = 3
Roten x=3x = 3 löser ekvationen. Nu testas x=-3.x = \text{-} 3.
4x+13−2=x\sqrt{4x + 13} - 2 = x
x=-3x={\color{#0000FF}{\text{-} 3}}
4⋅(-3)+13−2=?-3\sqrt{4\cdot ({\color{#0000FF}{\text{-} 3}}) + 13} - 2 \stackrel{?}{=} {\color{#0000FF}{\text{-} 3}}
Multiplicera faktorer
-12+13−2=?-3\sqrt{\text{-} 12 + 13} - 2 \stackrel{?}{=} \text{-} 3
Förenkla termer
1−2=?-3\sqrt{1} - 2 \stackrel{?}{=} \text{-} 3
Beräkna rot
1−2=?-31 - 2 \stackrel{?}{=} \text{-} 3
Förenkla termer
-1≠-3\text{-} 1 \neq \text{-}3
Likheten gäller inte för x=-3x=\text{-} 3, som då är en falsk rot. Den enda lösningen till rotekvationen är x=3x=3.
Uppgift

Lös ekvationen x2−7=3. \sqrt{x^2-7}=3.

Lösning
För att lösa ekvationen börjar vi med att kvadrera båda led för att bli av med rottecknet. När det är gjort går det att lösa ut x.x.
x2−7=3\sqrt{x^2-7}=3
VL2=HL2\text{VL}^{2}=\text{HL}^{2}
x2−7=32x^2-7=3^2
Beräkna potens
x2−7=9x^2-7=9
VL+7=HL+7\text{VL}+7=\text{HL}+7
x2=16x^2=16
VL=HL\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}
x=±16x=\pm\sqrt{16}
Beräkna rot
x=±4x=\pm4

Nu har vi fått två rötter, men vi måste pröva dem för att vara säker på att ingen av dem är falsk. Vi börjar med x=-4.x=\text{-}4.

x2−7=3\sqrt{x^2-7}=3
x=-4x={\color{#0000FF}{\text{-}4}}
(-4)2−7=?3\sqrt{({\color{#0000FF}{\text{-}4}})^2-7}\stackrel{?}{=}3
Beräkna potens
16−7=?3\sqrt{16-7}\stackrel{?}{=}3
Förenkla termer
9=?3\sqrt{9}\stackrel{?}{=}3
Beräkna rot
3=33=3

Likheten stämmer, så x=-4x=\text{-}4 är en giltig rot. Nu testar vi x=4.x=4.

x2−7=3\sqrt{x^2-7}=3
x=4x={\color{#0000FF}{4}}
42−7=?3\sqrt{{\color{#0000FF}{4}}^2-7}\stackrel{?}{=}3
Beräkna potens
16−7=?3\sqrt{16-7}\stackrel{?}{=}3
Förenkla termer
9=?3\sqrt{9}\stackrel{?}{=}3
Beräkna rot
3=33=3

Även här gäller likheten, så både x=-4x=\text{-}4 och x=4x=4 är lösningar till ekvationen. Det är alltså viktigt att alltid testa de svar man får till rotekvationer. Det kan finnas falska rötter, men det är inte garanterat att det är så.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande ekvationer är rotekvationer? x+1=48x−4=25x3=6412x=x12+3x2+9=7x2+9x−2=5\begin{aligned} \sqrt{x+1}=4 \qquad &8x-4=\sqrt{25} \qquad x^3=64^{\frac{1}{2}} \\ \\ x=x^{\frac{1}{2}}+3 \qquad &x^2+\sqrt{9}=7 \qquad \sqrt{x^2+9x-2}=5 \end{aligned}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Minja och Efe har fått i uppdrag att komma på varsin rotekvation samt att lösa dessa. En av dem har dock gjort fel. Vem har gjort fel, och vad är felet?

Rutat papper med rotekvationer
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Pröva om rötterna x=16x=16 och x=25x=25 är lösningar till rotekvationerna.


a

x=4\sqrt{x}=4

b

x+20=9xx+20=9\sqrt{x}

c

x−9=x−21\sqrt{x-9}=x-21

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

x=0\sqrt{x}=0

b

3=x33=\dfrac{\sqrt{x}}{3}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös rotekvationen x=2.3\sqrt{x}=2.3 grafiskt med din räknare.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

x=8\sqrt{x}=8

b

2y=122\sqrt{y}=12

c

x=-9\sqrt{x}=\text{-}9

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös rotekvationerna.


a

x+3=6\sqrt{x+3}=6

b

x+2=-4\sqrt{x+2}=\text{-}4

c

60−3x=9\sqrt{60-3x}=9

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös rotekvationerna.


a

x+4=7−x\sqrt{x+4}=\sqrt{7-x}

b

5x−16=2x+2\sqrt{5x-16}=\sqrt{2x+2}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös rotekvationerna.


a

3x+4=x\sqrt{3x+4}=x

b

9x−14=x\sqrt{9x-14}=x

c

24−4x=2x\sqrt{24-4x}=2x

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös rotekvationerna.

a

2x+10=x+5\sqrt{2x+10}=x+5

b

x+11=x+9\sqrt{x+11}=x+9

c

2x−5=4x−72x-5=\sqrt{4x-7}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med algebraisk metod.

a

x2−4x−45=0x^2-4x-45=0

b

35−2x=x\sqrt{35-2x}=x

Nationella provet VT12 2c
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös rotekvationerna.

a

x+5=3x+13x+5=\sqrt{3x+13}

b

2x+19=8+x\sqrt{2x+19}=8+x

c

5x−36=x−6\sqrt{5x-36}=x-6

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ställ upp en rotekvation som har lösningarna x=4x=4 och x=9.x=9.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Raphael löser en rotekvation och som ett steg på vägen kvadrerar han båda led av ekvationen. Det ger honom hjälpekvationen 16x=x2−6x+9. 16x = x^2 - 6x + 9. Raphael är dock lite tankspridd och glömmer bort den ursprungliga rotekvationen. Han tänker att det förmodligen går att att få tillbaka den från hjälpekvationen. Går det? Motivera.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den så kallade Lorenzfaktorn γ\gamma (grekiska bokstaven gamma) används för beräkningar inom relativitetsteorin, där man bland annat räknar på väldigt höga hastigheter. Den definieras som γ=11−β2,β>0. \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}, \quad \beta \gt 0.

a

Vid ett tillfälle var γ=1.25.\gamma=1.25. Bestäm β.\beta.

b

β\beta står för kvoten mellan en hastighet vv och ljusets hastighet c,c, som är en konstant: β=vc. \beta=\dfrac{v}{c}. Hur många procent av ljusets hastighet motsvarar värdet på β\beta i förra uppgiften?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Lös rotekvationen x+3=x+1\sqrt{x+3}=x+1 först algebraiskt och sedan grafiskt.

b

Kvadreras ekvationen i förra uppgiften fås den nya ekvationen x+3=(x+1)2.x+3=(x+1)^2. Lös denna ekvation först algebraiskt och sedan grafiskt.

c

Jämför antalet rötter till ekvationerna i uppgift a och b. Vad kan skillnaden bero på?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

x+9=2+2x−10\sqrt{x+9}=2+\sqrt{2x-10}

b

x2−x=x2−x\sqrt{x^2-x}=\sqrt{x^2}-\sqrt{x}

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös rotekvationen x3+3x+43=x+1.\sqrt[3]{x^3 +3x + 4} = x + 1.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös rotekvationen x+4x−21=0x + 4\sqrt{x} - 21 = 0 genom att först göra variabelbytet t=x.t = \sqrt{x}.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Utgå från rotekvationen x−4=3x.x-4=3\sqrt{x}. Vilka värden är tillåtna för x?x?

b

Lös ekvationen.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}