Rotekvationer

Den här rotekvationen kommer att ge oss en andragradsekvation då vi kvadrerar den. Denna löser vi med pq-formeln eller annan likvärdig metod som abc-formeln eller kvadratkomplettering.

Nu när vi har ekvationen på pq-form kan vi använda pq-formeln.

Slutligen prövar vi båda lösningarna i urprungsekvationen för att kontrollera om någon av rötterna är falsk.

Eftersom vi inte får samma på båda sidor är x=-1 en falsk rot och alltså inte en lösning till ekvationen.

Den andra roten är dock en lösning till ekvationen.

Vi följer samma metod här: vi kvadrerar, löser andragradsekvationen med pq-formeln och prövar rötterna.

Vi sätter in p och q i pq-formeln.

Nu sätter vi först x_1 och sedan x_2 i ursprungsekvationen.

Första roten är en lösning till ekvationen.

Även den andra roten är en lösning. Här fick vi alltså inga falska rötter.

Slutligen löser vi även den sista ekvationen på samma sätt. Kom ihåg att ta hela termen 2x i kvadrat när du kvadrerar, dvs. (2x)^2.

Vi sätter in p och q i formeln. Kom ihåg att det står en osynlig etta framför x.

Nu prövar vi båda lösningarna i ursprungsekvationen.

Roten x=-3 är falsk. Hur är det med x=2?

x=2 löser ekvationen.

Vi använder metoden för att lösa rotekvationer, dvs. vi kvadrerar, löser den nya ekvationen och prövar rötterna. Eftersom vi vill använda pq-formeln skriver vi om ekvationen på pq-form.

Nu använder vi pq-formeln.

Nu sätter vi först x_1 och sedan x_2 i ursprungsekvationen.

Vi har hittat en rot. Nu testar vi den andra.

Båda rötterna löser ekvationen.

Vi tillämpar samma metod igen.

Nu använder vi pq-formeln.

Nu sätter vi först x_1 och sedan x_2 i ursprungsekvationen.

Alltså är x=-10 en falsk rot. Nu testar vi nästa.

Endast x=-7 löser ekvationen.

Vi löser den sista på samma sätt.

Nu använder vi pq-formeln.

Nu sätter vi först x_1 och sedan x_2 i ursprungsekvationen.

Första lösningen är en falsk rot.

Andra roten löser dock ekvationen.

Ekvationen löses med någon metod för att lösa generella andragradsekvationer, t.ex. pq-formeln. Eftersom ekvationen redan står på pq-form kan vi läsa av att p=- 4 och q=- 45. Vi sätter in värdena i formeln.

x=- 5 och x=9 löser ekvationen.

För att lösa rotekvationen kvadreras båda led så att vi blir av med rottecknet i vänsterledet.

Nu har vi en andragradsekvation som står på pq-form som vi kan lösa med pq-formeln.

Både x=- 7 och x=5 löser andragradsekvationen. Men för att ta reda på om dessa löser ursprungsekvationen prövar vi rötterna.

Prövning: x=- 7

Vi sätter in x=- 7 i ursprungsekvationen, dvs. inte i ekvationen som kvadrerades. Om leden blir lika vid insättning är roten en giltig lösning.

x=- 7 är alltså inte en lösning eftersom vänster- och högerled inte blir lika stora vid insättning av x=- 7.

Prövning: x=5

Vi sätter även in x=5 i ursprungsekvationen.

x=5 är alltså den enda lösningen till ekvationen sqrt(35-2x)=x.

Vi använder metoden för att lösa rotekvationer, dvs. vi kvadrerar, löser den nya ekvationen och prövar rötterna. Eftersom vi vill använda pq-formeln skriver vi om ekvationen på pq-form.

Nu använder vi pq-formeln.

Nu sätter vi först x_1 och sedan x_2 i ursprungsekvationen.

Vi ser att lösningen x=-4 stämmer.

Även den andra lösningen stämmer.

Vi tillämpar samma metod igen.

Nu använder vi pq-formeln.

Nu sätter vi först x_1 och sedan x_2 i ursprungsekvationen.

Alltså är x=-9 en falsk rot. Nu testar vi nästa.

Endast x=-5 löser ekvationen.

Vi löser den sista på samma sätt.

Nu använder vi pq-formeln.

Nu sätter vi först x_1 och sedan x_2 i ursprungsekvationen.

Slutligen prövar vi även den andra roten.

Även denna rot är giltig.

För att ställa upp en rotekvation baserat på vilka rötter den har kan man använda nollproduktmetoden. För en andragradsekvation med lösningarna x=4 och x=9 hade vi kunnat skapa ekvationen (x-4)(x-9)=0. Men nu är det ju en rotekvation man är ute efter. Om vi istället för x skriver sqrt(x) får vi (sqrt(x)- )(sqrt(x)- )=0. Vad ska stå efter minustecknen nu? Låt säga att vi vill att den första parentesen ska vara 0 för x=4. Om man sätter in det blir rottutrycket sqrt(4)=2. Därför ska man dra bort 2 för att den ska bli 0. På samma sätt blir den andra parentesen (sqrt(x)-3), eftersom den blir 0 för x=9. Detta betyder att (sqrt(x)-2)(sqrt(x)-3)=0 har rötterna x=4 och x=9.

Vi vet att Raphael kvadrerade sin rotekvation för att få hjälpekvationen 16x = x^2 - 6x + 9. Vad kan då ha stått i vänster- och högerledet innan kvadreringen? Vi drar roten ur vänsterledet, vilket ger sqrt(16x) = sqrt(16)* sqrt(x) = 4 sqrt(x). Kvadrerar vi detta får vi tillbaka 16x, men här måste vi komma ihåg att det lika gärna hade kunnat stå - 4 sqrt(x) eftersom även det blir samma sak när det kvadreras. Det som stod på vänstersidan är alltså antingen 4sqrt(x) eller - 4 sqrt(x). Högerledet kan vi skriva om med hjälp av andra kvadreringregeln.

Drar man roten ur högerledet får man alltså x - 3, men även här kan det ha funnits ett minustecken som försvann i kvadreringen. Man får precis samma sak om man kvadrerar - (x - 3) = 3 - x. Det kan alltså ha funnits ett minustecken i höger- eller vänsterledet, eller möjligen båda. Detta leder till att det finns två olika rotekvationer som Raphael kan ha kvadrerat: 4sqrt(x) = x - 3 och 4sqrt(x) = 3 - x. Det går att multiplicera båda led på ekvationerna med -1 för att får två andra varianter, men de kommer att ha samma lösningar. Vi kan omöjligen veta vilken av dessa ekvationer som Raphael började med eftersom informationen om minustecknen försvann i kvadreringen. Svaret är nej, han kan inte återskapa sin rotekvation.

Sätter vi in värdet på β får vi en rotekvation som vi kan lösa.

Vi har en rotekvation, så vi kvadrerar båda sidor.

Nu måste vi pröva roten.

Likheten gäller så β=0,6.

Vi vet att β= vc. Vi använder β=0,6 från förra deluppgiften.

Hastigheten v är alltså 0,6 av ljushastigheten dvs. 60 %.

Vi börjar med att titta på högerledet. Där står 3sqrt(x). Om x är negativt blir det imaginärt, men vänsterledet är reellt. Det betyder att ett x som löser ekvationen inte får vara negativt dvs. x≥ 0. Men räcker det? 3sqrt(x) blir aldrig negativt, så vänsterledet får inte heller bli negativt. För att x-4 inte ska vara negativt måste x vara minst 4, vilket vi skriver som x≥ 4. Eventuella lösningar till ekvationen måste alltså vara minst 4.

Vi löser ekvationen genom att kvadrera båda led.

Nu har vi fått en andragradsekvation som vi löser med pq-formeln.

Vi får två lösningar, men vi har redan konstaterat att x måste vara minst 4. Därför måste x=1 vara en falsk rot. Ekvationen har en lösning: x=16. Eftersom vi redan tagit fram villkor för tillåtna x som x=16 uppfyller, behöver vi inte pröva denna rot.