Räta linjers egenskaper

Eftersom linjerna är parallella behöver man endast bestämma riktningskoefficienten för en av dem. Vi väljer y=f(x) eftersom den är den enda linje som verkar gå genom koordinater med heltalsvärden. Vi väljer ut ett par sådana punkter.

Linjen y=f(x) passerar (0,3) och (1,5). Nu kan lutningen beräknas med k-formeln.

Linjen y=f(x) har lutningen k=2 och eftersom de andra linjerna är parallella de också lutningen 2.

Den står på formen ax+by+c=0, dvs. allmän form.

k-form innebär att ekvationen står på formen y = kx + m, så vi löser ut y.

Vi skriver om ekvationen så att den står på k-form.

Vi upprepar proceduren.

Det enda man behöver göra för att skriva ekvationerna på k-form är att lösa ut y. Vi gör det för första linjen.

Vi gör samma sak för andra linjen.

Tredje uppgiften löser vi på samma sätt.

Vi ritar linjerna L_1 (blå) och L_2 (röd).

Två linjer som är parallella har samma lutning, alltså samma k-värde. Vi undersöker om så är fallet genom att beräkna deras respektive lutning med k-formeln. Vi börjar med att läsa av punkternas koordinater: A=&(- 5,- 1) B=(4,7) C=&(- 4,- 5) D=(7,5). Därefter beräknar vi linjernas k-värden.

Lutningen av L_1

Lutningen för L_1 är alltså k_1= 89 ≈ 0,89.

Lutningen av L_2

Lutningen för L_2 är alltså k_2= 1011 ≈ 0,91.

Slutsats

Linjerna är inte parallella då linjernas k-värden är olika: k_1 ≠ k_2.

Två linjer som är parallella har samma lutning. Det betyder att vi har visat att linjerna är parallella om vi kan visa att de har samma k-värde. Den ena linjen står på k-form: y=2,15x+3, så då kan vi läsa av k-värdet direkt som talet framför x. Det är 2,15 så den här linjens lutning är k=2,15. För att bestämma den andra linjens lutning kan vi använda k-formeln eftersom vi har två punkter.

Den här linjen har också lutningen 2,15. För att försäkra oss om att det inte är samma linje som beskrivs tittar vi på m-värdet. Linjen y=2,15x+3 har m-värdet 3 så den skär y-axeln i y=3. Den andra går genom origo, (0,0). Linjerna skär alltså y-axeln på olika ställen.

Linjerna har alltså samma k-värde, men är inte identiska. Det betyder att de är parallella.

Om två linjer är parallella innebär det att de har samma k-värde. Tänk på att om det inte står något värde framför x-termen finns det en underförstådd etta, och att eventuella minustecken också ingår i k-värdet.

I tabellen ovan kan vi se att det finns två linjer med k-värdet 4, men att alla andra linjer har olika k-värden. Alltså är y_1 och y_5 de enda parallella linjerna.

Parallella linjer har samma lutning vilket innebär att koefficienten framför x, dvs. deras k-värde, är likadant. Vi kan börja med att förenkla de bråk som kan förkortas. Både 1820 och 24 kan förkortas med 2: 18/2/20/2=9/10 och 2/2/4/2=1/2. För att lättare jämföra med de andra ekvationernas k-värden skriver vi om bråken på decimalform, vilket ger 9/10 = 0,9, 3/4=0,75 och 1/2=0,5. Vi skriver ut alla ekvationerna med k-värden i decimalform.

Nu kan vi se vilka linjer som har samma k-värde: &y_1 → y_6 &y_2 → y_4 &y_3 → y_5

Om två linjer är parallella måste de ha samma k-värde. Man kan läsa av k-värdet om man skriver om linjernas ekvationer till k-form. Vi gör detta för var och en av linjerna.

Linje I

k-värdet är - 4.

Linje II

Linje II har k-värdet 4.

Linje III

Linje III har alltså lutningen k = - 4.

Slutsats

Jämför vi linjernas lutning ser vi att linje I och linje III har samma lutning. Eftersom dessa linjer även har olika m-värden (m = - 2 respektive m = 3) sammanfaller de inte. Linje I och linje III alltså parallella.

Om vi tar reda på linjens k- och m-värde kan vi skriva formeln på k-form. m-värdet visar var linjen skär y-axeln så det kan vi läsa av direkt i koordinatsystemet.

m-värdet är alltså - 1. Hittills har vi då funktionen y=kx-1. Vi måste även hitta riktningskoefficienten k. För att göra detta måste vi bestämma skillnaden i x- och y-led mellan två godtyckliga punkter som ligger på linjen: (0, - 1) och (2, 2).

Vi ser att grafen stiger 3 steg i y-led när man går 2 steg åt höger i x-led. Detta ger lutningen k = 32 och uttrycket för linjen på k-form blir då y = 3/2x - 1. Nu skriver vi om funktionen på allmän form genom att flytta över alla termer till vänsterledet och multiplicera med 2 för att bli av med bråket fram x-termen.

Ett sätt att skriva ekvationen för linjen på allmän form är alltså - 3x+2y+2=0. Detta är svarsalternativ IV.

För att skriva en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan om likhetstecknet och ser till att koefficienterna blir så små som möjligt. För att bli av med bråket framför x-termen multiplicerar vi hela uttrycket med 3.

Detta är den räta linjen skriven på allmän form med alla kriterier uppfyllda. både b och c är negativa, och det finns inget tal vi kan dividera ekvationen med för att få c till att hamna närmare 0.

Vi skriver ekvationen på formen ax + by + c = 0 genom att flytta över termerna till vänsterledet så att högerledet blir noll. Vi försöker också se till så att a, b och c blir så små heltal som möjligt. Bråket gör vi oss av med genom att multiplicera med 3.

Det finns flera sätt att skriva linjen på allmän form. Genom att multiplicera alla termer med samma värde skulle vi kunna hitta en oändlig mängd sätt att skriva samma linje.

Ekvationen x = 3 beskriver en lodrät linje där samtliga punkter längs linjen har x-koordinaten 3.

Lodräta linjer kan beskrivas med allmän form, men inte med k-form. Vi skriver om ekvationen på allmän form. Notera att y inte står med i ekvationen vilket kan tolkas som att b=0.

Vi börjar med att markera punkterna i ett koordinatsystem och drar en linje mellan dem.

Funktionens graf är alltså vågrät och skär y-axeln vid y=6, vilket innebär att linjens lutning är noll och att m-värdet är 6. y=0x+6 ⇔ y=6. Räta linjens ekvation på allmän form har utseendet ax+by+c=0. I det här fallet är a=0 så ax-termen försvinner. Genom att flytta över konstanten till vänsterledet skriver vi linjens ekvation på allmän form: y-6=0.

Enpunktsform skrivs som y - y_1 = k(x - x_1). Från uppgiften fick vi riktningskoefficienten - 3, alltså k, och koordinaterna (2,13), som alltså är x_1 och y_1. Vi sätter in dem för att få linjens ekvation på enpunktsform. y - 13 = - 3 (x - 2)

Om två linjer är vinkelräta ska produkten av linjernas lutningar vara lika med - 1, dvs. k_1* k_2=- 1.

Linjerna är alltså inte vinkelräta.

Vi testar igen och undersöker om k_1* k_2=- 1.

Linjerna är vinkelräta.

Parallella linjer har samma lutning, vilket innebär att de har samma k-värde. För dessa två linjer är k-värdena a och 3, vilket ger a = 3.

Om linjerna är vinkelräta ska produkten av deras lutningar vara lika med - 1. Genom att ställa upp ekvationen k_1* k_2=- 1 och sätta in linjernas riktningskoefficienten kan vi bestämma a.

Lutningen a ska vara - 13 om linjerna är vinkelräta.

Parallella linjer har samma lutning. Vi måste alltså först bestämma lutningen till y=f(x). Vi markerar två punkter på linjen som ligger i heltalsvärden.

När vi har två punkter på linjen kan vi räkna ut lutningen med k-formeln.

Den parallella linjen ska alltså ha lutningen k = 12. Alla räta linjer y = 12x + m är parallella med den givna linjen utom då m = 1, för då är det samma linje. Vi väljer m=4, vilket ger skärningspunkten (0,4) med y-axeln, och ritar ut linjen.

Produkten av vinkelräta linjers lutning är - 1. Vi sätter in k_2= 12 i formeln k_1* k_2=- 1 och löser ut den lutningen för den vinkelräta linjen.

Lutningen är alltså k_1=- 2 för linjen. Vi utgår från en av punkterna på y=f(x) och ritar en linje med lutningen - 2. Det spelar ingen roll vilken punkt man väljer som skärningspunkt, så länge linjerna är vinkelräta.

Ekvationer skrivna på allmän form kan multipliceras eller divideras med ett valfritt tal för att skapa en ny ekvation som beskriver samma linje. Skriver man linjer på allmän form brukar man oftast skriva dem med a, b och c som så små koefficienter som möjligt. Vi skriver om båda linjer på detta sättet och undersöker om vi får samma ekvation.

Vi gör samma sak med den andra ekvationen.

Båda ekvationer kan skrivas som y+3x+5=0 vilket innebär att linjerna är identiska. Arthur har alltså rätt!