Randvinkelsatsen och medelpunktsvinkel: Förstå sammanband mellan vinklar mot en cirkels rand

En cirkel har de tre punkterna

A,

B

och

C

på sin rand som tillsammans bildar en likbent triangel. Bestäm vilka vinklar triangeln kan ha givet att

\land A M B = 6 4^{\circ},

där

M

är cirkelns mittpunkt.

Vi börjar med att rita upp det vi vet, nämligen att punkterna A och B är placerade så att medelpunktsvinkeln ∧ AMB = 64^(∘).

Nu ska punkten C placeras någonstans på randen så att vi kan bilda en likbent triangel. Det gör att ∧ ACB kommer att bli en randvinkel, som kan se ut t.ex. som i figuren nedan. Om vi förbinder punkterna A och B får vi då en triangel ABC där ∧ ACB blir toppvinkel.

Eftersom både medelpunktsvinkeln och randvinkeln står på samma cirkelbåge kan vi använda randvinkelsatsen för att bestämma toppvinkeln: ∧ ACB = 64^(∘)2 = 32^(∘).

Nu kan vi bestämma basvinklarna i triangeln som bildas, eftersom basvinklarna i en likbent triangel är lika stora och vinkelsumman totalt ska bli 180^(∘).

En möjlighet är alltså att triangeln ABC har vinklarna 32^(∘), 74^(∘) och 74^(∘). Men det finns ytterligare ett fall där ∧ ACB = 32^(∘). Det är när randvinkeln istället är basvinkel och C är placerad som i figuren nedan, eller på motsvarande punkt till vänster om cirkelbågen. Vi får då att två av triangelns vinklar är 32^(∘).

Den sista vinkeln får vi då om vi drar bort de två basvinklarna från vinkelsumman: u=180^(∘) - 32^(∘) - 32^(∘) = 116^(∘). Finns det ytterligare sätt att placera C så att ABC är en likbent triangel? Ja, om vi placerar C på cirkelbågen, precis mittemellan A och B så att sträckorna AC och BC är lika långa.

Vi kan bestämma ∧ ACB genom att rita in den ursprungliga randvinkeln till den gröna cirkelbågen, som vi ju bestämde till 32 ^(∘). Då bildas en fyrhörning inskriven i cirkeln, och med hjälp av en av randvinkelsatsens följdsatser vet vi att summan av de motstående vinklarna måste bli 180^(∘).

Toppvinkeln w kan alltså bestämmas: 32^(∘)+w=180^(∘) ⇔ w=148^(∘), vilket ger oss en likbent triangel med en känd vinkel.

Vi bestämmer de två basvinklarna q på motsvarande sätt som tidigare.

Det finns alltså tre alternativa lösningar. Antingen har △ ABC vinklarna &32^(∘), 74^(∘) och 74^(∘), &32^(∘), 32^(∘) och 116^(∘) eller &16^(∘), 16^(∘) och 148^(∘).

I figuren tangerar sträckorna $A B$ och $B C$ cirkeln, vilket innebär att sträckorna precis nuddar cirkelranden. Om man drar radier till tangeringspunkterna förhåller sig dessa vinkelräta mot sträckorna $A B$ och $A C$ . Bestäm $x$ med hjälp av denna information.

Vi drar radier mot tangeringspunkterna och bildar då en fyrhörning där två av vinklarna är 90^(∘). Eftersom en vinkel är x måste den fjärde vinkeln bli 360^(∘)-90^(∘)-90^(∘)-x=180^(∘)-x. Vi markerar vinklarna i fyrhörningen som bildas.

Genom att subtrahera medelpunktsvinkeln 180^(∘)-x från 360^(∘) får vi medelpunktsvinkeln på andra sidan 360^(∘)-(180^(∘)-x)=180^(∘)+x. Denna medelpunktsvinkel spänner upp samma cirkelbåge som randvinkeln 2x i den ursprungliga figuren.

Enligt randvinkelsatsen är 180^(∘)+x dubbelt så stor som 2x. Genom att dela uttrycket för medelpunktsvinkeln med 2 och likställa kvoten med 2x kan vi lösa ut x.

Enligt beräkningarna är vinkeln x lika med 60^(∘) och vinkeln 2x måste då vara 120^(∘)

Thales från Miletos var en grekisk matematiker som levde för $2600$ år sedan. Han formulerade en sats med följande innebörd:

Varje triangel som är inskriven i en cirkel har en rät vinkel om en av triangelns sidor är diameter i cirkeln.

Triangeln $A B C$ är inskriven i en cirkel på ett sådant sätt. Sidan $A C$ är en diameter i cirkeln. Punkten $M$ är mittpunkt på sträckan $A C .$ I figuren är även sträckan $B M$ inritad.

Förklara varför de två vinklarna betecknade med $x$ är lika stora.

Nationella provet VT12 2b/2c

Visa, utan att använda randvinkelsatsen, att Thales sats är korrekt.

Nationella provet VT12 2b/2c

Sträckorna MA och MB är båda radier till cirkeln och bildar två av sidorna i △ AMB. Eftersom MA=MB är triangeln likbent och därför måste vinklarna som dessa sidor bildar med sidan AB vara lika stora.

Den streckade radien bildar även △ MBC tillsammans med radien MC och sidan BC. Eftersom två av sidorna är radier är även denna triangel likbent. Vi kallar dess basvinklar för y som i figuren nedan.

Respektive triangels vinkel vid cirkelns mittpunkt M utgör yttervinkel till basvinklarna i den andra triangeln. Dessa vinklar måste enligt yttervinkelsatsen alltså vara 2x respektive 2y. Vi lyfter ut dessa trianglar och markerar vinklarna vid M.

Nu har vi definierat samtliga vinklar i trianglarna. Vinkelsumman i båda trianglarna är 180^(∘) vilket ger oss ekvationerna x+x+2y=180^(∘) och y+y+2x=180^(∘). Genom att förenkla någon av ekvationerna kan vi visa att summan av x och y, dvs. vinkeln vid B, är 90^(∘). Det är precis vad Thales sats säger.

Då har vi visat att Thales sats stämmer.

Bestäm en formel som visar hur vinkeln $b$ beror av vinkeln $a .$

Vi söker ett samband mellan medelpunktsvinkeln b och randvinkeln a. Dessa två vinklar kan dock inte kopplas samman direkt eftersom de spänner upp olika cirkelbågar. Vi struntar i b så länge och markerar den cirkelbåge som a spänner upp. Medelpunktsvinkeln till samma cirkelbåge är den blå vinkeln i figuren.

Den blå medelpunktsvinkeln måste vara 360^(∘)-b, eftersom den är ett helt varv minus vinkel b.

Nu har vi en randvinkel, a, och en medelpunktsvinkel, 360^(∘)-b, som spänner upp samma cirkelbåge. Enligt randvinkelsatsen är randvinkeln hälften av medelpunktsvinkeln, vilket ger oss sambandet a=360^(∘)-b/2. Nu löser vi ut b, och får en formel för hur b beror av a.

Sambandet kan skrivas b=360^(∘)-2a.

Linjen $L$ tangerar en cirkel i punkten $T$ . $M$ är cirkelns medelpunkt. Vinkeln mellan cirkelns diameter $Q T$ och linjen $L$ är $9 0^{\circ}$ . En triangel $P S T$ ligger i cirkeln med alla hörnen på cirkelns rand. Se figur.

Hur stor är vinkeln $y$ då vinkeln $x$ är $5 6^{\circ} ?$

Nationella provet VT11 MaB

Om punkterna $P$ och $S$ flyttas längs cirkelns rand kommer vinklarna $x$ och $y$ att variera. För $x$ gäller $0^{\circ} < x < 9 0^{\circ} .$ Bestäm sambandet mellan vinklarna $x$ och $y .$

Nationella provet VT11 MaB

Vinklarna x=56^(∘), STQ och den räta vinkeln är sidovinkar, dvs. de ska tillsammans bli 180 ^(∘). Det ger oss en ekvation ur vilken vi kan lösa ut ∧ STQ .

Vi markerar vinkeln STQ i figuren.

Om vi nu drar sträckan MS bildas en likbent triangel med hörnen SMT. Vi vet att den är likbent eftersom SM och TM båda är radier från cirkelns mitt till dess rand, och både S och T ligger på randen.

Basvinklarna i en likbent triangel är alltid lika stora, och därför måste även ∧ MST vara 34^(∘). Då återstår toppvinkeln ∧ SMT , som vi kan bestämma med hjälp av triangelns vinkelsumma.

∧ SMT är medelpunktsvinkeln som står på cirkelbågen ST. Vinkel y är randvinkel på samma cirkelbåge.

Enligt randvinkelsatsen blir då randvinkeln y hälften så stor som medelpunktsvinkel, vilket ger att y = 112 ^(∘)/2 = 56 ^(∘).

Om vinkeln är x istället för 56^(∘) ger resonemanget med sidovinklar ekvationen ∧ STQ + x + 90^(∘) = 180^(∘), vilket ger oss att ∧ STQ=90^(∘)-x. Som i tidigare resonemang kan vi dra en radie mellan M och S och få en likbent triangel där den andra basvinkeln också är 90^(∘)-x.

Nu kan vi med triangelns vinkelsumma beräkna medelpunktsvinkeln ∧ SMT precis som tidigare.

Medelpunktsvinkeln är alltså 2x. Precis som tidigare måste enligt randvinkelsatsen y vara hälften av medelpunktsvinkeln eftersom y är randvinkel på samma cirkelbåge. Därmed är y = 2x/2 = x. Sambandet mellan x och y är alltså att de alltid kommer att vara lika stora, dvs. x=y.

Randvinkelsatsen

Förkunskaper

Medelpunktsvinkel

Randvinkel

Randvinklar och Medelpunktsvinklar i en Cirkel

Randvinkelsatsen

Bevis

Fall 1

Fall 2

Fall 3

Bestäm vinklarna med randvinkelsatsen

Ledtråd

Lösning

Randvinklar till samma cirkelbåge är lika stora

Bevis

Randvinklar på en halvcirkelbåge är räta

Bevis

Summan av motstående vinklar i en fyrhörning inskriven i en cirkel är $18 0^{\circ}$

Bevis

Bestäm vinklarna i fyrhörningen

Ledtråd

Lösning

Randvinkelsatsen

Rekommenderade uppgifter

	10 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.