body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2a

Kurs 2a Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel 2

4.

Räta linjers egenskaper

Lektionen fokuserar på egenskaperna hos vinkelräta linjer inom matematik. Den förklarar hur vinkelräta linjer relaterar till varandra och hur de skiljer sig från parallella linjer. Det finns detaljerade förklaringar om hur man kan använda olika matematiska formler för att avgöra om linjer är vinkelräta eller parallella. Lektionen innehåller också exempel och övningar som hjälper till att förstå dessa koncept. Den är användbar för studenter som studerar matematik på olika nivåer och vill förstå hur vinkelräta linjer används inom geometri och algebra.

Inställningar & verktyg för lektion

	13 sidor teori
	29 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Räta linjers egenskaper

Sida av 13

En rät linjes riktningskoefficient kan användas till mer än att beskriva lutningen. Det finns exempelvis särskilda samband mellan räta linjers $k -$ värden som kan utnyttjas för att avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Parallella linjer
Vinkelräta linjer
Allmän form rät linje
Enpunktsform

Förkunskaper

Koordinatsystem
Linjär funktion
$k -$ värde
$m -$ värde

Koncept

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad $k -$ form.

y = k x + m

$k -$ och $m -$ värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. $k$ anger lutningen och $m$ är det $y -$ värde där linjen skär $y -$ axeln. I koordinatsystemet har linjen $k -$ värdet $2$ och $m -$ värdet $1 .$

Regel

$k -$ form

Alla räta linjer som inte är vertikala kan skrivas på så kallad $k -$ form.

$y = k x + m$

k

och

m

är konstanter.

k -

värdet anger linjens lutning och

m -

värdet visar var den skär

y -

axeln. Detta sätt att beskriva en rät linje kallas

k -

form. Om

m -

värdet är

0

kallas sambandet för en proportionalitet.

y = k x

Extra

Skriva om i

k -

form

En linjes ekvation uttryckt i en annan form kan omvandlas till

k -

form genom att lösa ut

y .

a x + b y = c

▼

Lös ut

y

$VL - a x = HL - a x$

b y = - a x + c

$VL / b = HL / b$

y = \frac{- a x + c}{b}

Dela upp bråk

y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}

Här motsvarar

- \frac{a}{b}

k -

värdet, och

\frac{c}{b}

motsvarar

m -

värdet.

y = - \frac{a}{b} x ↓ k + \frac{c}{b} ↓ m

Regel

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på $k -$ form innebär det att deras $k -$ värden, $k_{1}$ och $k_{2},$ är samma.

$k_{1} = k_{2}$

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma

m -

värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.

Exempel

Är linjerna parallella?

Är den räta linjen som går igenom punkterna

(1, 2)

och

(3, 8)

parallell med linjen

y = 3 x + 5 ?

Ledtråd

Bestäm $k -$ värdet för den första linjen med hjälp av de givna punkterna. Identifiera $k -$ värdet för den andra linjen från dess ekvation. Parallella linjer har samma $k -$ värde.

Lösning

För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma

k

-värde. Den räta linjen

y = 3 x + 5

har

k

-värdet

3 .

Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i

k

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePoints

Sätt in $(3, 8)$ & $(1, 2)$

k = \frac{8 - 2}{3 - 1}

Subtrahera termer

k = \frac{6}{2}

Beräkna kvot

k = 3

Linjerna har alltså samma

k -

värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika

m -

värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in

k = 3

samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex.

(1, 2),

i räta linjens ekvation.

y = 3 x + m

$x = 1$ och $y = 2$

2 = 3 \cdot 1 + m

Multiplicera faktorer

2 = 3 + m

$VL - 3 = HL - 3$

- 1 = m

Omarrangera ekvation

m = - 1

Ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna är alltså

y = 3 x - 1 .

Denna linje och

y = 3 x + 5

har samma

k -

värde men olika

m -

värden och är därmed parallella.

Regel

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln $9 0^{\circ}$ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter,

k_{1}

och

k_{2},

lika med

- 1 .

$k_{1} \cdot k_{2} = - 1$

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras

k -

värden. Om produkten blir

- 1

är de vinkelräta.

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Ledtråd

Hitta $k -$ värdena för båda linjerna. Om deras produkt är $- 1,$ är linjerna vinkelräta.

Lösning

Två linjer är vinkelräta om produkten av deras

k -

- 1 .

Vi kan läsa av att lutningarna är

- 2

och

0, 4,

så det är bara att multiplicera dem:

- 2 \cdot 0, 4 = - 0, 8 .

Produkten blev inte

- 1,

så linjerna är inte vinkelräta.

Övning

Klassificera linjer

Använd egenskaperna hos parallella och vinkelräta linjer för att avgöra om varje linjepar är parallella, vinkelräta eller varken eller.

En applet som visar ett par linjer och frågar om de är parallella, vinkelräta eller ingetdera.

Koncept

Allmän form - rät linje

Alla linjer går inte att skriva på $k -$ form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala. Denna form är känd som den allmänna formen.

$a x + b y + c = 0$

Flera kombinationer av konstanterna $a,$ $b$ och $c$ kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Det förekommer även att ekvationen för en rät linje skrivs med variablerna i vänster led och konstanten i höger led.

Allmän form	$2 x + 3 y - 5 = 0$	$2 x + 3 y = 5$
Horisontell linje	$y - 4 = 0$	$y = 4$
Vertikal linje	$x - 7 = 0$	$x = 7$

För icke-vertikala linjer, om du löser ut

y,

får du linjen skriven i

k -

form.

Exempel

Omvandla från allmän form till $k -$ form

Skriv den räta linjen

2 y + 8 - 4 x = 0

på

k -

Ledtråd

Lös ut $y$ för att skriva om ekvationen i $k -$ form.

Lösning

För att skriva om linjen till

k -

form löser vi ut

y .

2 y + 8 - 4 x = 0

$VL + 4 x = HL + 4 x$

2 y + 8 = 4 x

$VL - 8 = HL - 8$

2 y = 4 x - 8

$VL / 2 = HL / 2$

y = 2 x - 4

Den räta linjen är alltså

y = 2 x - 4

på

k -

form.

Exempel

Omvandla från $k -$ form till allmän form

Skriv linjen

y = 0, 4 x - 7

på allmän form.

Ledtråd

Omarrangera ekvationen för att eliminera bråk och flytta alla termer till en sida.

Lösning

När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med

10

eftersom produkten av

10 \cdot 0, 4

är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.

y = 0, 4 x - 7

$VL \cdot 10 = HL \cdot 10$

10 y = 4 x - 70

$VL - 4 x = HL - 4 x$

10 y - 4 x = - 70

$VL + 70 = HL + 70$

10 y - 4 x + 70 = 0

Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med

2 .

På allmän form skrivs linjen alltså

5 y - 2 x + 35 = 0 .

Koncept

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast $k -$ form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt $(x_{1}, y_{1})$ som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

$y - y_{1} = k (x - x_{1})$

Sätter man in de kända koordinaterna

x_{1}

och

y_{1}

i enpunktsformen och löser ut

y

får man linjen på

k -

form.

{"codehash":"d82360aacbf4dc2161ca461d27b108ae"}

Räta linjers egenskaper

Räta linjers egenskaper

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.