body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2a

Kurs 2a Visa detaljer

2. Potens- och exponentialfunktioner

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 4

2.

Potens- och exponentialfunktioner

Denna lektion fokuserar på potens- och exponentialfunktioner, två centrala koncept inom matematik. Den förklarar skillnaden mellan dessa två typer av funktioner baserat på var variabeln finns i potensen. Vidare diskuteras villkoren för konstanterna i en exponentialfunktion. Lektionenen innehåller också flera exempel för att illustrera dessa koncept, inklusive hur man identifierar om en funktion är en potens- eller exponentialfunktion, och hur man använder exponentialfunktioner för att modellera verkliga fenomen som procentuella förändringar. Slutligen, det finns övningar för att testa förståelsen av dessa koncept.

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Potens- och exponentialfunktioner

Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Potens- och exponentialfunktioner
Exponentialfunktioner som modeller

Förkunskaper

Utforska

Investigating Function Families

Different types of functions have unique characteristics. These can be identified by investigating the functions using a table of values. The following tables of values belong to three different types of functions.

Comparing Functions

How do the

y -

values of each function change according to their corresponding

x -

values? What do the graph of these functions look like? Which type of function is represented in each table?

Koncept

Potens- och exponentialfunktioner

En funktion med en enda term i form av en potens kan vara antingen en potensfunktion eller exponentialfunktion. Man avgör vilken typ av funktion det är genom att se var i potensen variabeln finns.

Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

I båda fall kan potenserna ha en koefficient, $C .$

Potensfunktion y = C \cdot x^{a}

Exponentialfunktion y = C \cdot a^{x}

I en exponentialfunktion finns det vissa villkor som konstanterna $C$ och $a$ måste uppfylla.

Villkor

C \neq = 0

Om

C

är

0

blir funktionsuttrycket bara

0 .

Då får man den räta linjen

y = 0 .

Villkor

a > 0

och

a \neq = 1

Konstanten

a

får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa

x

-värden. Om

a

är negativt kan man t.ex. inte höja upp det till

\frac{1}{2}

eftersom man inte kan dra roten ur negativa tal. Det ger villkoret

a \geq 0 .

Vidare ger

a = 0

och

a = 1

inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När

a = 0

är funktionsuttrycket alltid

0,

vilket ger linjen

y = 0,

och när

a = 1

får man linje längs med startvärdet

C

eftersom

1^{x} = 1,

oavsett exponentens värde. Det ger villkoren

a \neq = 0 och a \neq = 1 .

Dessa villkor kan sammanfattas som

a > 0

och

a \neq = 1 .

Exempel

Är funktionerna potens- eller exponentialfunktioner?

Bestäm vilka av följande funktioner som är potens- respektive exponentialfunktioner.

$y = 1 5^{x}$
$y = x^{2}$
$y = x$
$y = \frac{1}{x ^{3}}$

Svar

Potensfunktioner:
$y = x^{2},$ $y = x,$ $y = \frac{1}{x ^{3}}$
Exponentialfunktioner:
$y = 1 5^{x}$

Ledtråd

Är variabeln basen eller exponenten i funktionerna?

Lösning

Vi vet att en potensfunktion har variabeln i basen och att en exponentialfunktion har variabeln i exponenten. Vi börjar med att skriva om de två nedre funktionerna på potensform, för att lättare kunna se var variabeln finns. Näst sista funktionen kan skrivas om med sambandet

a = a^{1 / 2}

till

y = x^{1 / 2} .

Sista funktionen kan skrivas om med potenslagen

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

som

y = x^{- 3} .

Nu ser vi att både de omskrivna funktionerna och

y = x^{2}

har variabeln i basen, och alltså är potensfunktioner. Funktionen

y = 1 5^{x}

har istället variabeln i exponenten och är en exponentialfunktion.

Övning

Identifiera funktioner från en värdetabell

Välj det alternativ som bäst beskriver den givna värdetabellen.

Identifying functions

Koncept

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten $C$ som startvärdet och basen $a$ som en förändringsfaktor. Grafiskt kan $C$ tolkas som funktionsvärdet där grafen skär $y -$ axeln.

Allmän exponentialfunktion

Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.

Exempel

Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?

Funktionen

N (t) = 1200 \cdot 2^{t}

, beskriver antalet bakterier i en kultur efter

t

minuter. Hur många fanns det från början?

Ledtråd

Jämför den givna funktionen med den allmänna formen av en exponentiell funktion.

Lösning

Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion:

y = C \cdot a^{t} .

När funktionen står på den här formen är

C

startvärdet. I vår funktion är

C = 1200,

så det fanns

1200

bakterier från början.

Exempel

Ställ upp en exponentialfunktion

På en ö nära Nya Zeeland bor idag

1250

tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med

11, 5 %

varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner,

y,

kommer att minska, och låt

x

vara antal år efter idag.

Ledtråd

Hitta startvärdet och förändringsfaktorn. Sätt sedan in dem i den exponentiella modellen.

Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen

y = C \cdot a^{x},

där

C

är startvärdet och

a

är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs.

C = 1250 .

Detta ger

y = 1250 \cdot a^{x} .

En minskning på

11, 5 %

innebär att det varje år finns kvar

100 - 11, 5 = 88, 5 %

av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså

a = 0, 885

vilket ger oss funktionen

y = 1250 \cdot 0, 88 5^{x},

där

y

är antal tofspingviner

x

år efter idag.

Potens- och exponentialfunktioner

Övningar

Beräkna $f (5)$ för följande funktioner. Svara exakt.

f (x) = 3 x^{2}

f (x) = 4 x

f (x) = \frac{7}{4 x ^{2}}

Vi beräknar f(5) genom att ersätta x med 5 i funktionsuttrycket. Kom ihåg att potenser beräknas före multiplikation enligt prioriteringsreglerna.

På samma sätt som i förra deluppgiften ersätter vi x med 5 i funktionsuttrycket.

Vi får alltså f(5) = 4sqrt(5).

Vi ersätter x med 5 i funktionsuttrycket och förenklar.

För potensfunktionen

f (x) = C \cdot x^{3}

gäller att

f (2) = 2

och att

C

är en konstant.

Bestäm konstanten

C .

Beräkna funktionens värden då

x

är

3 .

Ekvationen f(2)=2 innebär att f(x)= 2 när x = 2. Vi sätter in värdena i potensfunktionen och löser ut C.

Konstanten C har alltså värdet 0,25.

I den förra deluppgiften beräknade vi konstanten C, så nu vet vi att potensfunktionen kan skrivas f(x) = 0,25x^3. Nu sätter vi in x=3 i denna och beräknar funktionsvärdet.

Svaret är alltså att f(x) blir 6,75 när x är 3.

Graferna till fyra exponentialfunktioner är inritade.

Fyra grafer utritade i ett koordinatsystem, märkta med A, B, C och D.

Identifiera vilken av graferna $A,$ $B,$ $C$ och $D$ som hör till funktionen.

y = 400 \cdot 0, 8^{x}

y = 200 \cdot 0, 7^{x}

y = 400 \cdot 1, 1^{x}

Exponentialfunktionen y = 400 * 0,8^x skär y-axeln vid startvärdet y = 400, och är avtagande eftersom förändringsfaktorn 0,8 är mindre än 1. Grafen till denna exponentialfunktion måste därför vara graf C.

Exponentialfunktionen y = 200 * 0,7^x skär y-axeln vid y = 200 och är också avtagande eftersom förändringsfaktorn 0,7 är mindre än 1. Graf till denna exponentialfunktion måste vara D.

Exponentialfunktionen y = 400 * 1,1^x skär y-axeln vid y = 400 och är växande eftersom förändringsfaktorn 1,1 är större än 1, vilket är graf B.

Du har graferna $f,$ $g,$ $h$ och $k .$

Fyra olika funktionsgrafer i ett koordinatsystem.

Para ihop dessa med rätt funktionsuttryck utan att använda räknare.

A y = 6 \cdot 1, 0 1^{x} B y = 3 \cdot 1, 1^{x} C y = 3 \cdot 0, 9 5^{x} D y = 6 \cdot 1, 4^{x}

Uppgiften handlar om den typ av funktioner som kallas exponentialfunktioner, som skrivs på formen y=C * a^x. Exponentialfunktioner beskriver procentuella förändringar utifrån ett startvärde C. Konstanten C anger rent grafiskt skärningspunkten med y-axeln, och a är förändringsfaktorn. Vi börjar med de två funktioner som skär y-axeln där y=3.

Startvärdet C = 3

Funktionerna B och C har startvärdet 3. Vi ska alltså para ihop g(x) och k(x) med två av funktionsuttrycken &B y=3 * 1,1^x &C y=3 * 0,95^x. Det som skiljer funktionsuttrycken åt är a. B har a=1,1, tolkar vi denna förändringsfaktor inser vi att det är en ökning med 10 %. C:s förändringsfaktor däremot är 0,95 vilket motsvarar en minskning med 5 %. I och med att g(x) växer, medan k(x) avtar, kan vi då para ihop graf och funktionsuttryck på följande vis. &g(x) - B y=3 * 1,1^x &k(x) - C y=3 * 0,95^x.

Startvärdet C = 6

Funktionerna f(x) och h(x) skär y-axeln där y=6, så de måste vara &A y=6 * 1,01^x &D y=6 * 1,4^x Här ser vi att båda funktionerna är växande. Men de växer olika snabbt. Tittar vi på förändringsfaktorerna ser vi att A bara växer med 1 % för varje steg i x-led, medan D växer med hela 40 %. Den graf som är brantast är den som växer fortast, vilket är den svarta grafen f(x). Den långsammare h(x) hör därför ihop med A.

Sammanfattning

Då har vi parat ihop grafer och funktionsuttryck. &h(x) - A y=6 * 1,01^x &g(x) - B y=3 * 1,1^x &k(x) - C y=3 * 0,95^x &f(x) - D y=6 * 1,4^x.

Du investerar i en fond i början av år

2016 .

Du skapar också en modell som visar hur du förväntar dig att din investering kommer öka i värde:

y = 20000 \cdot 1, 02^{x},

där

y kr

är beloppet i fonden och

x

är antal år efter

2016 .

Utgå från modellen och svara på följande frågor.

Hur mycket investerades i fonden i början av år

2016 ?

Med hur många procent ökar fonden i värde varje år?

En exponentialfunktion kan allmänt skrivas på formen y = C * a^x, där C anger funktionsvärdet när x = 0, dvs. år 2016. Vi vet att C = 20 000, vilket innebär att beloppet du investerade var 20 000kr.

En exponentialfunktion f(x) kan allmänt skrivas f(x)=C* a^x, där a anger exponentialfunktionens förändringsfaktor. I vår modell är a= 1,02 vilket innebär att investeringen förväntas att öka med 2 % per år.

Kommunen Kvidum har idag

3780

invånare, men man förväntar sig att befolkningen kommer att minska med

2, 3 %

varje år. Ställ upp en funktion som beskriver invånarantalet i Kvidum om

x

år.

Befolkningen beräknas minska med lika många procent varje år. Detta är vad man kallar en exponentiell förändring, så det är en exponentialfunktion vi ska ställa upp. Just nu bor det 3 780 personer i kommunen, så detta är vårt startvärde C: y=C* a^x ⇒ y=3 780 * a^x. Konstanten a är förändringsfaktorn. Invånarantalet förväntas minska med 2,3 % varje år vilket betyder att det varje år är 100-2,3=97,7 % kvar av vad det var året före. 97,7 % kan man skriva som 0,977 och det är detta som är förändringsfaktorn. En funktion som beskriver befolkningen i Kvidum är alltså y=3 780*0,977^x.

Potens- och exponentialfunktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll