Logga in
| 8 sidor teori |
| 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
En rät linje som går från en punkt på en cirkels rand till en annan punkt på randen kallas korda.
När två kordor skär varandra delas de i fyra kortare sträckor: a, b, c och d.
Förhållandet mellan längderna på de fyra sträckor som bildas ges av kordasatsen.
ab=cd
Produkten av den ena kordans delträckor är alltså lika med produkten den andra kordans delsträckor. Man kan bevisa detta samband med bl.a. randvinkelsatsen.
Betrakta hjälplinjerna AC och BD.
Eftersom ∧CAB och ∧CDB är randvinkel som spänner över samma båge CB, är de kongruenta vinklar. På samma sätt är ∧ACD och ∧ABD inskrivna vinklar som spänner över samma båge AD. Därför är de också kongruenta vinklar.
ab=cd
Vad är cirkelns radie? Måtten är i cm.
Två kordor är dragna i cirkeln. Tre av de delsträckor som bildas är kända. Vi kallar den okända för x.
Radien är hälften av diametern, dvs. 2 cm.
Nästa del av denna lektion fokuserar på trianglar. Diagrammet visar en triangel med en av dess vinkelbisektriser ritad. Flytta triangelns hörn och hitta ett samband mellan de visade segmentmåtten.
En bisektris genom en av vinklarna i en triangel kommer att dela motstående sida i två mindre delsträckor.
Enligt bisektrissatsen är förhållandet mellan dessa mindre delsträckor samma som förhållandet mellan de andra sidorna i triangeln.
ba=dc
Detta samband kan bevisas med hjälp av likformighet.
När en bisektris dras från en vinkel i en triangel delas den motstående sidan in i två nya delsträckor.
Enligt bisektrissatsen är förhållandet mellan dem samma som för de andra sidorna i triangeln.
ba=dc
Genom att förlänga bisektrisen tills den möter en sträcka som utgår från triangelns övre hörn och har längden b skapas fler trianglar.
Den blå triangeln har två lika långa sidor, b, så den är likbent. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Det bildas också två vertikalvinklar där bisektrisen möter triangelsidan. Dessa är alltid lika stora.
Hitta måttet på segmentet enligt vad som anges i appletprogrammet.
Bestäm x.
Inuti cirkeln bildas en triangel där 2v är yttervinkel. Summan av de inre motstående vinklarna är 2v enligt yttervinkelsatsen. Det betyder att den vänstra vinkeln i triangeln är v.
Triangeln har alltså två vinklar som är lika stora. Det betyder att den är likbent, så vi kan markera sträckan x på triangelns högra sida.
De två kordorna delar alltså varandra så att delsträckorna blir x, x-3, 0.8x och 2.5. Vi använder kordasatsen för att beräkna x.
Den här andragradsekvationen kan vi lösa med nollproduktmetoden.
Vi får två lösningar på ekvationen, men eftersom x är en sträcka kan den inte vara 0. Därför är x=5.
Skärningspunkterna mellan fyra kordor skapar en kvadrat. Bestäm kvadratens sidlängd. Svara med en decimal.
Vi kallar kvadratens sidlängd för x. För att bestämma den utnyttjar vi kordasatsen, som kan användas på fyra ställen i figuren. Vi känner till flest delsträckor för de två skärningspunkterna till vänster, där bara x och den lodräta sträckan längst ner till vänster saknas. Vi kallar den y.
Vi använder den vänstra och översta kordan för att ta fram ett uttryck för y.
Nu använder vi kordasatsen.
Nu har vi ett uttryck för y som bara beror på x så vi ställer upp kordasatsen för det nedre vänstra hörnet.
Nu får vi en likhet som vi kan förenkla till en andragradsekvation på pq-form.
Vi löser nu ekvationen med pq-formeln.
Sidlängden x kan inte vara negativ, vilket innebär att den negativa lösningen är inte intressant. Kvadratens sidlängd är alltså ungefär 2,8 le.
I en triangel delar bisektrisen av en vinkel den motsatta sidan i två segment med längder 6 cm och 9 cm. Hur långa kan de andra två sidorna av triangeln vara?
Låt oss försöka rita olika trianglar △ ABC, där bisektrisen AD delar sidan BC i segment med längderna BD=6cm och CD=9cm.
Vi känner inte till längderna på AB och AC, men triangelns bisektrissats talar om för oss förhållandet mellan dessa två sidor. BD/CD=AB/AC Eftersom det är givet att BD=6 och CD=9, kan vi använda multiplar av dessa för att bevara förhållandet. AB=6xochAC=9xför någotx Frågan är om vi kan välja x att vara vilket positivt tal som helst, eller om det finns en begränsning? Låt oss se vad vi får när vi kontrollerar triangelolikheten. AB+AC&>BC AB+BC&>AC BC+AC&>AB Låt oss kontrollera de tre olikheterna en i taget.
Låt oss sätta in AB=6x, AC=9x, och BC=6+9=15 och lösa olikheten.
För att ha AB+AC>BC, behöver vi x>1.
Låt oss sätta in AB=6x, AC=9x, och BC=6+9=15 och lösa olikheten.
För att ha AB+BC>AC, behöver vi x<5.
Låt oss sätta in AB=6x, AC=9x, och BC=6+9=15 och lösa olikheten.
Detta är sant för alla positiva x, så BC+AC>AB är alltid sant.
Genom att sätta ihop alla resultat fick vi möjligheterna för längderna på de andra två sidorna av triangeln.
AB=6xochAC=9x för något1
Det är intressant att notera att orten för hörnet A när vi tittar på alla möjliga trianglar är en cirkel. Kan du bevisa detta? Kan du hitta radien för denna cirkel?
Flytta hörnet C i figuren nedan för att experimentera med olika trianglar. Förutom triangeln △ ABC kan du i figuren se bisektrisen av vinkeln ∠ C och mittpunktsvinkelräta linjen till sidan AB.
Låt oss komma ihåg påståendet i triangelns bisektrissats. AD/BD=AC/BC Om bisektrisen av vinkeln ∠ C delar motstående sida i två lika delar, så är AD= DB. Enligt proportionen ovan betyder detta att AC=BC, så triangeln är likbent.