Kordasatsen och bisektrissatsen

Vi börjar med att rita upp det vi vet. Diametern AB är en korda som går mellan två punkter A och B på en cirkel och passerar mittpunkten på vägen. Kordan CD ska skära AB i punkten P. Eftersom vi vet att de två delsträckor som CD kommer att delas in i är lika långa, 1,5 cm, bör vi rita CD så att skärningspunkten P hamnar i mitten av den kordan.

Om vi kallar hela diametern för x så vet vi att AP ska vara 14 av x, dvs. x4. Då måste resten av AB, sträckan BP, vara tre fjärdedelar av x, alltså 3x4.

Nu kan vi använda kordasatsen för att få ett samband vi kan lösa ut x ur.

Eftersom en sträcka inte kan vara negativ förkastar vi den negativa lösningen. Vi räknar vidare med detta exakta värde. Den sökta sträckan AP är 34 av detta. Vi skriver in det på räknaren och får då AP=3 * sqrt(12)/4= 2,59807 ... ≈ 2,6 cm.

Vi har uttryck för längden av de 4 delsträckorna som bildas. Vi använder kordasatsen för att bestämma x.

Vi löser andragradsekvationen med pq-formeln.

x är en sträcka så den kan inte vara negativ. Därför är x=-0,5 inte rimlig, utan x=2 le.

Nu ser vi att kordorna är 3*2+2=8le. och (2+1)+(2+2)=7 le., varav den längsta är 8 le.

Vi gör på samma sätt och använder kordasatsen.

Nu har vi fått en andragradsekvation. Vi skriver om den till pq-form och använder pq-formeln.

Det finns två lösningar till ekvationen. Ger någon negativa sidlängder? Vi provar att sätta in x=-4 och beräknar delsträckorna i figuren.

Det ger att den ena kordan är -1+(-3)=-4, så vi förkastar den lösningen. Vi sätter in x=-1 och beräknar delsträckorna.

Den längre kordan är alltså 3+8=11 le. och den andra är 6+4=10 le.

Låt oss analysera den givna figuren.

Eftersom vi har en triangel med ett segment som delar en av vinklarna mitt itu, kan vi använda satsen om triangelns vinkelbisetris.

Satsen om triangelns vinkelbisetris |- Om en stråle delar en vinkel i en triangel mitt itu, så delar den motstående sidan i två segment som är proportionella mot triangelns övriga två sidor.

Vi kan också visualisera denna sats.

Denna sats säger oss att de två segmenten mittemot den delade vinkeln är proportionella mot triangelns övriga två sidor. Vi har uttryck för längderna av dessa sidor och segment, så vi kan skriva en proportion. 5x/6x = 7x/10x-4 Låt oss lösa den med hjälp av korsmultiplikation.

Vi fann att antingen x=0 eller x=5/2. Låt oss sätta in dessa värden i uttrycken för längderna.

Som vi kan se ger insättning av x=0 oss en negativ längd. Därför är x=5/2 den enda lösningen.

Låt oss betrakta den triangulära tomten.

Givet att omkretsen av den triangulära tomten är 50 m, kan vi skriva följande ekvation genom att addera längden av alla sidorna av tomten. x+y+12+8=50 ⇕ x+y+20=50 Dessutom kan vi skriva en proportion med hjälp av bisektrissatsen. x/y=12/8 Nu kommer vi att skriva om y i termer av x genom att använda ekvationen ovan så att vi kan hitta värdet av x genom att använda proportionen.

Därefter kan vi substituera 30-x för y i proportionen och applicera "korsmultiplikation" för att hitta x.

Nu när vi har hittat värdet av x, kan vi hitta värdet av y genom att substituera 18 för x i y=30-x.

Med tanke på den givna informationen kan vi rita två möjliga trianglar.

Nu kan vi skriva en proportion för varje triangel med hjälp av bisektrissatsen. lcx/7,5=3/5 & (I) x/7,5=5/3 & (II) Låt oss lösa varje proportion för x genom att tillämpa "korsmultiplikation".

De möjliga längderna är 4,5 cm och 12,5 cm.

För att hitta x bör vi först hitta TS.

Låt oss betrakta följdsatsen till sidodelningsteoremet.

Följdsats till sidodelningsteoremet |- Om tre (eller fler) parallella linjer skär två transversaler, då är segmenten som fångas upp på transversalerna proportionella.

Med detta i åtanke kan vi skriva en proportion för TS. 3/TS=2/3 Nu, genom att använda egenskapen för korsprodukter, kan vi hitta värdet på TS.

Nu när vi har hittat TS kan vi skriva en proportion för x med hjälp av triangelns vinkelbisetris-sats.

Låt oss göra det! x/5=3/4,5 Återigen kommer vi att använda egenskapen för korsprodukter för att hitta x.