Bevis

Bevis för bisektrissatsen

När en bisektris dras från en vinkel i en triangel delas den motstående sidan in i två nya delsträckor.

Enligt bisektrissatsen är förhållandet mellan dem samma som för de andra sidorna i triangeln.

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$

Genom att förlänga bisektrisen tills den möter en sträcka som utgår från triangelns övre hörn och har längden $b$ skapas fler trianglar.

Den blå triangeln har två lika långa sidor, $b,$ så den är likbent. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Det bildas också två vertikalvinklar där bisektrisen möter triangelsidan. Dessa är alltid lika stora.

I den gröna och blå triangeln är två motsvarande vinklar lika stora. Det betyder att de är likformiga. Förhållandet mellan $a$ och $b$ är därför lika stort som förhållandet mellan $c$ och $d.$ Då kan man ställa upp $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$ Detta är bisektrissatsen.

Q.E.D.